Riemann-hypotesen: FAQ och resurser
- vad är Riemann-hypotesen?
- Vem var Riemann?
- hur är det anslutet till primtal?
- vilka andra områden av matematik relaterar det till?
- Vad handlar det om ett pris på 1 000 000 dollar?
- Varför är det viktigt?
- finns det några föreslagna bevis som cirkulerar?
- vem anses vara i körningen för att bevisa RH?
- vad anses vara det mest troliga sättet att lyckas med att bevisa RH?
- är det någon som tror att det är falskt?
- kan dess sanning eller lögn visa sig vara obestridlig?
- finns det några böcker om RH för lekmannen? Har någon skrivit en ”Riemann hypotes för Dummies”eller” Riemann hypotes förenklad”?
- jag tror att jag har ett bevis på RH! Vad gör jag nu?
- jag har hört något om en koppling till kvantfysik – vad handlar det om?
- finns det inget samband med kryptografi? Skulle ett bevis äventyra säkerheten för Internetkommunikation och finansiella transaktioner?
- Vad är den utökade Riemann-hypotesen, generaliserad RH, Grand RH?
Riemann hypotes citat
ytterligare rh resurser
Riemann hypotes FAQ
- Vad är Riemann hypotesen?Riemann-hypotesen är en matematisk gissning, först föreslagen 1859 och fortfarande obevisad från och med 2015. Det är förmodligen den mest kända av alla olösta matematiska problem, ibland kallad ”matematikens heliga gral”. Även om det är relaterat till många områden av matematik, är det vanligtvis tänkt som om fördelningen av primtal.
- Vem var Riemann?Bernhard Riemann (Fullständigt namn Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) var en blyg, ödmjuk tysk matematiker som gjorde betydande bidrag till flera områden av matematik inklusive analys och differentialgeometri. Han skrev bara ett papper om talteori, men det var detta som innehöll uttalandet av hans hypotes, och så är det lätt en av de viktigaste talteorierna som någonsin publicerats. Utöver detta banade hans arbete med differentialgeometri vägen för de matematiska grunderna för Einsteins allmänna relativitetsteori.
- hur är det anslutet till primtal?
att verkligen svara på den frågan skulle kräva en hel del högre matematik, så jag kan bara ge en skiss här, men ytterligare resurser för att hjälpa dig att utforska denna fråga kan hittas nedan.
primtalen visas i hela sekvensen för att räkna siffror men visar inte något uppenbart mönster. De visar en tendens att tunna ut, fastän, och den ”genomsnittliga hastigheten” vid vilken de tunna ut beskrivs av Primtalsteorem. Det föreslogs först i slutet av 1700-talet, men bevisades inte på ytterligare hundra år. För att bevisa PNT behövde matematiker studera ett matematiskt objekt som kallas Riemann zeta-funktionen. Zeta-funktionen introducerades i Riemanns papper från 1859 och visade sig (i viss mening) kontrollera fluktuationerna i primtalen kring deras ”genomsnittliga” beteende. Zeta-funktionen fungerar på ett tvådimensionellt ” nummerplan ”som kallas det komplexa planet, och associerat med det är en oändlig uppsättning punkter som kallas dess” icke-triviala nollor ”(allmänt känd som” zeta nollor ”eller”Riemann nollor”). Positionerna för dessa nollor på det komplexa planet kan relateras till en oändlig uppsättning vågliknande enheter som kollektivt styr fluktuationen av primerna. Alla nollor Riemann kunde beräkna låg på en vertikal linje, och han antog att alla zeta-funktionens (icke-triviala) nollor ligger på denna ”kritiska linje”. Det är Riemann-hypotesen. Från hans skrifter verkar det som om han inte insåg hur viktigt denna avslappnade påstående skulle bli – han uppgav helt enkelt att han trodde att det var sant, men att det inte var direkt relevant för hans undersökningar och fortsatte.
