Axele Semi-majore și semi-minore

periodEdit Orbital

în astrodinamică perioada orbitală T a unui corp mic care orbitează un corp central într-o orbită circulară sau eliptică este:

T = 2 inkt a 3 inkt , {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

unde:

{\displaystyle \mu }

este parametrul gravitațional standard al corpului central.

rețineți că pentru toate elipsele cu o axă semi-majoră dată, perioada orbitală este aceeași, ignorând excentricitatea lor.

momentul unghiular specific h al unui corp mic care orbitează un corp central într − o orbită circulară sau eliptică este

h = A ( 1-e 2 ) , {\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}

unde:

a și {\displaystyle \mu}

sunt așa cum sunt definite mai sus,

în astronomie, axa semi-majoră este unul dintre cele mai importante elemente orbitale ale unei orbite, împreună cu perioada sa orbitală. Pentru obiectele din Sistemul Solar, axa semi-majoră este legată de perioada orbitei prin a treia lege a lui Kepler (derivată inițial empiric):

T 2 a 3 , {\displaystyle t^{2}\propto a^{3},}

unde T este perioada, iar a este axa semi-majoră. Această formă se dovedește a fi o simplificare a formei generale pentru problema cu două corpuri, determinată de Newton:

T 2 = 4 2 G ( M + m ) a 3 , {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(m+m)}}a^{3},}

unde G este constanta gravitațională, M este masa corpului central și m este masa corpului care orbitează. De obicei, masa corpului central este mult mai mare decât cea a corpului care orbitează, încât m poate fi ignorat. A face această presupunere și a folosi unități astronomice tipice are ca rezultat forma mai simplă pe care Kepler a descoperit-o.

calea corpului care orbitează în jurul baricentrului și calea sa în raport cu primarul său sunt ambele elipse. Axa semi-majoră este uneori folosită în astronomie ca distanță primară-secundară atunci când raportul de masă dintre primar și secundar este semnificativ mare ( m-XQQ {\displaystyle M\GG m}

); astfel, parametrii orbitali ai planetelor sunt date în termeni heliocentrici. Diferența dintre orbitele primocentrice și „absolute” poate fi ilustrată cel mai bine prin privirea sistemului Pământ–Lună. Raportul de masă în acest caz este de 81.30059. Distanța caracteristică Pământ-Lună, axa semi-majoră a orbitei lunare geocentrice, este de 384.400 km. (Având în vedere excentricitatea orbitei lunare e = 0,0549, axa sa semi-minoră este de 383.800 km. Astfel, orbita Lunii este aproape circulară.) Orbita lunară baricentrică, pe de altă parte, are o axă semi-majoră de 379.730 km, contra-orbita Pământului preluând diferența, 4.670 km. Viteza orbitală baricentrică medie a lunii este de 1,010 km / s, în timp ce cea a Pământului este de 0,012 km / s. totalul acestor viteze oferă o viteză orbitală lunară medie geocentrică de 1,022 km/s; aceeași valoare poate fi obținută luând în considerare doar valoarea axei semi-majore geocentrice.

distanța medie

se spune adesea că axa semi-majoră este distanța „medie” dintre focalizarea primară a elipsei și corpul care orbitează. Acest lucru nu este destul de precis, deoarece depinde de ceea ce media este preluată.

• medierea distanței peste anomalia excentrică are ca rezultat într-adevăr axa semi-majoră.
• media pe adevărata anomalie (unghiul orbital adevărat, măsurat la focalizare) are ca rezultat axa semi-minoră b = A 1 − e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}
  

  .

• media peste anomalia medie (fracția perioadei orbitale care a trecut de la pericentru, exprimată ca unghi) dă media timpului a (1 + e 2 2) {\displaystyle A \ left (1 + {\frac {e^{2}}{2}}\dreapta)\,}
  

  .

valoarea medie în timp a reciprocității razei, r-1 {\displaystyle r^{-1}}

, este a − 1 {\displaystyle A^{-1}}

.

energie; calculul axei semi-majore din vectori de staredit

în astrodinamică, axa semi-majoră a poate fi calculată din vectori de stare orbitală:

o = − μ 2 ε {\displaystyle o=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

pentru o orbită eliptică și, în funcție de convenție, același sau

o = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

pentru o traiectorie hiperbolică, și

ε = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

(energie orbitala specifica) si

{\displaystyle \MU = GM,}

(parametru gravitational standard), unde: v este viteza orbitală din vectorul de viteză al unui obiect care orbitează, r este un vector de poziție cartezian al unui obiect care orbitează în coordonatele unui cadru de referință în raport cu care trebuie calculate elementele orbitei (de ex. ecuatorial geocentric pentru o orbită în jurul Pământului, sau ecliptic heliocentric pentru o orbită în jurul Soarelui), G este constanta gravitațională, M este masa corpului gravitațional, iar XV {\displaystyle \varepsilon }

este energia specifică a corpului care orbitează.

rețineți că pentru o anumită cantitate de masă totală, energia specifică și axa semi-majoră sunt întotdeauna aceleași, indiferent de excentricitate sau de raportul maselor. În schimb, pentru o masă totală dată și o axă semi-majoră, energia orbitală specifică totală este întotdeauna aceeași. Această afirmație va fi întotdeauna adevărată în orice condiții date.

axele semi-majore și semi-minore ale orbitelor planetelor

orbitele planetei sunt întotdeauna citate ca exemple prime de elipse (prima lege a lui Kepler). Cu toate acestea, diferența minimă dintre axele semi-majore și semi-minore arată că acestea au un aspect practic circular. Această diferență (sau raport) se bazează pe excentricitate și se calculează ca A / b = 1 / 1 − e 2 {\displaystyle a/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}}

, care pentru planeta tipică a excentricitățile dau rezultate foarte mici.

motivul asumării orbitelor eliptice proeminente constă probabil în diferența mult mai mare dintre afeliu și periheliu. Această diferență (sau raport) se bazează și pe excentricitate și se calculează ca r A / r p = ( 1 + e ) / ( 1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{P}}=(1+e)/(1-e)}

. Datorită diferenței mari dintre afeliu și periheliu, a doua lege a lui Kepler este ușor de vizualizat.