Semieje mayor y semieje menor

Período orbital

En astrodinámica, el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es:

T = 2 π a 3 μ, {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu}}},}

donde:

μ {\displaystyle \mu }

es el estándar parámetro gravitacional del cuerpo central.

Tenga en cuenta que para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.

El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es

h = a μ ( 1 − e 2 ) , {\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}

donde:

a y μ {\displaystyle \mu }

son como se definen anteriormente,

En astronomía, el semieje mayor es uno de los elementos orbitales más importantes de una órbita, junto con su período orbital. Para los objetos del Sistema Solar, el semi-eje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler (originalmente derivada empíricamente):

T 2 ∝ 3 , {\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

donde T es el período, y a es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de dos cuerpos, según lo determinado por Newton:

T 2 = 4 π 2 G ( M + m ) 3 , {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}

donde G es la constante gravitacional, M es la masa del cuerpo central, y m es la masa de la órbita del cuerpo. Por lo general, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo que m puede ser ignorado. Hacer esa suposición y usar unidades astronómicas típicas da como resultado la forma más simple que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor del baricentro y su trayectoria relativa a su primario son ambas elipses. El semieje mayor se usa a veces en astronomía como la distancia primaria a secundaria cuando la relación de masa de la primaria a la secundaria es significativamente grande (M m m {\displaystyle M\gg m}

); por lo tanto, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntricas y «absolutas» puede ilustrarse mejor observando el sistema Tierra–Luna. La relación de masa en este caso es de 81.30059. La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunar geocéntrica, es de 384.400 km. (Dada la excentricidad de la órbita lunar e = 0,0549, su semieje menor es de 383.800 km. Por lo tanto, la órbita de la Luna es casi circular. La órbita lunar baricéntrica, por otro lado, tiene un semieje mayor de 379.730 km, la contra-órbita de la Tierra toma la diferencia, 4.670 km. La velocidad orbital baricéntrica media de la Luna es de 1,010 km / s, mientras que la de la Tierra es de 0,012 km / s. El total de estas velocidades da una velocidad orbital media lunar geocéntrica de 1,022 km / s; el mismo valor se puede obtener considerando solo el valor del semieje mayor geocéntrico.

Distancia MediaEditar

A menudo se dice que el semieje mayor es la distancia «media» entre el foco primario de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, porque depende de lo que se tome el promedio.

• el promedio de la distancia sobre la anomalía excéntrica da como resultado el semieje mayor.
• el promedio sobre la anomalía verdadera (el ángulo orbital verdadero, medido en el foco) resulta en el eje semi-menor b = a 1 − e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}
  

  .

• el promedio sobre la anomalía media (la fracción del período orbital que ha transcurrido desde el pericentro, expresada como un ángulo) da el promedio de tiempo a (1 + e 2 2 ) {\displaystyle a\left (1 + {\frac {e^{2}}{2}}\derecha)\,}
  

  .

El tiempo de promedio de valor de la recíproca de la radio, r − 1 {\displaystyle r^{-1}}

, es un − 1 {\displaystyle a^{-1}}

.

Energía; cálculo del semieje mayor a partir de vectores de estadoseditar

En astrodinámica, el semieje mayor a se puede calcular a partir de vectores de estado orbital:

a = − µ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

para una órbita elíptica y, dependiendo de la convención, la misma o

a = µ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

para una trayectoria hiperbólica, y

ε = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

(energía orbital específica) y

μ = G M , {\displaystyle \mu =GM,}

(parámetro gravitacional estándar), donde:

v es la velocidad orbital a partir del vector de velocidad de un objeto en órbita, r es un vector de posición cartesiano de un objeto en órbita en coordenadas de un marco de referencia con respecto al cual se calcularán los elementos de la órbita (p. ej. ecuatorial geocéntrica para una órbita alrededor de la Tierra, o eclíptica heliocéntrica para una órbita alrededor del Sol), G es la constante gravitacional, M es la masa del cuerpo gravitante, y ε {\displaystyle \varepsilon }

es la energía específica del cuerpo en órbita.

Tenga en cuenta que para una cantidad dada de masa total, la energía específica y el semieje mayor son siempre los mismos, independientemente de la excentricidad o la relación de las masas. Por el contrario, para una masa total y un semieje mayor dados, la energía orbital específica total es siempre la misma. Esta declaración siempre será verdadera bajo cualquier condición dada.

Los ejes semi-mayores y semi-menores de los orbitoseditar

Las órbitas planetarias siempre se citan como ejemplos primos de elipses (la primera ley de Kepler). Sin embargo, la diferencia mínima entre los ejes semi-mayor y semi-menor muestra que son virtualmente circulares en apariencia. La diferencia (o ratio) se basa en la excentricidad y se calcula como a / b = 1 / 1 − e 2 {\displaystyle a/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}}

, que la de los típicos planeta excentricidades rendimientos muy pocos resultados.

La razón de la suposición de órbitas elípticas prominentes radica probablemente en la diferencia mucho mayor entre afelio y perihelio. La diferencia (o ratio) se basa también en la excentricidad y se calcula como r / r p = ( 1 + e ) / ( 1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}

. Debido a la gran diferencia entre afelio y perihelio, la segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.