A Hipótese de Riemann: FAQ e recursos
- o Que é a Hipótese de Riemann?quem era o Riemann?como é que está ligado aos números primos?a que outras áreas da matemática se relaciona?o que é isto sobre um prémio de um milhão de dólares?porque é que é importante?há alguma proposta de provas em circulação?
- Quem é considerado na corrida para provar o RH?
- Qual é considerada a abordagem mais provável para ter sucesso em provar o RH?alguém acredita que é falso?poderá a sua verdade ou falsidade revelar-se indecidível?há algum livro na RH para o leigo? Alguém escreveu uma “hipótese de Riemann para manequins” ou “hipótese de Riemann simplificada”?acho que tenho uma prova do RH! O que faço agora?ouvi algo sobre uma ligação com a física quântica.não há uma ligação com a criptografia? Uma prova comprometeria a segurança das comunicações na Internet e das transacções financeiras?qual é a hipótese de Riemann estendida, RH generalizada, Grand RH?
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- Qual é a hipótese de Riemann?a hipótese de Riemann é uma conjectura matemática, proposta pela primeira vez em 1859 e ainda não provada a partir de 2015. É indiscutivelmente o mais famoso de todos os problemas matemáticos não resolvidos, às vezes referido como “o Santo Graal da matemática”. Embora esteja relacionado com muitas áreas da matemática, geralmente é pensado como referente à distribuição de números primos.quem era Riemann?Bernhard Riemann (Nome Completo Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) foi um matemático alemão tímido e humilde que fez contribuições significativas para várias áreas da matemática, incluindo análise e geometria diferencial. Ele só escreveu um artigo sobre a teoria dos números, mas foi isso que continha a afirmação de sua hipótese, e por isso é facilmente um dos mais importantes trabalhos de teoria dos números já publicados. As well as this, his work on differential geometry pavimented the way for the mathematical foundations of Einstein’s general theory of relativity.
- Como é que é ligado a números primos?
para realmente responder a essa pergunta seria necessário um monte de matemática superior, então eu só posso fornecer um esboço aqui, mas mais recursos para ajudá-lo a explorar este assunto podem ser encontrados abaixo.
os números primos aparecem ao longo da sequência de números de contagem, mas não mostram nenhum padrão óbvio. Eles mostram uma tendência para diluir, porém, e a “taxa média” na qual eles diluem é descrita pelo teorema dos números primos. Isso foi proposto pela primeira vez no final de 1700, mas não provou por mais cem anos. Para provar o PNT, matemáticos precisavam estudar um objeto matemático conhecido como função zeta de Riemann. A função zeta foi introduzida no artigo de Riemann de 1859 e mostrou (em algum sentido) controlar as flutuações dos números primos em torno de seu comportamento “médio”. A função zeta opera em um “plano numérico bidimensional” chamado plano complexo, e associado com ele é um conjunto infinito de pontos conhecidos como seus “zeros não triviais” (comumente conhecido como “zeta zeros” ou “Riemann zeros”). As posições destes zeros no plano complexo podem estar relacionadas a um conjunto infinito de entidades tipo onda que governam coletivamente a flutuação dos primes. Todos os zeros Riemann foram capazes de calcular lay em uma linha vertical, e ele colocou a hipótese de que todos os zeros da função zeta (não triviais) estão nesta “linha crítica”. Essa é a hipótese de Riemann. A partir de seus escritos, parece que ele não percebeu quão importante esta afirmação casual se tornaria – ele simplesmente afirmou que acreditava que era verdade, mas que não era diretamente relevante para suas investigações, e seguiu em frente.Riemann foi capaz de provar certas coisas sobre zeta zeros, incluindo que todos eles devem estar em uma faixa vertical de uma unidade de largura (a “faixa crítica”), centrada na “linha crítica” mencionada acima. No século XIX, foi mostrado que o Teorema do número primo seria verdadeiro se os Zeta zeros pudessem ser mostrados corretamente dentro da faixa crítica, ou seja, não em suas bordas. Em 1896, os matemáticos Hadamard e de la Vallée Poussin provaram isso quase simultaneamente, provando assim o PNT.