Riemann kunde bevisa vissa saker om zeta-nollorna, inklusive att de alla måste ligga i en vertikal remsa en enhet bred (den ”kritiska remsan”), centrerad på den ”kritiska linjen” som nämns ovan. På 1800-talet visades att Primtalsteoremet skulle vara sant om zeta-nollorna alla kunde visas ligga ordentligt inuti den kritiska remsan, det vill säga inte på dess kanter. År 1896 bevisade matematikerna Hadamard och de la Vall Ubibe Poussin detta nästan samtidigt, vilket bevisade PNT.
ytterligare inskränkning av remsan där zeta-nollorna alla är kända för att ljuga skulle leda till mer exakt information om fördelningen av primtal. Den ultimata prestationen skulle vara att minska denna remsa till sin centrala linje (den ”kritiska linjen”), så smal som det är möjligt att få. Om detta kan göras bevisas RH, och vi skulle veta att primtalen är så ”välskötta” som möjligt. Om RH är falskt kommer det att finnas zeta nollor som inte ligger på den kritiska linjen, och de vågliknande enheter som är associerade med dessa skulle resultera i stora fluktuationer i fördelningen av primtal och därigenom störa en viss ”balans” inom talsystemet som det matematiska samhället nästan allmänt hoppas och tror är i kraft.
- vilka andra områden av matematik relaterar den till?
nästan alla områden av matematik kan på något sätt relateras till Riemann-hypotesen. Det här är inte så förvånande när du tänker på den grundläggande rollen som primtalen spelar i nummersystemet som ligger till grund för all matematik. RH har ”omformulerats” som (dvs visat sig vara matematiskt ekvivalent med) matematiska gissningar i en svindlande mångfald av områden. Jag har samlat några av dessa omformuleringar här.
- Vad handlar det om ett pris på 1 000 000 dollar?
det ideella Clay Mathematics Institute grundades 1998 och tillkännagav 2000 sina sju ”Millenium prisproblem” och erbjuder ett miljon dollarpris för varje. Naturligtvis var Riemann-hypotesen ett av dessa problem. Detta ledde till en enorm explosion av populärt intresse för problemet, men eftersom dess bevis redan var det ultimata priset för matematiker var det osannolikt att miljoner dollar skulle göra stor skillnad för dem. Naturligtvis är priset fortfarande inte hävdat.
- Varför är det viktigt?
är det? Varför är något viktigt? De flesta människors liv skulle vara helt opåverkade av RH bevisas (eller motbevisas). Men inom matematiken är det oerhört viktigt. På grund av den grundläggande roll primtal spelar i talsystemet, RH kan relateras till många olika områden i matematik. Hundratals satser finns vars uttalanden börjar med att anta att RH är sant. Följaktligen, om RH motbevisas, kommer alla dessa satser att kollapsa, och om det bevisas kommer de att stå. RH är falsk skulle vara en katastrof för matematik som vi för närvarande förstår det.det faktum att över 150 års hängivna ansträngningar har misslyckats med att producera ett bevis betyder också att matematiker pratar om saker som ”ett gapande hål i vår förståelse” eller en stor klyfta mellan var vi är nu, matematiskt och var vi måste vara för att bevisa RH. Detta tyder på att för att bevisa hypotesen behövs några stora nya tankar, ideer som i grunden kan förändra vår förståelse av talsystemet. Så strävan efter ett bevis på RH är viktigt i den meningen.
det bör tilläggas att det är de olika ”generaliseringar” (se nedan) av RH vars bevis eller motbevisa skulle ha en verkligt stor inverkan på matematik.att förklara betydelsen av Riemann-hypotesen för matematik är nästan lika svårt som att förklara vad det är, så du kanske vill titta på olika andra människors försök här, här, här och här.
- finns det några föreslagna bevis som cirkulerar?
Ja, det finns många. Vissa ska helt klart tas mer på allvar än andra. Matematikern Louis de Branges, som visade sig vara ett stort resultat som kallades Bieberbach-gissningen 1985, har lagt fram flera föreslagna bevis, de senaste i slutet av 2014. Han är den mest kända av alla” bevis ” författare, av vilka några är professionella matematiker, majoriteten är amatörer.
Jag har arkiverat alla föreslagna bevis och motbevisar här i några år nu, inklusive falska larm, April Fool proofs, komedi bevis och minst ett ”teologiskt” argument för RH!
