Axes semi-majeurs et semi-mineurs

est le paramètre gravitationnel standard du corps central.

sont tels que définis ci-dessus,

où T est la période, et a est le demi-grand axe. Cette forme s’avère être une simplification de la forme générale pour le problème à deux corps, telle que déterminée par Newton:

T 2 = 4 π 2 G(M + m) a 3, {\displaystyle T^{2}= {\frac{4\pi^{2}} {G(M + m)}} a ^{3},}

où G est la constante gravitationnelle, M est la masse du corps central et m est la masse du corps en orbite. Typiquement, la masse du corps central est tellement supérieure à celle du corps en orbite, que m peut être ignoré. Faire cette hypothèse et utiliser des unités d’astronomie typiques aboutit à la forme plus simple découverte par Kepler.

La trajectoire du corps en orbite autour du barycentre et sa trajectoire par rapport à son primaire sont toutes deux des ellipses. Le demi-grand axe est parfois utilisé en astronomie comme distance primaire-secondaire lorsque le rapport de masse du primaire au secondaire est significativement grand (M ≫m {\displaystyle M\gg m}

); ainsi, les paramètres orbitaux des planètes sont donnés en termes héliocentriques. La différence entre les orbites primocentrique et « absolue » peut être mieux illustrée en regardant le système Terre–Lune. Le rapport massique dans ce cas est de 81.30059. La distance caractéristique Terre-Lune, le demi-grand axe de l’orbite lunaire géocentrique, est de 384 400 km. (Compte tenu de l’excentricité de l’orbite lunaire e = 0,0549, son demi-petit axe est de 383 800 km. Ainsi, l’orbite de la Lune est presque circulaire.) L’orbite lunaire barycentrique, quant à elle, a un demi-grand axe de 379 730 km, la contre-orbite terrestre prenant la différence, 4 670 km. La vitesse orbitale barycentrique moyenne de la Lune est de 1,010 km / s, tandis que celle de la Terre est de 0,012 km / s. Le total de ces vitesses donne une vitesse orbitale moyenne lunaire géocentrique de 1,022 km / s; la même valeur peut être obtenue en considérant uniquement la valeur du demi-grand axe géocentrique.

Distance moyennedit

On dit souvent que le demi-grand axe est la distance « moyenne » entre le foyer principal de l’ellipse et le corps en orbite. Ce n’est pas tout à fait exact, car cela dépend de ce que la moyenne est prise en charge.

• la moyenne de la distance sur l’anomalie excentrique aboutit en effet au demi-grand axe.
• la moyenne sur l’anomalie vraie (l’angle orbital vrai, mesuré au foyer) donne le demi-axe mineur b = a 1-e 2 {\displaystyle b = a {\sqrt{1-e^{2}}}}
  

  .

• la moyenne sur l’anomalie moyenne (la fraction de la période orbitale qui s’est écoulée depuis le péricentre, exprimée en angle) donne la moyenne temporelle a(1 + e 2 2) {\displaystyle a\left(1+ {\frac{e^{2}}{2}}\ (1+ {\frac{e)) \,}
  

  .

La valeur moyenne dans le temps de la réciproque du rayon, r-1 {\displaystyle r^{-1}}

, est a−1 {\displaystyle a^{-1}}

.

Énergie; calcul du demi-grand axe à partir de vecteurs d’étatsmodifier

En astrodynamique, le demi-grand axe a peut être calculé à partir de vecteurs d’états orbitaux:

a=−μ 2 ε {\displaystyle a= -{\frac{\mu}{2\varepsilon}}}

pour une orbite elliptique et, selon la convention, la même ou

a = μ 2 ε {\displaystyle a = {\frac {\mu}{2\varepsilon}}}

pour une trajectoire hyperbolique, et

ε= v 2 2−μ|r| { \displaystyle\varepsilon = {\frac{v^{2}}{2}}-{\ frac {\mu}{|\mathbf{r}/}}}

(énergie orbitale spécifique) et

μ= G M, {\displaystyle\mu= GM, }

(paramètre gravitationnel standard), où :

v est la vitesse orbitale à partir du vecteur vitesse d’un objet en orbite, r est un vecteur de position cartésienne d’un objet en orbite aux coordonnées d’un repère par rapport auquel les éléments de l’orbite doivent être calculés (e.g. géocentrique équatoriale pour une orbite autour de la Terre, ou écliptique héliocentrique pour une orbite autour du Soleil), G est la constante gravitationnelle, M est la masse du corps gravitant, et ε{\displaystyle\varepsilon}

est l’énergie spécifique du corps en orbite.

Notez que pour une quantité donnée de masse totale, l’énergie spécifique et le demi-grand axe sont toujours les mêmes, indépendamment de l’excentricité ou du rapport des masses. Inversement, pour une masse totale et un demi-grand axe donnés, l’énergie orbitale spécifique totale est toujours la même. Cette affirmation sera toujours vraie dans toutes les conditions données.

Axes semi-majeurs et semi-mineurs des orbites des planètesdit

Les orbites planétaires sont toujours citées comme des exemples principaux d’ellipses (première loi de Kepler). Cependant, la différence minimale entre les axes semi-majeur et semi-mineur montre qu’ils sont d’aspect pratiquement circulaire. Cette différence (ou rapport) est basée sur l’excentricité et est calculée comme a/b = 1/1−e 2 {\displaystyle a/b = 1/ {\sqrt{1-e^{2}}}}

, ce qui pour les excentricités planétaires typiques donne très petits résultats.

La raison de l’hypothèse d’orbites elliptiques proéminentes réside probablement dans la différence beaucoup plus grande entre l’aphélie et le périhélie. Cette différence (ou rapport) est également basée sur l’excentricité et est calculée comme r a/r p =(1+e)/(1−e) {\displaystyle r_ {\text{a}}/r_ {\text{p}} =(1+e)/(1-e)}

. En raison de la grande différence entre l’aphélie et le périhélie, la deuxième loi de Kepler est facilement visualisée.

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