estreitar ainda mais a faixa na qual todos os zeros zeta são conhecidos por mentir levaria a informações mais precisas sobre a distribuição dos números primos. O resultado final seria reduzir esta faixa à sua linha central (a” linha crítica”), o mais estreita possível. Se isso pode ser feito, o RH é provado, e nós saberíamos que os números primos são tão bem comportados quanto possível. Se o RH é falso, haverá zeta zeros que não se encontram na linha crítica, e a onda-como entidades associadas a estes resultaria em grandes flutuações na distribuição dos números primos, assim, interromper um certo “equilíbrio” dentro do sistema de número que a comunidade matemática quase universalmente esperanças e acredita estar em vigor.
- Que outras áreas da matemática não se relacionar?
quase todas as áreas da matemática podem estar de alguma forma relacionadas com a hipótese de Riemann. Isto não é tão surpreendente quando você considera o papel fundamental que os números primos desempenham no sistema de números que está subjacente a toda a matemática. O RH tem sido “reformulado” como (i.e., mostrado ser matematicamente equivalente a) conjecturas matemáticas em uma impressionante diversidade de áreas. Recolhi algumas destas reformulações aqui.
- que é isto sobre um prêmio de $ 1.000.000 ?o Instituto de matemática de argila sem fins lucrativos foi fundado em 1998, e em 2000 anunciou seus sete “problemas do Prêmio Milênio”, oferecendo um prêmio de um milhão de dólares para cada um. Naturalmente, a hipótese de Riemann foi um desses problemas. Isto levou a uma enorme explosão de interesse popular no problema, mas como sua prova já era o prêmio final para matemáticos, o milhão de dólares era improvável para fazer muita diferença para eles. Escusado será dizer que o prémio ainda não foi reclamado.
- Por que é importante?é? Porque é que algo é importante? A vida da maioria das pessoas não seria totalmente afetada pelo RH sendo provada (ou refutada). No entanto, dentro da matemática é extremamente importante. Devido ao papel fundamental que os números primos desempenham no sistema de números, a RH pode ser relacionada a muitas áreas diversas da matemática. Existem centenas de teoremas cujas afirmações começam por assumir que o RH é verdadeiro. Consequentemente, se o RH for refutado, todos estes teoremas colapsarão, e se for provado, eles se manterão. O RH ser falso seria um desastre para a matemática como a entendemos atualmente.
também, o fato de que mais de 150 anos de esforço dedicado não conseguiram produzir uma prova significa que os matemáticos estão falando sobre coisas como “um buraco escancarado em nossa compreensão”, ou um vasto abismo entre onde estamos agora, matematicamente, e onde precisamos estar para provar o RH. Isto sugere que, para provar a hipótese, são necessárias algumas grandes ideias novas, ideias que podem alterar fundamentalmente a nossa compreensão do sistema de números. Então a busca de uma prova do RH é importante nesse sentido.
deve-se acrescentar que são as várias “generalizações” (ver abaixo) da RH cuja prova ou refutação teria um impacto verdadeiramente importante na matemática.
explicar a importância da hipótese de Riemann para a matemática é quase tão difícil quanto explicar o que é, então você pode querer olhar para várias tentativas de outros povos aqui, aqui, aqui e aqui.há alguma proposta de provas em circulação?sim, há bastantes. Alguns devem ser levados mais a sério do que outros. O matemático Louis de Brages, que provou ser um grande resultado chamado de conjectura de Bieberbach em 1985, apresentou várias propostas de provas, a mais recente no final de 2014. Ele é o mais conhecido de todos os autores da “prova”, alguns dos quais são matemáticos profissionais, a maioria sendo amadores.eu tenho arquivado todas as provas propostas e refeitos aqui há alguns anos, incluindo falsos alarmes, provas do Dia Das mentiras, provas de comédia e pelo menos um argumento “teológico” para o RH!