- vem anses vara i körningen för att bevisa RH?
det beror på vem du frågar. Louis de Branges är en seriös matematiker med en formidabel track record, men hans speciella inställning till RH verkar inte ha vunnit många anhängare i det matematiska samhället. Alain Connes tillvägagångssätt som involverar icke-kommutativ geometri verkar vara den som de flesta inblandade ser som potentiellt fruktbara. Christopher Deninger namn kommer också upp ibland. Karl Sabbaghs bok Dr. Riemanns nollor (2002), medan de snarare saknar när det gäller att förklara rh: s matematik, innehåller en bra översikt över historiens mänskliga sida, så det skulle vara en bra utgångspunkt för att svara på denna fråga.
- vad anses vara det mest troliga sättet att lyckas med att bevisa RH?
I slutet av 1990-talet verkade det som om Alain Connes arbete i icke-kommutativ geometri var vägen framåt, med några lovande artiklar publicerade. Men den forskningen verkar ha nått en dödläge under det senaste decenniet eller så.
det beror på vem du frågar! Varje matematiker som tror att de är på väg till ett bevis skulle överväga att deras tillvägagångssätt är mest sannolikt att lyckas. Och då finns det möjligheten att en eller flera tungviktiga matematiker arbetar med problemet hemligt (som Andrew Wiles gjorde med Fermats sista sats) med hjälp av ett tillvägagångssätt som ingen av oss vet om, på gränsen till att slutföra ett bevis. Man tror att Paul Cohen (1934-2007) och Atle Selberg (1917-2007) båda ”i hemlighet” arbetade med Riemann-hypotesen fram till deras död.Roger Heath-Brown har sagt att ” inte längre bara analytiska talteoretiker inblandade, men alla matematiker vet om problemet, och många inser att de kan ha användbara insikter att erbjuda. Såvitt jag kan se är en lösning lika sannolikt att komma från en probabilist, geometer eller matematisk fysiker, som från en talteoretiker.”
- tror någon att det är falskt?1962 kom den fulländade Cambridge nummerteoretikern John Littlewood (mest känd för sina samarbeten med G. H. Hardy) publicerade en kort bit där han helt enkelt uppgav att han trodde att det var falskt, att det inte finns några bevis alls och ingen tänkbar anledning till varför det borde vara sant. Det kan hävdas att detta bara var bitterhet som bärs av hans oförmåga att bevisa det själv (hans doktorandledare hade ganska grymt satt honom problemet vid en tidpunkt då det inte var lika känt). Under 2008, Aleksandar Ivić publicerade några skäl till varför han var skeptisk till Rh: s sanning.
- kan dess sanning eller lögn visa sig vara obestridlig?
Vi kan inte utesluta detta. Matematiker och datavetare Gregory Chaitin har publicerat några tankar om hur g Jacobdels Ofullständighetssatser (om förekomsten av odecidabel proposition inom axiomatiska system) kan vara relevanta för RH och hur det eventuellt kan vara odecidabelt (se här).
- finns det några böcker om RH för lekmannen? Har någon skrivit en ”Riemann hypotes för Dummies”eller” Riemann hypotes förenklad”?
det finns flera. År 2003, på grund av det intresse som genererades av CMI: s pris på 1 000 000 dollar, publicerades tre populära Matematikböcker på RH. John Derbyshires främsta besatthet är den mest matematiskt detaljerade, men skulle vara svår att följa utan matematik på examensnivå. Karl Sabbaghs Dr. Riemanns nollor var ljus på matematiken, men ger ett detaljerat porträtt av många av de involverade matematikerna, med fokus på den ”mänskliga vinkeln”. Marcus du Sautoy ’ s Primernas musik var någonstans mellan dessa två och täckte både matematiska och kulturella vinklar. Jämförande recensioner av dessa böcker finns här, här och här. Några år senare uppträdde Dan Rockmores Stalking the Riemann-hypotesen, vilket är ganska tekniskt på vissa ställen, men mycket läsbart i andra.
