リーマン仮説

リーマン仮説についてのよくある質問：

• リーマン仮説とは何ですか？
• リーマンは誰でしたか？
• それはどのように素数に接続されていますか？
• それは数学の他のどの分野に関連していますか？
• これはprize1,000,000の賞金については何ですか？
• なぜそれが重要なのですか？
• 提案された証明は循環していますか？
• 誰がRHを証明するために実行中であると考えられていますか？
• RHを証明するための最も可能性の高いアプローチと考えられるものは何ですか？
• 誰もそれが偽であると信じていますか？
• その真実や虚偽は決定不能になる可能性がありますか？
• あなたのために。
• あなたのために。
• あなたのために。

かが”ダミーのためのリーマン仮説”または”リーマン仮説簡略化”を書いたことがありますか？私はRHの証明を持っていると思います！ 私は今何をしますか？私は量子物理学との接続について何かを聞いたことがあります–それは何ですか？

• 暗号化との接続はありませんか？ 証拠は、インターネット通信や金融取引のセキュリティを損なうだろうか？拡張リーマン仮説、一般化されたRH、Grand RHとは何ですか？

リーマン仮説の引用

さらなるRHリソース

リーマン仮説のFAQ

• リーマン仮説とは何ですか？リーマン予想は数学的予想であり、1859年に最初に提案され、2015年現在も証明されていない。 それは間違いなくすべての未解決の数学的問題の中で最も有名であり、時には”数学の聖杯”と呼ばれることもあります。 それは数学の多くの分野に関連していますが、それは通常素数の分布に関するものと考えられています。
• リーマンは誰でしたか？ベルンハルト-リーマン（bernhard Riemann、本名Georg Friedrich Bernhard Riemann、1826年-1866年）は、ドイツの数学者であり、分析や微分幾何学を含む数学のいくつかの分野に大きな貢献をした。 彼は数論に関する論文を書いただけですが、これは彼の仮説の声明を含んでいたので、これまでに出版された最も重要な数論の論文の一つです。 これと同様に、微分幾何学上の彼の仕事は、相対性理論のアインシュタインの一般理論の数学的基礎のための道を開いた。p>
• 素数にどのように接続されていますか？

  その質問に本当に答えるにはかなり多くの高等数学が必要なので、ここではスケッチのみを提供できますが、この問題を探索するのに役立つさら

  素数はカウント数のシーケンス全体に表示されますが、明らかなパターンは表示されません。 しかし、それらは薄くなる傾向を示しており、それらが薄くなる「平均速度」は素数定理によって記述されています。 それは1700年代の終わりに最初に提案されましたが、もう100年間証明されませんでした。 PNTを証明するために、数学者はリーマンゼータ関数として知られている数学的対象を研究する必要がありました。 ゼータ関数はリーマンの1859年の論文で導入され、（ある意味で）素数の”平均”振る舞いの周りの変動を制御することが示された。 ゼータ関数は複素平面と呼ばれる2次元の「数平面」上で動作し、それに関連するのはその「自明でない零点」（一般に「ゼータ零点」または「リーマン零点」として知られている）として知られる点の無限集合である。 複素平面上のこれらの零点の位置は，素数のゆらぎを集合的に支配する無限の波のような実体の集合に関連することができる。 すべてのゼロリーマンは垂直線上に横たわって計算することができ、彼はゼータ関数の（自明でない）ゼロのすべてがこの”臨界線”上にあると仮定した。 それがリーマン仮説である。 彼の文章から、彼はこのカジュアルな主張がいかに重要になるかを認識していなかったようです–彼は単にそれが真実であると信じていたが、それリーマンは、ゼータ零点についての特定のことを証明することができ、それらはすべて、上記の”臨界線”を中心とした一単位幅の垂直帯（”臨界帯”）になければならないことを含んでいた。 1800年代には、ゼータ零点がすべて臨界帯の内側、つまりその辺に正しくないことを示すことができれば、素数定理が真であることが示された。 1896年、数学者アダマールとド-ラ-ヴァレ-プッサンはこれをほぼ同時に証明し、それによってPNTを証明した。

  ゼータ零点がすべて存在することが知られているストリップをさらに狭めると、素数の分布に関するより正確な情報が得られます。 究極の成果は、このストリップを可能な限り狭く、その中央線（「クリティカルライン」）に減らすことです。 これを行うことができれば、RHが証明され、素数が可能な限り「うまく動作している」ことがわかります。 RHが偽であれば、臨界線上にないゼータ零点が存在し、これらに関連する波のような実体は素数の分布に大きな変動をもたらし、それによって数学コミュニティがほぼ普遍的に望んでおり、有効であると信じている数体系内の特定の”バランス”を破壊する。p>

