半長軸と半短軸

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軌道周期編集

アストロダイナミクスにおいて、円形または楕円軌道で中心体を周回する小天体の軌道周期Tは次のようになる。

T=2π a3π,{\displaystyle T=2\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}},}

{\displaystyle T=2\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}},}{\displaystyle T=2\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}}{\displaystyle T=2\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}}{\displaystyle t=2\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}}\pi{\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}},}

ここで、

aは軌道の半長軸の長さであり、
≤{\displaystyle\mu}

\mu

は中心体の標準重力パラメータである。

与えられた半長軸を持つすべての楕円について、軌道周期はそれらの離心率を無視して同じであることに注意してください。

中心天体を円形または楕円軌道で周回する小天体の特定の角運動量hは、

h=a π(1−e2),{\displaystyle h={\sqrt{a\mu(1-e)}}である。^{2})}},}

{\displaystyle h={\sqrt{a\mu(1-e)}}{\displaystyle h={\sqrt{a\mu(1-e)}}}{\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}^{2})}},}ここで、

aとμ{\displaystyle\mu}

\mu

は上で定義された通りであり、

eは軌道の離心率である。天文学では、半長軸は、その軌道周期とともに、軌道の最も重要な軌道要素の一つです。 太陽系天体の場合、半長軸はケプラーの第三法則によって軌道の周期に関連している（もともと経験的に導出された）。

T2≤a3,{\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

{\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

ここで、Tは周期であり、aは半長軸である。-長軸 この形式は、ニュートンによって決定されるように、二体問題のための一般的な形式の単純化であることが判明しました:

T2=4π2G(M+m)a3,{\displaystyle T^{2}={\frac{4\pi^{2}}{G(m+m)}}a^{3},}

{\displaystyle T^{2}={\frac{4\pi^{2}}{G(m+m)}}a^{3},}

ここで、gは重力定数であり、mは中心体の質量であり、mは周回体の質量である。 典型的には、中心体の質量は周回体の質量よりもはるかに大きく、mは無視される可能性があります。 その仮定を行い、典型的な天文学の単位を使用すると、ケプラーが発見したより簡単な形になります。

重心の周りの周回するボディのパスと、そのプライマリに対する相対パスは両方とも楕円です。 準長軸は、天文学では、一次と二次の質量比が著しく大きいときに一次から二次までの距離として使用されることがある（M≤m{\displaystyle m\gg m}

M\gg m

）。 原始的な軌道と「絶対的な」軌道の違いは、地球–月系を見ることによって最もよく説明されるかもしれません。 この場合の質量比は81である。30059. 地球-月の特徴的な距離は、地球中心月軌道の半長軸であり、384,400kmである。 （月軌道の離心率e=0.0549を考えると、その半短軸は383,800kmである。 したがって、月の軌道はほぼ円形です。 一方、重心の月の軌道は379,730kmの半長軸を持ち、地球の反軌道は4,670kmの差を占める。 月の平均重心軌道速度は1.010km/sであり、地球の軌道速度は0.012km/sである。; 同じ値は、地心半長軸値だけを考慮することによって得ることができる。

Average distanceEdit

半長軸は、楕円の主焦点と周回する物体との間の”平均”距離であるとよく言われます。 それは平均が引き継がれるものに依存するので、これは、非常に正確ではありません。

  • 偏心異常上の距離を平均化すると、実際には半長軸になります。
  • 真の異常（焦点で測定された真の軌道角）を平均化すると、半短軸b=a1-e2{\displaystyle b=a{\sqrt{1−e^{2}}}}
    {\displaystyle b=a{\sqrt{1-e^{2}}}}

    となる。

  • 平均異常（中心周囲から経過した軌道周期の割合、角度で表される）を平均化すると、時間平均a(1+e2 2){\displaystyle a\left(1+{\frac{e}}{\displaystyle a\left(1+{\frac{e}}{\displaystyle a\left(1+{\frac{e}}{\displaystyle a\left(1+{\frac{e}}{\displaystyle a\left(1+{\frac{e^{2}}{2}}\右)\,}
    {\displaystyle a\left(1+{\frac{e}{\frac{e}{\frac{e}}}^{2}}{2}}\右)\,}

    。

半径の逆数の時間平均値r-1{\displaystyle r^{-1}}

{\displaystyle r^{-1}}

はa−1{\displaystyle a^{-1}}

a^{-1}

…..