efter att ha kuraterat denna webbplats i några år ville jag skapa en bok som verkligen kommunicerade matematiken i Riemann-hypotesen (snarare än att bara ge läsaren en känsla av vad som är inblandat) och som mina icke-matematiska vänner kunde läsa. Detta ledde till att jag arbetade med en illustratör för att utveckla en ny, främst visuell inställning till vissa annars otillgängliga matematiska begrepp, och den ursprungliga boken idea gav så småningom upphov till en trilogi av böcker. Trilogin Secrets Of Creation utforskar först fördelningen av primtal, vilket leder till en detaljerad redogörelse för Riemanns zeta-funktion och hypotes i volym 2. Den slutliga volymen tar hänsyn till sambandet med kvantfysik och dess filosofiska konsekvenser.
- jag tror att jag har ett bevis på RH! Vad gör jag nu?
håll dig lugn. Det finns en mycket god chans att du misstar dig. Trots allt har detta problem funnits i över 150 år och många av de bästa matematiska sinnena på planeten har kämpat med det för det mesta av den tiden. På grund av min webbnärvaro får jag skickade föreslagna bevis av amatörer då och då och lägger upp dem här. En återkommande oro som deras författare uttrycker är att någon kommer att stjäla tanken från dem innan de får priset på 1 miljon dollar. Det borde inte vara ett problem. Skapa en enkel webbplats och skicka ditt arbete där – det är tillräckligt bevis på originalförfattarskap. Skicka mig en länk så lägger jag upp den på min sida med föreslagna RH-bevis. Du kan använda sci.math nyhetsgrupp eller Prime Pages e-postlista för att locka uppmärksamhet till ditt arbete.
tyvärr har de flesta matematiker bara inte tid att läsa föreslagna bevis på RH när de är nästan 100% säkra på att författaren på något sätt misstänker. Som någon en gång sa, ”det är lättare att bevisa Riemann-hypotesen än att få någon att läsa ditt bevis!”Ditt bästa hopp är att en intresserad postgrad eller matematiker med lite fritid kommer att skanna igenom ditt arbete, misslyckas med att hitta några problem med det och vidarebefordra det till någon högre upp på stegen av matematisk prestige.
För mer information om hur du får ditt arbete där ute och eventuella problem du kan ha om att det blir stulet, Läs detta.
- jag har hört något om en koppling till kvantfysik-vad handlar det om?för att förstå detta krävs en förtrogenhet med kvantfysik, kaosteori och Riemann zeta-funktionen, så det bästa jag kan göra här är att ge en mycket skissartad kontur. En del av Riemanns arbete med fördelning av primtal visade att ”prime counting-funktionen” kan förstås i termer av en uppsättning vågliknande matematiska objekt. Som med vågor i fysiken har dessa våglängder och frekvenser. Det finns ett oändligt antal av dem och deras frekvenser utgör kollektivt det som kallas ett ”spektrum”. I början av 1980-talet märkte fysikern Michael Berry att detta spektrum motsvarar anmärkningsvärt nära spektrumet associerat med en typ av fysiskt oscillerande system. Sanningen eller falskheten i Riemann-hypotesen kan sedan kopplas till fysikaliska egenskaper hos systemet i fråga. Detta öppnar möjligheten att upptäckten av (den möjliga existensen av) ett visst fysiskt system kan leda till ett bevis på RH.
Även om det är mycket vanligt att hitta matematiska strukturer reflekterade i fysisk verklighet (detta är grunden för modern fysik), är detta en mycket konstig vändning av den situationen, där en fysisk struktur speglas i matematisk verklighet. En mycket specifik klass av” kvantkaologiska ” oscillatorer verkar på något sätt ligga till grund för fördelningen av primtal (och därmed systemet för att räkna siffror). Ingen vet vad detta betyder, och det är det konstigaste jag är medveten om i min upplevelse av verkligheten! Allt detta förklaras tålmodigt (utan någon förutsättning matematik eller fysik) i den slutliga volymen av my Secrets Of Creation-trilogin.
- finns det ingen koppling till kryptografi? Skulle ett bevis äventyra säkerheten för Internetkommunikation och finansiella transaktioner?