  
• それは数学の他のどの分野に関連していますか？

  数学のほぼすべての領域が何らかの形でリーマン仮説に関連することができます。 これは、すべての数学の根底にある数体系において素数が果たす基本的な役割を考えると、それほど驚くべきことではありません。 RHは、驚異的な多様性の分野における数学的推測（すなわち、数学的に同等であることが示されている）として”再定式化”されている。 私はここでこれらの改革のいくつかを収集しました。

• これはprize1,000,000の賞金については何ですか？

  非営利のクレイ数学研究所は1998年に設立され、2000年にはそれぞれのための百万ドルの賞を提供し、その七つの”ミレニアム賞の問題”を発表しました。 当然のことながら、リーマン仮説はこれらの問題の一つであった。 これは、問題に人気の関心の巨大なバーストにつながったが、その証明はすでに数学者のための究極の賞だったので、百万ドルは彼らに大きな違いを 言うまでもなく、賞はまだ請求されていません。p>

  
• なぜそれが重要ですか？

  ですか？ なぜ何か重要なのですか？ ほとんどの人々の生活は、RHが証明されている（または反証されている）ことによって完全に影響されません。 しかし、数学の中では非常に重要です。 素数が数体系において果たす基本的な役割のために、RHは数学の多くの多様な分野に関連することができます。 何百もの定理が存在し、その文はRHが真であると仮定することから始まります。 その結果、RHが反証されると、これらの定理はすべて崩壊し、証明されればそれらは立つでしょう。 私たちが現在理解しているように、RHが偽であることは数学にとって災害になるでしょう。

  また、150年以上の献身的な努力が証明を生成できなかったという事実は、数学者が”私たちの理解に大きな穴”、または私たちが今いる場所、数学的に、RHを証明するために必要な場所の間の広大な隙間のようなものについて話していることを意味します。 これは、仮説を証明するためには、いくつかの主要な新しいアイデアが必要であることを示唆しています。 したがって、RHの証明の追求はその意味で重要です。証明または反証が数学に本当に大きな影響を与えるRHのさまざまな「一般化」（以下を参照）であることを追加する必要があります。

  数学のためのリーマン仮説の重要性を説明することは、それが何であるかを説明するのと同じくらい難しいので、here、here、here、here、hereなど、他のさまざまな人々の試

• 提案された証明は循環していますか？

  はい、かなりの数があります。 いくつかは明らかに他のものよりも真剣に取られるべきです。 1985年にビーバーバッハ予想と呼ばれる主要な結果を証明した数学者ルイ-ド-ブランジは、2014年末にいくつかの提案された証明を提唱している。 彼はすべての”証明”著者の中で最もよく知られており、そのうちのいくつかはプロの数学者であり、大多数はアマチュアである。

  私はここ数年、誤った警報、エイプリルフールの証明、コメディの証明、RHの少なくとも一つの”神学的な”議論を含む、すべての提案された証明と反証をアーカイブしてきました！

• 誰がRHを証明するために実行中であると考えられていますか？

  それはあなたが尋ねる人に依存します。 ルイ*ド*ブランジェは手ごわい実績を持つ深刻な数学者ですが、RHへの彼の特定のアプローチは、数学のコミュニティで多くの信者を獲得していないよ Alain Connesの非可換幾何学を含むアプローチは、関係するほとんどの人が潜在的に実りあるものと見なしているようです。 クリストファー-デニンガーの名前も時々出てくる。 カール-サッバーグの著書”博士” Riemann’s Zeros(2002)は、RHの数学を説明するという点ではむしろ欠けていますが、物語の人間側の良い概要が含まれているので、この質問に答えるための良い出発点

• RHを証明するための最も可能性の高いアプローチと考えられるものは何ですか？1990年代後半には、Alain Connesの非可換幾何学の研究が前進したように見え、いくつかの有望な論文が発表されました。 しかし、その研究は、過去十年かそこらで行き詰まりに達しているようです。それはあなたが尋ねる人に依存します！

  それはあなたが尋ねる人に依存します！ 彼らが証明に向かっていると思っている数学者は、彼らのアプローチが成功する可能性が最も高いと考えるでしょう。 そして、証明を完了する寸前に、私たちの誰も知らないアプローチを使って（Andrew WilesがFermat’s Last Theoremで行ったように）、1人以上のヘビー級の数学者が秘密裏に問題に Paul Cohen（1934-2007）とAtle Selberg（1917-2007）は、どちらも死ぬまでRiemann仮説に「密かに」取り組んでいたと考えられています。

  オックスフォード大学の数論者Roger Heath-Brownは、”もはや解析的な数論者だけではなく、すべての数学者が問題について知っており、多くの人が有用な洞察を提供すべきであることを認識している”と述べている。 私が見る限り、解決策は、確率論者、地理学者、数学物理学者から来る可能性があります。”

• 誰もがそれが偽であると信じていますか？

  1962年、ケンブリッジ数論者ジョン-リトルウッド（g.H.との共同研究で最もよく知られている）は、数学者として知られていた。 ハーディ）は、彼がぶっきらぼうに彼はそれが偽であると信じていることを述べた短い作品を発表しました,全く証拠がないと、それが本当であるべき理由は想像できる理由はありませんこと. これは彼自身がそれを証明することができないことから生じた苦味であると主張することができます（彼の博士課程の監督者は、それがよく知られていないときに彼に問題をむしろ残酷に設定していました）。 2008年、Aleksandar Ivić彼がRHの真実に懐疑的だったいくつかの理由を発表しました。

• その真実や虚偽は決定不能になる可能性がありますか？

  私たちはこれを排除することはできません。 数学者でコンピュータ科学者のGregory Chaitinは、gödelの不完全性定理（公理的システム内の決定不能な命題の存在に関する）がRHにどのように関連しているのか、そ

• 素人のためのRHに関する本はありますか？ 誰かが”ダミーのためのリーマン仮説”または”リーマン仮説簡略化”を書いたことがありますか？

  いくつかあります。 2003年、CMIの$1,000,000賞のオファーによって生成された関心のバーストのために、三つの人気のある数学の本がRH上で出版されました。 John Derbyshireの主要な強迫観念は最も数学的に詳細ですが、学位レベルの数学なしでは従うのは難しいでしょう。 Karl SabbaghのDr.Riemann’s Zerosは数学に光を当てていましたが、関係する多くの数学者の詳細な肖像画を提供し、「人間の角度」に焦点を当てています。 マーカス-デュ-ソートイの素数の音楽は、数学的および文化的な角度の両方をカバーし、これら二つの間のどこかにあった。 これらの本の比較レビューは、ここ、ここ、ここで見つけることができます。 数年後、Dan RockmoreのStalking The Riemann仮説が登場しましたが、これはいくつかの場所では非常に技術的ですが、他の場所では非常に読みやすくなりました。 /div>

  

数年前からこのウェブサイトをキュレーションしてきた私は、リーマン仮説の数学を真に伝え、数学以外の友人が読むことができる本を作りたかった。 これは、私はいくつかのそうでなければアクセスできない数学的な概念に新しい、主に視覚的なアプローチを開発するためにイラストレーターと協力し、元の本のアイデアは、最終的に本の三部作を生じさせた。 創造三部作の秘密は、最初に素数の分布を探求し、第2巻のリーマンのゼータ関数と仮説の詳細な説明につながる。 最後のボリュームは、量子物理学とその哲学的意味との接続を考慮しています。私はRHの証拠があると思います！ 私は今何をしますか？

落ち着いてください。 あなたが間違っている可能性は非常に高いです。 結局のところ、この問題は150年以上にわたって存在しており、地球上で最高の数学的な心の多くは、そのほとんどの時間のためにそれに取り組んでき 私のウェブの存在のために、私は時々アマチュアによって提案された証明を送られ、ここに投稿します。 彼らの著者が表現する一つの定期的な懸念は、彼らがget1百万の賞を得る前に、誰かが彼らからアイデアを盗むということです。 それは心配すべきではありません。 簡単なウェブサイトを作成し、そこにあなたの仕事を掲示しなさい–それは原物の原作者の十分な証拠である。 私にリンクを送ってください、そして私は提案されたRH証明の私のページにそれを投稿します。 あなたはsciを使用することができます。数学のニュースグループやプライムページの電子メールリストは、あなたの仕事に注目を集めるために。 残念ながら、ほとんどの数学者は、著者が何らかの形で間違っていることをほぼ100％確信しているときに、RHの提案された証明を読む時間がありません。

誰かがかつて言ったように、「誰かにあなたの証明を読ませるよりも、リーマン仮説を証明する方が簡単です！”あなたの最高の希望は、興味のある大学院生や数学者があなたの仕事をスキャンし、それに問題を見つけられず、数学的威信のはしごを上っているそこにあなたの仕事を取得する方法と、それが盗まれていることについてあなたが持っているかもしれない懸念の詳細については、これを読んで

リーマン仮説の引用

“ヒルベルトは、1900年に数学に直面した最も重要な未解決の問題の彼のリストにリーマン仮説を証明する問題を含め、この問題を解決しようとする試みは、二十世紀の最高の数学者の多くの最善の努力を占めている。 それは今間違いなく数学の中で最も有名な問題であり、それはあまりにも長い間未解決になっているだけでなく、それは食欲をそそるほど脆弱に見え、その解決策はおそらくはるかに重要な新しい技術を明らかにするだろうからであるため、最高の数学者の注目を集め続けている。”

H.M.Edwards,From Riemann’s Zeta Function(1974),p.6

“今、theRiemann仮説の真実を知らずに問題に取り組むとき、それはドライバーがいるかのようです。 しかし、我々はそれを持っているとき、それはより多くのブルドーザーのようになります。”

P. E.Klarreich（新しい科学者、11/11/2000）による「プライムタイム」からのSarnak

「結果は素晴らしいです：素数の分布、算術のこれらの基本的なオブジェクト。 そして、オブジェクトのこれらの分布を研究するためのツールを持っています。”

H.Iwaniec,K.SabbaghのDr.Riemann’s Zeros(Atlantic,2002),p.30

“真実でなければ、世界は非常に異なる場所です。 整数と素数の全体の構造は、私たちが想像できるものとは非常に異なるでしょう。 ある意味では、それが偽であればもっと面白いでしょうが、それはその真実を仮定して多くのラウンドを構築したので、それは災害になるでしょう。”

P.Sarnak,K.Sabbagh’S Dr.Riemann’s Zeros(Atlantic,2002),p.30

“ラインからゼロがたくさんある場合–そしてあるかもしれない–全体像はちょうど恐ろしい、恐ろしい、非常に醜いです。 それはオッカムの剃刀のようなものです、あなたは素数の絶対に美しい振る舞いをしているか、あなたが彼らに振る舞いたいように振る舞うか、そ”

S.Gonek,Dr.Riemann’s Zeros(Atlantic,2002),p.112

“リーマン仮説は、そこにある加算と乗算の間の最も基本的な接続であるので、私は最も単純な言葉でそれを私たちが加算と乗算の間のリンクにつ”B.Conrey,Dr.Riemann’s Zeros(Atlantic,2002),p.160

“は、加算と乗算の絡み合いであるという意味で、おそらく数学における最も基本的な問題です。 それは私達の理解のぽっかり穴である。..”

A.Connes,Dr.Riemann’s Zeros(Atlantic,2002),p.208

リーマン仮説リソース

ウィキペディア：リーマン仮説

WolframMathwold：リーマン仮説に関するノート

C.コールドウェルのリーマン仮説への基本的な紹介

リーマン仮説を取り巻く問題のダンバンプの検討

K.Spiliopoulos’、リーマン仮説への紹介

g.pughの優れた”一言で言えばリーマン仮説”、az(t)plotting appletを含む

j.brian conrey,”リーマン仮説”,Notices of The Ams(March2003)–A Verynice,rhへの包括的な紹介

j. Perry’S introduction notes on The Riemann Hypothesis

P.Borwein,S.Choi,B.Rooney and A.Weirathmueller,The Riemann Hypothesis:for the afficionado and virtuoso alike(eBook,2006)

J.Mathews’Riemann Hypothesis links

Wwn notes on The Riemann Hypothesis(part of a work-in-progress)

Z.Rudnick,”Number Of The Riemann Hypothesis:for the afficionado and virtuoso alike(eBook,2006)

J.Mathews’Riemann Hypothesis links

Wwn notes on The Riemann Hypothesis(part of a work-in-progress)

理論的背景”(proceedings Of A Summer School in bologna,august2001)
これは、リーマン仮説の基本的な理解に必要なすべての数論をカバーしており、その最後のセクションでカバーされています。

リーマンのオリジナルの八ページの論文
PDF、英語翻訳その他のフォーマット

“リーマンは、1859年に出版された数の理論に関する唯一の記事を書いた。 この論文では、主題の風景を根本的に再構築しました。彼が開発した素数の分布への具体的なアプローチは、単純で革命的なものであり、当時は比較的最近の発見であったコーシーの正則関数の理論に訴えることで構成されている。”
G.TenenbaumとM. Mendès France,素数とその分布から(AMS,2000)

“リーマン仮説とその一般化”,進行中の作業の一部,サブセクションも参照してください:

• 一般化されたリーマン仮説
• 拡張リーマン仮説
• グランドリーマン仮説

J. Baez、今週の数理物理学週217での発見リーマン仮説、拡張リーマン仮説、大リーマン仮説、ワイル予想、ラングランズプログラム、ゼータ関数とL関数の関数方程式、シータ関数のモジュラリティなどの非常に有用な議論が含まれています。

クレイ数学研究所は、リーマン仮説の証明のためにRi1,000,000を提供しています

リーマン仮説（歴史的背景などを持つ）の非常に徹底的な数学的記述。 p>

k.Sabbagh,Dr.Riemann’s Zeros:The Search for the$1Million Solution to the Greatest Problem in Mathematics(Atlantic Books,2002)

2003年に続いて、同様の性質の二つの本が2003年に続いた。

J.derbyshire,Primeobsession:bernhard riemann and the greatest unsolved problem in mathematics,(jhp,2003)

Marcus du sautoy,the music of the primes,(jhp,2003)

Marcus du sautoy,the music of the primes,(jhp,2003): