Halvstore og halvmindre akser

Omløpsperioderediger

i astrodynamikk er omløpsperioden T For et lite legeme som går i bane rundt et sentralt legeme i en sirkulær eller elliptisk bane:

T = 2 π a 3 μ , {\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

hvor:

μ {\displaystyle \mu}

er standard gravitasjonsparameteren Til Det Sentrale legemet.

Merk at for alle ellipser med en gitt store halvakse er omløpsperioden den samme, uten hensyn til eksentrisiteten.

det spesifikke vinkelmomentet h for et lite legeme som går i bane rundt et sentralt legeme i en sirkulær eller elliptisk bane er

h = en μ ( 1 − e 2), {\displaystyle h={\sqrt {a \ mu (1-e^{2})}},}

hvor:

a og μ {\displaystyle \mu}

er som definert ovenfor,

i astronomi er den store halvaksen en av de viktigste baneelementene i en bane, sammen med omløpsperioden. For Objekter I Solsystemet er den store halvaksen relatert til omløpsperioden Ved keplers tredje lov (opprinnelig empirisk avledet):

T 2 ∝ a 3, {\displaystyle t^{2}\propto a^{3},}

Hvor T er perioden, og a er den store halvaksen. Dette skjemaet viser seg å være en forenkling av den generelle formen for to-kroppsproblemet, som bestemt Av Newton:

T 2 = 4 π 2 g ( M + m ) a 3 , {\displaystyle t^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{g(m+m)}}a^{3},}

hvor g er gravitasjonskonstanten, m er massen av det sentrale legemet, og m er massen av det bane legemet. Vanligvis er det sentrale kroppens masse så mye større enn det bane kroppens, at m kan ignoreres. Å gjøre denne antagelsen og bruke typiske astronomiske enheter resulterer i enklere form kepler oppdaget.

banen i bane rundt barysenteret og banen i forhold til dens primære er begge ellipser. Den store halvaksen blir noen ganger brukt i astronomi som primær-til-sekundær avstand når masseforholdet mellom primær og sekundær er betydelig stort (m ≫ m {\displaystyle m\gg m}

); dermed er baneparametrene til planetene gitt i heliosentriske termer. Forskjellen mellom de primosentriske og» absolutte » banene kan best illustreres ved å se På Earth-Moon-systemet. Masseforholdet i dette tilfellet er 81.30059. Den Karakteristiske avstanden Mellom Jorden Og Månen, den store halvaksen til den geosentriske månens bane, er 384 400 km. (Gitt månens bane eksentrisitet e = 0,0549, er dens semi-minor akse 383 800 km. Dermed Er Månens bane nesten sirkulær.) Den barycentriske månens bane har derimot en halv-stor akse på 379 730 km, Jordens motbane tar opp forskjellen, 4 670 km. Månens gjennomsnittlige barysentriske omløpshastighet er 1,010 km / s, Mens Jordens er 0,012 km / s. summen av disse hastighetene gir en geosentrisk månens gjennomsnittlige omløpshastighet på 1,022 km / s.; den samme verdien kan oppnås ved å vurdere bare geosentriske semi-store aksen verdi.

Gjennomsnittlig avstandrediger

det blir ofte sagt at den store halvaksen er den» gjennomsnittlige » avstanden mellom ellipsens hovedfokus og det bane legemet. Dette er ikke helt nøyaktig, fordi det avhenger av hva gjennomsnittet er tatt over.

• gjennomsnittlig avstand over den eksentriske anomali resulterer faktisk i den store halvaksen.
• gjennomsnitt over den sanne anomali (den sanne banevinkelen, målt ved fokus) resulterer i den semi-mindre aksen b = a 1-e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}
  

  .

• gjennomsnitt over gjennomsnittlig anomali (brøkdelen av omløpsperioden som har gått siden pericentre, uttrykt som en vinkel) gir tiden-gjennomsnitt a (1 + e 2 2) {\displaystyle a\venstre(1 + {\frac {e^{2}}{2}}\høyre)\,}
  

  .

den gjennomsnittlige tidsverdien av den gjensidige av radiusen, r-1 {\displaystyle r^{-1}}

, er a − 1 {\displaystyle a^{-1}}

.

Energi; beregning av store halvakse fra statlige vektorerrediger

i astrodynamikk kan store halvakse a beregnes ut fra banetilstandsvektorer:

a = − μ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

for en elliptisk bane og, avhengig av konvensjonen, det samme eller

a = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

for en hyperbolsk banen, og

ε = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

μ = Gm , {\displaystyle \mu =GM,}

(standard gravitasjonsparameter), hvor:

v er banehastighet fra hastighetsvektor for et baneobjekt, er r en kartesisk posisjonsvektor for et baneobjekt i koordinatene til en referanseramme med hensyn til hvilke elementene i banen skal beregnes(f. Eks. geosentrisk ekvatorial for en bane Rundt Jorden, eller heliosentrisk ekliptikk for en bane rundt Solen), g er gravitasjonskonstanten, M er massen til det gravitasjonelle legemet, og ε {\displaystyle \varepsilon }

er den spesifikke energien til det bane legemet. merk at for en gitt mengde total masse er den spesifikke energien og den store halvaksen alltid den samme, uavhengig av eksentrisitet eller forholdet mellom massene. Omvendt, for en gitt total masse og halv-stor akse, er den totale spesifikke orbitale energien alltid den samme. Denne utsagnet vil alltid være sant under alle forhold.

halv-store og halv-mindre akser i planetenes banerediger

planetbaner er alltid sitert som hovedeksempler på ellipser (keplers første lov). Imidlertid viser den minimale forskjellen mellom semi-major og semi-minor akser at de er nesten sirkulære i utseende. Denne forskjellen (eller forholdet) er basert på eksentrisiteten og beregnes som a / b = 1 / 1 − e 2 {\displaystyle a/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}

, som for typiske planeteksentrisiteter gir svært høy eksentrisitet.små resultater. årsaken til antagelsen om fremtredende elliptiske baner ligger sannsynligvis i den mye større forskjellen mellom aphelion og perihelion. Denne forskjellen ( eller forholdet) er også basert på eksentrisiteten og beregnes som r a / r p = (1 + e) / (1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}

. På grunn av den store forskjellen mellom aphelion og perihelion, Er Keplers andre lov lett visualisert.