RSA-algoritmen, som vanligtvis används i kryptografi, involverar användningen av stora primtal och utnyttjar det faktum att bestämning av primfaktorerna för ett stort kompositnummer är mycket mer mödosamt än att multiplicera faktorerna tillsammans i första hand. Jag har förklarat lite mer detaljerat här.ett bevis på Riemann-hypotesen skulle inte i sig kompromissa med RSA-algoritmen (eller andra baserade på talteori). Men den ”stora nya ideen” som alla förväntar sig att behövas för ett bevis på RH kan leda till genombrott i effektiv faktorisering av heltal, och det skulle vara ett problem för kryptografi. Dessa frågor undersöks i detalj här, här och här.
- Vad är den utökade Riemann-hypotesen, generaliserad RH, Grand RH?
dessa är också obevisade matematiska gissningar och är ”generaliseringar” av Riemann-hypotesen. Det vill säga RH i sin bekanta form kan förstås som ett speciellt fall av var och en av dessa. Om någon av dem visade sig vara sant, skulle RH automatiskt följa.
minns att Riemann-hypotesen, som vanligtvis formulerad, gäller nollorna i Riemann zeta-funktionen. Det visar sig att det finns många typer av zeta-funktioner i matematik, Riemann är bara en särskilt betydelsefull. Bland den ständigt växande pantheonen av zeta-funktioner hittar vi”Dedekind zeta-funktioner i algebraiska nummerfält”. Det välbekanta systemet med rationella tal (bestående av alla förhållanden mellan heltal – positiva, negativa och noll) är en instans av ett algebraiskt talfält, och Dedekind zeta-funktionen för rationalerna visar sig vara densamma som Riemann zeta-funktionen. Den utökade Riemann-hypotesen säger att alla (icke-triviala) nollor av alla Dedekind zeta-funktioner ligger på den ”kritiska linjen”, så klart om det är sant ligger alla Riemann-nollor på den kritiska linjen och RH måste vara sant.
den generaliserade Riemann-hypotesen gäller alla Dirichlet L-funktioner, varav Riemann zeta-funktionen är ett enda exempel, vilket på samma sätt kräver att deras nollor ligger på den kritiska linjen. Grand Riemann-hypotesen generaliserar inte bara den välbekanta RH utan också den generaliserade RH, eftersom den gäller alla automorfiska L-funktioner, som inkluderar alla Dirichlet L-funktioner.
Riemann hypotes citat
” Hilbert inkluderade problemet med att bevisa Riemann-hypotesen i sin lista över de viktigaste olösta problemen som konfronterade matematik 1900, och försöket att lösa detta problem har ockuperat de bästa ansträngningarna för många av de bästa matematikerna i det tjugonde århundradet. Det är nu utan tvekan det mest berömda problemet i matematik och det fortsätter att locka uppmärksamheten hos de bästa matematikerna, inte bara för att det har gått olöst så länge utan också för att det verkar tantalizingly sårbart och för att dess lösning förmodligen skulle föra fram nya tekniker av långtgående betydelse.”
Hm Edwards, från Riemanns Zeta-funktion (1974), s.6
”just nu, när vi tar itu med problem utan att veta sanningen om theriemann-hypotesen, är det som om vi har en skruvmejsel. Men när vi har det blir det mer som en bulldozer.”
P. Sarnak, från ”Prime Time”av E. Klarreich (New Scientist, 11/11/2000)
” konsekvenserna är fantastiska: fördelningen av primtal, dessa elementära objekt av aritmetik. Och att ha verktyg för att studera fördelningen av dessa objekt.”
H. Iwaniec, citerad i K. Sabbaghs Dr. Riemanns nollor (Atlantic, 2002), s.30
”Om inte sant, är världen en helt annan plats. Hela strukturen av heltal och primtal skulle vara väldigt annorlunda än vad vi kunde föreställa oss. På ett sätt skulle det vara mer intressant om det var falskt, men det skulle vara en disasterbecause vi har byggt så mycket runt antar sin sanning.”
P. Sarnak, citerad i K. Sabbaghs Dr. Riemanns nollor (Atlantic, 2002), s.30
”om det finns massor av nollor utanför linjen – och det kan vara – hela bilden är bara hemsk, hemsk, väldigt ful. Det är en Occams rakhyvel, du har antingen helt vackert beteende av primtal, de beter sig precis som du vill att de ska bete sig, annars är det riktigt dåligt.”