- Quem é considerado na corrida para provar o RH?depende a quem perguntas. Louis de Brages é um matemático sério com um histórico formidável, mas sua abordagem particular à RH não parece ter conquistado muitos seguidores na comunidade matemática. A abordagem de Alain Connes envolvendo geometria não-comutativa parece ser a que a maioria das pessoas envolvidas considera potencialmente frutífera. O nome de Christopher Deninger também aparece às vezes. O livro de Karl Sabbagh, Dr. Os Zeros de Riemann (2002), embora bastante carentes em termos de explicar a matemática da RH, contém uma boa visão geral do lado humano da história, de modo que seria um bom ponto de partida para responder a esta pergunta.
- Qual é considerada a abordagem mais provável para ter sucesso em provar o RH?no final da década de 1990, parecia que o trabalho de Alain Connes em Geometria não-comutativa era o caminho a seguir, com alguns artigos promissores publicados. Mas essa investigação parece ter chegado a um impasse na última década.depende a quem perguntas! Qualquer matemático que pense que está a caminho de uma prova consideraria a sua abordagem como a mais provável de ter sucesso. E então há a possibilidade de que um ou mais matemáticos de peso pesado estão trabalhando secretamente no problema (como Andrew Wiles fez com o Último Teorema de Fermat) usando uma abordagem que nenhum de nós conhece, à beira de completar uma prova. Acredita-se que Paul Cohen (1934-2007) e Atle Selberg (1917-2007) estavam ambos “secretamente” trabalhando na hipótese de Riemann até suas mortes.
O teórico dos números da Universidade de Oxford, Roger Heath-Brown, disse que ” não mais apenas os teóricos dos números analíticos envolvidos, mas todos os matemáticos sabem sobre o problema, e muitos percebem que eles podem ter insights úteis para oferecer. Tanto quanto eu posso ver, uma solução é tão provável vir de um probabilista, geômetro ou físico matemático, como de um teórico de números.”
- alguém acredita que seja falso?
In 1962, the accomplished Cambridge number theorist John Littlewood (best known for his collaborations with G. H. Hardy) publicou uma pequena peça na qual ele afirmou abertamente que acreditava que era falso, que não há nenhuma evidência e nenhuma razão imaginável para que isso fosse verdade. Pode-se argumentar que isso foi apenas amargura suportada por sua incapacidade de prová-lo ele mesmo (seu supervisor de doutorado tinha um pouco cruelmente definir-lhe o problema em um momento em que não era tão bem conhecido). In 2008, Aleksandar Ivić published some reasons why he was skeptical about the truth of the RH.
- poderia a sua verdade ou falsidade vir a ser indecidível?não podemos descartar isso. Matemático e cientista da computação Gregory Chaitin tem publicado alguns pensamentos sobre como Gödel os Teoremas de Incompletude (sobre a existência de indecidíveis proposta dentro de sistemas axiomático) podem ser relevantes para o RH e como ele poderia ser indecidíveis (ver aqui).
- Existem alguns livros sobre a RH para o leigo? Alguém escreveu uma “hipótese de Riemann para manequins” ou “hipótese de Riemann simplificada”?existem vários. Em 2003, devido à explosão de interesse gerado pela oferta de um milhão de dólares do CMI, três livros de matemática populares foram publicados na RH. A obsessão principal de John Derbyshire é a mais matematicamente detalhada, mas seria difícil de seguir sem matemática de nível de grau. Os Zeros do Dr. Riemann de Karl Sabbagh eram luz sobre a matemática, mas fornece um retrato detalhado de muitos dos matemáticos envolvidos, focando-se no “ângulo humano”. Marcus du Sautoy’s the Music of the Primes was somewhere between these two, covering both the mathematical and cultural angles. Análises comparativas destes livros podem ser encontradas aqui, aqui e aqui. Alguns anos depois, Dan Rockmore perseguiu a hipótese de Riemann, o que é bastante técnico em alguns lugares, mas muito legível em outros.