エネルギー;状態ベクトルからの半長軸の計算edit

アストロダイナミクスでは、半長軸aは軌道状態ベクトルから計算することができます:

a=−μ2ε{\displaystyle a=-{\frac{\mu}{2\varepsilon}}}

{\displaystyle a=-{\frac{\mu}{2\varepsilon}}}

楕円軌道によっては、この条約の 同一または

a=μ2ε{\displaystyle a={\frac{\mu}{2\varepsilon}}}

{\displaystyle a={\frac{\mu}{2\varepsilon}}}

双曲型軌道 と

ε=v2 2−μ|r|{\displaystyle\varepsilon={\frac{v^{2}}{2}}-{\frac{\mu}{|\mathbf{r}|}}}

{\displaystyle \varepsilon={\frac{v}{v}}^{2}}{2}}-{\frac{\mu}{|\mathbf{r}|}}}

（特定の軌道エネルギー）と

λ=G M,{\displaystyle\mu=GM,}

{\displaystyle\mu=GM,}

（標準重力パラメータ）ここで、

vは軌道を周回する物体の速度ベクトルからの軌道速度である。ここで、Ｒは、軌道の要素が計算される基準フレームの座標における軌道上の物体の直交座標ベクトルである（例えば、Ｒは、軌道上の要素が計算される Gは重力定数、Mは重力体の質量、ρ{\displaystyle\varepsilon}

\varepsilon

は公転体の比エネルギーである。

与えられた量の全質量について、偏心や質量の比にかかわらず、比エネルギーと半長軸は常に同じであることに注意してください。 逆に、与えられた全質量と半長軸については、全比軌道エネルギーは常に同じである。 この声明はある特定の条件の下で常に本当である。

惑星の軌道の半長軸と半短軸編集

惑星の軌道は、常に楕円（ケプラーの第一法則）の主要な例として引用されています。 しかし、半長軸と半短軸の間の最小の違いは、それらが外観が実質的に円形であることを示している。 この差（または比）は離心率に基づいており、a/b=1/1−e2{\displaystyle a/b=1/{\sqrt{1-e^{2}}}}

{\displaystyle a/b=1/{\sqrt{1-e^{2}}}}

として計算され、典型的な惑星の離心率では非常に小さな結果が得られる。

顕著な楕円軌道の仮定の理由は、おそらく遠日点と近日点の間のはるかに大きな差にある。 この差（または比）も離心率に基づいており、r a/r p=(1+e)/(1−e){\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}

{\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}として計算される。//////////// 遠日点と近日点の間に大きな差があるため、ケプラーの第二法則は容易に可視化される。

偏心 半長軸a(AU) 半短軸b(AU) 差(%) 近日点(AU) 遠日点(AU) 偏心(AU) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(au) 偏心(Au) 偏心(Au) 偏心(Au) 水星 0.206 0.38700 0.37870 2.2 0.307 0.467 52 金星 0.206 0.38700 0.37870 0.37870 0.307 0.467 0.467 0.467 0.467 0.467 地球 0.017 0.00000 0.002 0.718 0.728 1.4 地球 0.017 0.00000 0.002 0.718 0.728 0.728 0.728 0.728 0.728 0.728 0.728 0.728 td>0.99986 0.99986 0.99986014 0.983 1.017 3.5 Mars 0.093 1.52400 1.51740 0.44 1.382 1.666 21 Jupiter 0.049 5.20440 5.19820 0.12 4.950 5.459 10 Saturn 0.057 9.58260 9.56730 0.16 9.041 10.124 12 Uranus 0.046 19.21840 19.19770 0.11 18.330 20.110 9.7 Neptune 0.010 30.11000 30.10870 0.004 29.820 30.400 1.9

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