S. Gonek, citerad i Dr. Riemanns nollor (Atlantic, 2002), s.112
”Riemann-hypotesen är den mest grundläggande kopplingen mellan addition och multiplikation som finns, så jag tänker på det i enklaste termer som något riktigt grundläggande som vi inte förstår om kopplingen mellan addition och multiplikation.”
B. Conrey, citerad i Dr. Riemanns nollor (Atlantic, 2002), s.160
” är förmodligen det mest grundläggande problemet i matematik, i den meningen att det är sammanflätningen av addition och multiplikation. Det är ett gapande hål i vår förståelse…”
A. Connes, citerad i Dr. Riemanns nollor (Atlantic, 2002), s.208
Riemann – Hypotesresurser
Wikipedia: Riemann-hypotesen
WolframMathwold: anteckningar om Riemann-hypotesen
C. Caldwells grundläggande introduktion till Riemann-hypotesen
Dan bumps undersökning av frågor kring Riemann-hypotesen
K. Spiliopoulos’, introduktion till Riemann-hypotesen
G. Pughs utmärkta ”the Riemann hypotesen i ett nötskal”, inklusive az(t) plotting applet
J. Brian conrey, ”the Riemann hypotesen”, meddelanden om ams (mars 2003) – en Verynice, omfattande introduktion till Rh
J. Perrys inledande anteckningar om Riemann-hypotesen
P. Borwein, S. Choi, B. Rooney och A. Weirathmueller, Riemann-hypotesen:för afficionado och virtuoso lika (eBook, 2006)
J. Mathews’ Riemann-hypotesen länkar
WWN-anteckningar om Riemann-hypotesen (del av ett pågående arbete)
Z. Rudnick, ”nummer teoretisk bakgrund” (Proceedings of a Summer School i Bologna, augusti 2001)
Detta täcker all talteori som är nödvändig för en grundläggande förståelse av Riemann-hypotesen, som behandlas i dess sista avsnitt.
Riemanns ursprungliga åtta sidor papper
PDF, engelsk översättning andra format
”Riemann skrev bara en artikel om teorin om siffror, publicerade1859. Detta papper omarbetade radikalt landskapet i ämnet.Den specifika inställningen till fördelningen av primtal som han utvecklade, både enkel och revolutionerande, består av att vädja till Cauchys teori om holomorfa funktioner, som vid den tiden var en relativt ny upptäckt.”
G. Tenenbaum och M. Mend UBS France, från primtalen och deras fördelning (AMS, 2000)
”Riemann-hypotesen och dess generaliseringar”, en del av ett pågående arbete, Se även underavsnitten:
- generaliserad Riemann-hypotes
- utökad Riemann-hypotes
- Grand Riemann-hypotesen
J. Baez, veckans fynd i matematisk fysik vecka 217inkluderar mycket hjälpsam diskussion om Riemann-hypotesen, utökad Riemann-hypotes, Grand Riemann-hypotes, Weil-gissningar, Langlands-programmet, funktionella ekvationer av zeta och L-funktioner, modularitet av theta-funktioner etc.
Clay Mathematics Institute erbjuder $1,000,000 för ett bevis på Riemann-hypotesen
en extremt grundlig matematisk beskrivning av Riemann-hypotesen (med historisk bakgrund etc.) tillhandahålls av Enrico Bombieri för denna tävling
videorecording av en inledande föreläsning av J. Vaaler på RH (en av Clay Foundations ”Millenium Lectures”)
K. Sabbagh, Dr. Riemanns nollor: sökandet efter lösningen på 1 miljon dollar på det största problemet i matematik (Atlantic Books, 2002)
ytterligare två böcker av liknande karaktär följde 2003:
J. Derbyshire, Primeobsession: Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik, (JHP, 2003)
Marcus du Sautoy, primernas Musik: Searchingto Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)
Här är K. Leutwylers jämförande granskning av alla tre böckerna från Scientific American.
här ären annan, av D. Lim, från Village Voice.