Tendo sido a curadoria deste site para alguns anos, Eu queria criar um livro que realmente comunicada a matemática da Hipótese de Riemann (em vez de apenas dar ao leitor uma sensação de que está envolvido), e que os meus não-matemáticos amigos poderiam ler. Isso me levou a trabalhar com um ilustrador para desenvolver uma nova abordagem, principalmente visual para alguns conceitos matemáticos inacessíveis, e a ideia original do livro eventualmente deu origem a uma trilogia de livros. The Secrets of Creation trilogy first explores the distribution of prime numbers, leading to a detailed account of Riemann’s zeta function and Hypothesis in Volume 2. O volume final considera a conexão com a física quântica e suas implicações filosóficas.I think I have a proof of the RH! O que faço agora?fiquem calmos. Há uma boa hipótese de estar enganado. Afinal de contas, este problema existe há mais de 150 anos e muitas das melhores mentes matemáticas do planeta têm estado a lidar com ele durante a maior parte desse tempo. Por causa da minha presença na web, eu sou enviado provas propostas por amadores de vez em quando, e postá-los aqui. Uma preocupação recorrente que seus autores expressam é que alguém vai roubar a idéia deles antes de receber o prêmio de US $ 1 milhão. Isso não deve ser uma preocupação. Crie um site simples e poste seu trabalho lá – isso é suficiente evidência de autoria original. Envie-me um link e eu vou postá-lo na minha página de propostas de provas RH. Podes usar a sci.o grupo de notícias de matemática ou a lista de E-mail das páginas principais para atrair a atenção para o seu trabalho.
infelizmente, porém, a maioria dos matemáticos simplesmente não tem tempo para ler as provas propostas da RH quando eles têm quase 100% de certeza que o autor está de alguma forma enganado. Como alguém disse uma vez, “é mais fácil provar a hipótese de Riemann do que conseguir que alguém leia a sua prova!”Sua melhor esperança é que um pós-graduação ou matemático interessado com algum tempo livre vai analisar através de seu trabalho, não encontrar quaisquer problemas com ele, e encaminhá-lo para alguém mais alto na escada de prestígio matemático.
para mais informações sobre como obter o seu trabalho lá fora e quaisquer preocupações que você possa ter sobre ele ser roubado, leia isto.ouvi algo sobre uma ligação com a física quântica.para entender isso requer uma familiaridade com a física quântica, a teoria do caos e a função zeta de Riemann, então o melhor que posso fazer aqui é dar um esboço muito esboçado. Parte do trabalho de Riemann sobre a distribuição de primos mostrou que a “função de contagem primária” pode ser entendida em termos de um conjunto de objetos matemáticos como ondas. Tal como acontece com as ondas na física, estas têm comprimentos de onda e frequências. Há um número infinito deles e suas freqüências coletivamente compõem o que é chamado de “espectro”. No início da década de 1980, o físico Michael Berry notou que este espectro corresponde notavelmente ao espectro associado a um tipo de sistema físico oscilante. A verdade ou falsidade da hipótese de Riemann pode então ser ligada às propriedades físicas do sistema em questão. Isto abre a possibilidade de que a descoberta de (a possível existência de) um determinado sistema físico poderia levar a uma prova de RH.embora seja muito comum encontrar estruturas matemáticas refletidas na realidade física (esta é a base da física moderna), esta é uma estranha inversão dessa situação, onde uma estrutura física é refletida na realidade matemática. Uma classe muito específica de osciladores “quânticos chaológicos” parece de alguma forma estar subjacente à distribuição de números primos (e, assim, o sistema de contagem de números). Ninguém sabe o que isto significa, e é a coisa mais estranha que conheço na minha experiência da realidade! Tudo isso é pacientemente explicado (sem qualquer pré-requisito de matemática ou física) no volume final dos meus segredos da trilogia da criação.não há uma ligação com a criptografia? Uma prova comprometeria a segurança das comunicações na Internet e das transacções financeiras?
o algoritmo RSA, comumente usado na criptografia, envolve o uso de grandes números primos e explora o fato de que a determinação dos fatores primos de um grande número composto é muito mais trabalhoso do que a multiplicação dos fatores juntos em primeiro lugar. Já expliquei com mais detalhes.
uma prova da hipótese de Riemann não comprometeria, por si só, o algoritmo RSA (ou outros baseados na teoria dos números). No entanto, a “grande ideia(s) Nova (S)” que todos esperam ser necessários para uma prova da RH pode levar a avanços na factorização eficiente dos inteiros, e isso seria um problema para a criptografia. Estas questões são exploradas em pormenor aqui, aqui e aqui.
