Semi-major och semi-minor axlar

Orbital periodEdit

i astrodynamik är orbitalperioden t för en liten kropp som kretsar kring en central kropp i en cirkulär eller elliptisk bana:

T = 2 kg a 3 kg , {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

där:

a är längden på banans halvhuvudaxel,

\mu

är standard gravitationsparametern för den centrala kroppen.

Observera att för alla ellipser med en given halvhuvudaxel är omloppsperioden densamma, bortsett från deras excentricitet.

den specifika vinkelmomentet h hos en liten kropp som kretsar kring en central kropp i en cirkulär eller elliptisk bana är

h = a (1-e 2 ), {\displaystyle h={\sqrt {a \ mu (1-e^{2})}},}

där:

a och xib {\displaystyle \mu }

är som definierats ovan,

i astronomi är halvhuvudaxeln en av de viktigaste orbitalelementen i en omlopp, tillsammans med dess orbitalperiod. För Solsystemobjekt är halvhuvudaxeln relaterad till omloppsperioden enligt Keplers tredje lag (ursprungligen empiriskt härledd):

T 2 c 3, {\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

där T är perioden och A är halvhuvudaxeln. Denna form visar sig vara en förenkling av den allmänna formen för tvåkroppsproblemet, som bestäms av Newton:

T 2 = 4 C 2 g ( M + m ) a 3 , {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+M)}}a^{3},}

där G är gravitationskonstanten, M är massan av den centrala kroppen och M är massan av den kretsande kroppen. Typiskt är den centrala kroppens massa så mycket större än den kretsande kroppens, att m kan ignoreras. Att göra det antagandet och använda typiska astronomienheter resulterar i den enklare formen Kepler upptäckte.

den kretsande kroppens väg runt barycentret och dess väg i förhållande till dess primära är båda ellipserna. Halvhuvudaxeln används ibland i astronomi som det primära till sekundära avståndet när massförhållandet mellan det primära och det sekundära är signifikant stort ( m kub m {\displaystyle M\gg m}

); sålunda ges planetens orbitalparametrar i heliocentriska termer. Skillnaden mellan de primocentriska och” absoluta ” banorna kan bäst illustreras genom att titta på Earth–Moon-systemet. Massförhållandet i detta fall är 81.30059. Jordmånens karakteristiska avstånd, halvhuvudaxeln för den geocentriska månbanan, är 384 400 km. (Med tanke på månbanans excentricitet e = 0,0549 är dess halvminoraxel 383 800 km. Således är månens bana nästan cirkulär.) Den barycentriska månbanan har å andra sidan en halvhuvudaxel på 379 730 km, jordens motbana tar upp skillnaden, 4 670 km. Månens genomsnittliga barycentriska omloppshastighet är 1.010 km/ s, medan jordens är 0.012 km / s. summan av dessa hastigheter ger en geocentrisk lunar Genomsnittlig omloppshastighet på 1.022 km/s; samma värde kan erhållas genom att bara överväga det geocentriska halvhuvudaxelvärdet.

Genomsnittlig distanseedit

det sägs ofta att halvhuvudaxeln är det ”genomsnittliga” avståndet mellan ellipsens primära fokus och den kretsande kroppen. Detta är inte helt korrekt, eftersom det beror på vad genomsnittet tas över.

• medelvärdet av avståndet över den excentriska anomali resulterar faktiskt i halvhuvudaxeln.
• medelvärde över den sanna anomali (den sanna orbitalvinkeln, mätt vid fokus) resulterar i halvminoraxeln b = A 1-e 2 {\displaystyle b=A{\sqrt {1 − e^{2}}}}
  

  .

• medelvärde över den genomsnittliga anomali (fraktionen av omloppsperioden som har gått sedan pericentre, uttryckt som en vinkel) ger tidsgenomsnittet a (1 + e 2 2 ) {\displaystyle a\left(1 + {\frac {e^{2}}{2}}\höger)\,}
  

  .

det genomsnittliga tidsvärdet för radiens ömsesidiga, r-1 {\displaystyle r^{-1}}

, är a − 1 {\displaystyle A^{-1}}

.

energi; beräkning av halvhuvudaxel från tillståndsvektorsedit

i astrodynamik kan halvhuvudaxeln a beräknas från orbitala tillståndsvektorer:

a = − μ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

för en elliptisk bana och, beroende på konvention, samma eller

a = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

för en hyperbolisk bana, och

ε = v 2 2 − m | r | {\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

(specifik orbital energi) och

{\displaystyle \mu = GM,}

(standard gravitationsparameter), där:

v är orbitalhastighet från hastighetsvektor för ett kretsande objekt, r är en kartesisk positionsvektor för ett kretsande objekt i Koordinater för en referensram med avseende på vilken banans element ska beräknas (t. ex. geocentrisk ekvatorial för en bana runt jorden, eller heliocentrisk ekliptik för en bana runt solen), G är gravitationskonstanten, M är gravitationskroppens massa och xib {\displaystyle \varepsilon }

är den specifika energin hos den kretsande kroppen.

Observera att för en given mängd total massa är den specifika energin och halvhuvudaxeln alltid densamma, oavsett excentricitet eller massförhållandet. Omvänt, för en given total massa och halvhuvudaxel är den totala specifika orbitalenergin alltid densamma. Detta uttalande kommer alltid att vara sant under alla givna förhållanden.

Semi-major och semi-minor axlar av planeternas banor

planetbanor Citeras alltid som främsta exempel på ellipser (Keplers första lag). Den minimala skillnaden mellan de halvstora och halvminoraxlarna visar emellertid att de är praktiskt taget cirkulära i utseende. Den skillnaden (eller förhållandet) baseras på excentriciteten och beräknas som a / b = 1 / 1 − e 2 {\displaystyle A/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}}

, som för typisk planet excentriciteter ger mycket små resultat.

anledningen till antagandet av framstående elliptiska banor ligger förmodligen i den mycket större skillnaden mellan aphelion och perihelion. Den skillnaden (eller förhållandet) baseras också på excentriciteten och beräknas som r a / r p = ( 1 + e ) / ( 1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}

. På grund av den stora skillnaden mellan aphelion och perihelion är Keplers andra lag lätt visualiserad.