…och en annan av J. C. Alexander
några föreslagna bevis och motbevisar Riemannhypotesen (några allvarligare än andra!)
några omformuleringar av Riemann-hypotesen
je Littlewoods korta argument om varför han tror att Riemann-hypotesen är falsk.
Setteoretiker och matematisk filosof Gregory Chaitin diskuterar möjligheten att RH kan vara odecidable, dvs det kan inte finnas några bevis.
en popularexposition på Riemann-hypotesen som dök upp i New Scientist(11/11/00)
”Zetas märke”: Ivars Petersons inledande uppsats om RH och Riemann ’ szeta-funktion
”Zetas återkomst”: uppföljarartikel av Ivars Peterson om kopplingar mellan RH, slumpmässig matristeori och kvantkaos
K. Sabbagh, ”Beautiful Maths”, Prospect (januari 2002)
B. Schechter, ”143-åriga problem fortfarande har matematiker gissa” (en ganska bra New York Times artikel om zeta funktioner konferens vid Courant Institute, 07/2002)
ZetaGrid: Verificationof Riemann hypotesen (ett projekt samordnat av S. Wedeniwski av IBM Deutschland, avslutade 2005)
”idag har vi bättre resurser för att verifiera eller förfalska Riemann’ shypothesis. Först höghastighetsdatorerna, dånätverk har ökat beräkningskapaciteten. Nu vill vi gå ett steg längre genom att bunta upp resurserna i ett nätnät.Därför uppmanar jag alla intresserade att delta iberäkning av nollorna i Riemann zeta-funktionen för en ny rekord.”
S. Wedeniwski,” Beräkningaransluten med verifieringen av Riemann-hypotesen ”(användbar översikt medhistoria och referenser)
A. R. Booker,” Turing och Riemann-hypotesen”, meddelanden om AMS 53 (2006) 1208-1211
J. Sondow, ” förutspådde Andre Weil att Riemann-hypotesen skulle lösas med primtalsteori snarare än genom analys?”(MathOverflow diskussion tråd)
CriticalStrip Explorer v0.67, en underbar applet producerad av Raymond Manzoniför denna webbplats-utforska beteendet hos Riemann zeta-funktionen och runt den kritiska remsan på ett mycket visuellt, interaktivt sätt. Theresulting bilder är ganska häpnadsväckande!
Freeman Dysons föreslagna tillvägagångssätt för att bevisa Riemann-hypotesen med kvasi-kristaller (från hans ams-föreläsning 2009)
D. Schumayer och Daw Hutchinson, ”fysik av Riemann-hypotesen”, Rev.Mod. Phys. 83 (2011) 307-330
”fysiker blir bekanta med specialfunktioner tidigt i sina studier. Tänk på vår fleråriga modell, den harmoniska oscillatorn, för vilken vi behöver Hermitfunktioner, eller Laguerre-funktionerna i kvantmekanik. Här väljer vi en viss talteoretisk funktion, Riemann zeta-funktionen och undersöker dess inflytande i fysikens rike och även hur fysik kan vara suggestiv för upplösningen av en av matematikens mest kända obekräftade gissningar, Riemann-hypotesen. Har fysik en viktig nyckel till lösningen för detta mer än hundraåriga problem? I detta arbete undersöker vi många modeller från olika grenar av fysik, från klassisk mekanik till statistisk fysik, där denna funktion spelar en integrerad roll. Vi ser också hur denna funktion är relaterad till kvantkaos och hur dess polstruktur kodar när partiklar kan genomgå Bose-Einstein–kondensation vid låg temperatur. Under dessa undersökningar lyfter vi fram hur fysik kanske kan belysa Riemann-hypotesen. Naturligtvis kan vårt mål inte vara att vara heltäckande, utan vi fokuserar på de stora modellerna och strävar efter att ge en informerad utgångspunkt för den intresserade läsaren.”
H. Montgomery, A. Nikeghbali och M. T. Rassias, Red., Utforska Riemann Zeta-funktionen (Springer 2017)
W. Dittrich, omvärdera Riemanns papper om antalet primtal mindre än en given storlek (Springer, 2018)
mystery new search home