- ual é a hipótese de Riemann estendida, RH generalizada, Grand RH?estas também são conjecturas matemáticas não comprovadas e são generalizações da hipótese de Riemann. Isto é, o RH em sua forma familiar pode ser entendido como um caso especial de cada um deles. Se algum deles fosse provado verdadeiro, o RH seguiria automaticamente.
Recall that the Riemann Hypothesis, as usually formulated, concerns the zeros of the Riemann zeta function. Acontece que existem muitos tipos de funções zeta na matemática, Riemann apenas sendo um particularmente significativo. Entre o Panteão cada vez maior das funções zeta encontramos “funções Zeta de Dedekind de campos de números algébricos”. O sistema familiar de Números Racionais (consistindo de todas as razões de números inteiros-positivos, negativos e zero) é uma instância de um corpo de números algébricos, e a função zeta de Dedekind para os Racionais acaba sendo a mesma que a função zeta de Riemann. A hipótese de Riemann estendida afirma que todos os zeros (não triviais) de todas as funções Zeta de Dedekind estão na “linha crítica”, então claramente se isso é verdade então todos os zeros de Riemann estão na linha crítica e o RH deve ser verdadeiro.
a hipótese generalizada de Riemann diz respeito a todas as funções-l de Dirichlet, das quais a função zeta de Riemann é um único exemplo, exigindo similarmente que seus zeros fiquem na linha crítica. A hipótese de Grand Riemann generaliza não só a RH familiar, mas também a RH generalizada, já que diz respeito a todas as funções l-automórficas, que incluem todas as funções L-Dirichlet.
Riemann Hipótese de cotações
” Hilbert incluído o problema de provar a hipótese de Riemann em sua lista dos mais importantes por resolver os problemas que enfrentou matemática, em 1900, e a tentativa de resolver este problema que tem ocupado os melhores esforços de muitos dos melhores matemáticos do século xx. É agora, sem dúvida, o mais célebre problema em matemática e continua a atrair a atenção dos melhores matemáticos, não somente porque ele passou por resolver durante tanto tempo, mas também porque parece tentadoramente vulneráveis e porque a sua solução seria, provavelmente, trazer à luz novas técnicas da importância de longo alcance.”
H. M. Edwards, from Riemann’s Zeta Function (1974), p. 6
“Right now, when we fallackle problems without knowing the truth of theRiemann hypothesis, it’s as if we have a screwdriver. Mas quando o tivermos, será mais como um bulldozer.”
P. Sarnak, from “Prime Time”by E. Klarreich (New Scientist, 11/11/2000)
” The consequences are fantastic: the distribution of primes, these elementary objects of arithmetic. E ter ferramentas para estudar a distribuição desses objetos.”
H. Iwaniec, quoted in K. Sabbagh’s Dr. Riemann’s Zeros (Atlantic, 2002), p. 30
” If not true, then the world is a very different place. Toda a estrutura de inteiros e números primos seria muito diferente do que poderíamos imaginar. De certa forma, seria mais interessante se fosse falso, mas seria um desastre porque construímos tanto redondo assumindo a sua verdade.”
P. Sarnak, citado nos Zeros do Dr. Riemann de K. Sabbagh (Atlantic, 2002), p. 30
“Se houver muitos zeros fora da linha – e pode haver – a imagem toda é simplesmente horrível, horrível, muito feia. É um tipo de navalha de Occam, ou tens um comportamento absolutamente bonito de números primos, eles comportam-se como tu queres que eles se comportem, ou então é muito mau.”
