Halb-Dur- und Halb-Moll-Achsen

Umlaufzeitbearbeiten

In der Astrodynamik ist die Umlaufzeit T eines kleinen Körpers, der einen zentralen Körper in einer kreisförmigen oder elliptischen Umlaufbahn umkreist:

T = 2 π a 3 μ , {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

wobei:

μ {\displaystyle \mu }

ist der Standard-Gravitationsparameter des Zentralkörpers.

Beachten Sie, dass für alle Ellipsen mit einer gegebenen Semi-Major-Achse die Umlaufzeit gleich ist, abgesehen von ihrer Exzentrizität.

Der spezifische Drehimpuls h eines kleinen Körpers, der einen zentralen Körper in einer kreisförmigen oder elliptischen Umlaufbahn umkreist, ist

h = a μ ( 1 − e 2) , {\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}

wobei:

a und μ {\displaystyle \mu }

wie oben definiert sind,

In der Astronomie ist die Semi-Major-Achse zusammen mit ihrer Umlaufzeit eines der wichtigsten Orbitalelemente einer Umlaufbahn. Für Objekte des Sonnensystems ist die Semi-Major-Achse durch Keplers drittes Gesetz (ursprünglich empirisch abgeleitet) mit der Periode der Umlaufbahn verbunden:

T 2 ∝ a 3 , {\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

wobei T die Periode ist und A ist die Semi-Major-Achse. Diese Form stellt sich als Vereinfachung der allgemeinen Form für das von Newton bestimmte Zweikörperproblem heraus:

T 2 = 4 π 2 G ( M + m ) a 3 , {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}

wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers und m die Masse des umlaufenden Körpers ist. Typischerweise ist die Masse des Zentralkörpers so viel größer als die des umlaufenden Körpers, dass m ignoriert werden kann. Diese Annahme zu treffen und typische astronomische Einheiten zu verwenden, führt zu der einfacheren Form, die Kepler entdeckt hat.

Der Weg des umlaufenden Körpers um das Baryzentrum und sein Weg relativ zu seinem Primärkörper sind beide Ellipsen. Die Semi-Major-Achse wird in der Astronomie manchmal als Primär-Sekundär-Abstand verwendet, wenn das Massenverhältnis von Primär zu Sekundär signifikant groß ist ( M ≫ m {\displaystyle M\gg m}

); Somit sind die Orbitalparameter der Planeten heliozentrisch angegeben. Der Unterschied zwischen der primozentrischen und der „absoluten“ Umlaufbahn lässt sich am besten anhand des Erde–Mond-Systems veranschaulichen. Das Massenverhältnis beträgt in diesem Fall 81.30059. Die charakteristische Entfernung Erde-Mond, die Halbachse der geozentrischen Mondumlaufbahn, beträgt 384.400 km. (Angesichts der Exzentrizität der Mondumlaufbahn e = 0,0549 beträgt ihre Semi-Minor-Achse 383.800 km. Die Umlaufbahn des Mondes ist also fast kreisförmig.) Die baryzentrische Mondumlaufbahn hingegen hat eine Semi-Major-Achse von 379.730 km, wobei die Gegenbahn der Erde die Differenz von 4.670 km aufnimmt. Die durchschnittliche baryzentrische Umlaufgeschwindigkeit des Mondes beträgt 1,010 km / s, während die der Erde 0,012 km / s beträgt. Die Summe dieser Geschwindigkeiten ergibt eine geozentrische durchschnittliche Umlaufgeschwindigkeit des Mondes von 1,022 km / s; der gleiche Wert kann erhalten werden, indem nur der geozentrische Semi-Major-Achsenwert berücksichtigt wird.

Average distanceEdit

Es wird oft gesagt, dass die Semi-Major-Achse der „durchschnittliche“ Abstand zwischen dem primären Fokus der Ellipse und dem umlaufenden Körper ist. Dies ist nicht ganz genau, weil es davon abhängt, was der Durchschnitt übernommen wird.

• Die Mittelung der Entfernung über die exzentrische Anomalie ergibt tatsächlich die Semi-Major-Achse.
• Die Mittelung über die wahre Anomalie (der wahre Orbitalwinkel, gemessen am Fokus) ergibt die Semi-Minor−Achse b = a 1 – e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}
  

  .

• Die Mittelung über die mittlere Anomalie (der Bruchteil der seit Perizentrum verstrichenen Umlaufzeit, ausgedrückt als Winkel) ergibt den zeitlichen Mittelwert a ( 1 + e 2 2 ) {\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\ rechts)\,}
  

  .

Der zeitgemittelte Wert des Kehrwerts des Radius, r – 1 {\displaystyle r^{-1}}

, ist a − 1 {\displaystyle a^{-1}}

.

Energie; Berechnung der Semi-Major-Achse aus Zustandsvektorenbearbeiten

In der Astrodynamik kann die Semi-Major-Achse a aus orbitalen Zustandsvektoren berechnet werden:

a = − μ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

für eine elliptische Umlaufbahn und je nach Konvention gleich oder

a = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

für eine hyperbolische Trajektorie und

ε = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \varepsilon ={\^{2}}{2}}-{\ frac {\mu }{/\mathbf {r} |}}}

(spezifische Orbitalenergie) und

μ = G M , {\displaystyle \mu =GM,}

(Standardgravitationsparameter), wobei:

v die Orbitalgeschwindigkeit von der r ein kartesischer Positionsvektor eines umlaufenden Objekts in Koordinaten eines Referenzrahmens ist, zu dem die Elemente der Umlaufbahn berechnet werden sollen (z.B. geozentrischer Äquator für eine Umlaufbahn um die Erde oder heliozentrische Ekliptik für eine Umlaufbahn um die Sonne), G ist die Gravitationskonstante, M ist die Masse des Gravitationskörpers und ε {\displaystyle \varepsilon }

ist die spezifische Energie des umlaufenden Körpers. Beachten Sie, dass für eine gegebene Menge an Gesamtmasse die spezifische Energie und die Semi-Major-Achse immer gleich sind, unabhängig von der Exzentrizität oder dem Verhältnis der Massen. Umgekehrt ist für eine gegebene Gesamtmasse und Semi-Major-Achse die gesamte spezifische Orbitalenergie immer gleich. Diese Aussage wird unter bestimmten Bedingungen immer wahr sein.

Halb-Dur- und Halb-Moll-Achsen der Umlaufbahnenbearbeiten

Planetenbahnen werden immer als Paradebeispiele für Ellipsen angeführt (Keplers erstes Gesetz). Der minimale Unterschied zwischen der Semi-Dur- und der Semi-Moll-Achse zeigt jedoch, dass sie praktisch kreisförmig aussehen. Diese Differenz (oder das Verhältnis) basiert auf der Exzentrizität und wird berechnet als a/b = 1 / 1 − e 2 {\displaystyle a/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}}

, was für typische Planetenexzentrizitäten sehr kleine Ergebnisse liefert.

Der Grund für die Annahme markanter elliptischer Bahnen liegt wahrscheinlich in dem viel größeren Unterschied zwischen Aphel und Perihel. Diese Differenz (oder das Verhältnis) basiert ebenfalls auf der Exzentrizität und wird berechnet als r a / r p = (1 + e ) / (1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}

. Aufgrund des großen Unterschieds zwischen Aphel und Perihel ist Keplers zweites Gesetz leicht zu visualisieren.