S. Gonek, citado nos Zeros do Dr. Riemann (Atlantic, 2002), p.112
” a hipótese de Riemann é a conexão mais básica entre adição e multiplicação que existe, então eu penso nela nos termos mais simples como algo realmente básico que não entendemos sobre a ligação entre adição e multiplicação.”
B. Conrey, citado nos Zeros de Dr. Riemann (Atlantic, 2002), p. 160
” é provavelmente o problema mais básico na matemática, no sentido de que é o entrelaçamento da adição e multiplicação. É um buraco profundo na nossa compreensão…”
A. Connes, citado nos Zeros de Dr. Riemann (Atlantic, 2002), p.208
Riemann Hipótese de recursos
Taxas: Hipótese de Riemann
WolframMathwold: notas sobre a Hipótese de Riemann
C. Caldwell básico de introdução para a Hipótese de Riemann
Dan Colisão exame de questões em torno da Hipótese de Riemann
K. Spiliopoulos’, Introdução à Hipótese de Riemann
G. Pugh excelente “A Hipótese de Riemann em poucas palavras”, incluindo aZ(t) plotagem de applet
J. Brian Conrey, “A Hipótese de Riemann”, Avisos de AMS (Março de 2003) – um verynice, introdução abrangente para o RH
J. Perry notas introdutórias sobre a Hipótese de Riemann
P. Borwein, S. Choi, B. Rooney e A. Weirathmueller, A Hipótese de Riemann:Para o afficionado e virtuoso iguais (e-book, de 2006)
J. Mathews’ Riemann Hipótese links
WWN notas sobre a Hipótese de Riemann (parte de um trabalho em progresso)
Z. Rudnick, “O número teórico de fundo” (actas da escola de verão em Bolonha, de agosto de 2001)
cobre toda a teoria necessária para uma compreensão básica da Hipótese de Riemann, o qual é coberto, na sua parte final.Riemann escreveu apenas um artigo sobre a teoria dos números, publicado em 1859. Este artigo redesenhou radicalmente a paisagem do assunto.A abordagem específica para a distribuição de números primos que ele desenvolveu, simples e revolucionário, consiste em apelar à teoria de Cauchy das funções holomórficas, que na época era uma descoberta relativamente recente.”
G. Tenenbaum and M. Mendès France, a partir de O Primeiro-Números e a Sua Distribuição (AMS, de 2000)
“A Hipótese de Riemann e suas generalizações”, parte de uma obra-em-progresso, ver também as subseções:
- Generalizada Hipótese de Riemann
- Extended Hipótese de Riemann
- Grand Hipótese de Riemann
J. Baez, os achados desta semana na semana de Física Matemática 217incluem discussões muito úteis da hipótese de Riemann, hipótese de Riemann estendida, hipótese de grande Riemann, conjecturas de Weil, programa Langlands, as equações funcionais de funções Zeta e l, modularidade das funções theta, etc.
The Clay Mathematics Institute offers $1.000.000 for a proof of the Riemann Hypothesis
an extremely thorough mathematical description of the Riemann Hypothesis (with historical background, etc.) fornecido por Enrico Bombieri para os fins do presente concurso
gravação em vídeo de uma palestra introdutória por J. Vaaler em RH (um dos Barro da Fundação “Millenium Palestras”)
K. Sabbagh, Dr. Riemann da Zeros: A Busca por us $1 Milhão, a Solução para o Maior Problema em Matemática (Atlântico Livros, de 2002)
mais Dois livros da mesma natureza seguida em 2003:
J. Derbyshire, PrimeObsession: Bernhard Riemann e o Maior Problema não Resolvido na Matemática, (programa de saúde do jaguar, de 2003)
Marcus du Sautoy, A Música dos números Primos: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)
Here is K. Leutwyler’s comparitive review of all three books from Scientific American.aqui está outra, por D. Lim, da Village Voice.
…and another by J. C. Alexander
some proposed proofs and disproofs of the RiemannHypothesis (some more serious than others!)
algumas reformulações da Hipótese de Riemann
J. E. Littlewood breve argumento porque ele acredita que a Hipótese de Riemann para ser falso.
O teórico de conjuntos e filósofo matemático Gregory Chaitin discute a possibilidade de que o RH pode ser indecidível, ou seja, não pode haver nenhuma prova.
um popularexposition na Hipótese de Riemann, que apareceu na revista New Scientist(11/11/00)
“A Marca da Zeta”: Ivars Peterson ensaio introdutório sobre RH e Riemann’szeta função
“O Retorno de Zeta”: a sequela do artigo por Ivars Peterson sobre as ligações entre o RH, matriz aleatória teoria quântica e o caos
K. Sabbagh, “Bela Matemática”, Perspectiva (janeiro de 2002)
B. Schechter, “143-ano-velho problema ainda matemáticos de adivinhação” (um bom artigo do New York Times no zeta funções de conferência no Courant Institute, 07/2002)
ZetaGrid: Verificationof a Hipótese de Riemann (um projeto coordenado por S. Wedeniwski da IBM Deutschland, concluído em 2005)
“Hoje, temos mais recursos para verificar ou falsificar Riemann’shypothesis. Primeiro os computadores de alta velocidade, em seguida, as redes aumentaram a capacidade de cálculos. Agora queremos que o togo dê mais um passo, juntando os recursos numa rede de redes.Por conseguinte, convido todas as pessoas interessadas a participar no cálculo dos zeros da função zeta de Riemann para um novo recorde.”
S. Wedeniwski, “Computationsconnected com a verificação da Hipótese de Riemann” (visão geral útil withhistory e referências)
R. A. Booker, “Turing e a Hipótese de Riemann”, Avisos de AMS 53 (2006) 1208-1211
J. Sondow, “o que o Andre Weil prever que o tensor de Riemann Hipótese seria resolvida pelo primeiro-número teoria, em vez de através de uma análise?”(MathOverflow discussion thread)
CriticalStrip Explorer v0.67, um applet maravilhoso produzido por Raymond Manzonifor este site – explorar o comportamento da função zeta de Riemann em torno da faixa crítica de uma forma altamente visual e interativa. As imagens são surpreendentes!
Freeman Dyson sugeriu a abordagem para provar a hipótese de Riemann usando quase-cristais (de sua palestra AMS 2009)
D. Schumayer e D. A. W. Hutchinson, “Physics of the Riemann hypothesis”, Rev. Mod. Phys. 83 (2011) 307-330
“Physicists become acquainted with special functions early in their studies. Considere nosso modelo perene, o oscilador harmônico, para o qual precisamos de funções Hermitas, ou as funções Laguerre na mecânica quântica. Aqui nós escolhemos uma função teórica de número particular, a função zeta de Riemann e examinamos sua influência no Reino da física e também como a física pode ser sugestiva para a resolução de uma das conjecturas mais famosas da matemática, a hipótese de Riemann. Será que a física tem uma chave essencial para a solução deste problema com mais de cem anos? Neste trabalho examinamos numerosos modelos de diferentes ramos da física, da mecânica clássica à física estatística, onde esta função desempenha um papel integral. Também vemos como esta função está relacionada com o caos quântico e como a sua estrutura pole codifica quando as partículas podem sofrer condensação de Bose-Einstein a baixa temperatura. Ao longo destes exames destacamos como a física pode talvez lançar luz sobre a hipótese de Riemann. Naturalmente, o nosso objectivo não poderia ser o de ser abrangente, mas sim concentrar-nos nos principais modelos e procurar dar um ponto de partida informado para o leitor interessado.”
H. Montgomery, A. Nikeghbali and M. T. Rassias, eds. Explorando a Zeta de Riemann da Função (Springer 2017)
W. Dittrich, Reavaliar Riemann de papel, o número de primos menos de uma dada magnitude (Springer, 2018)
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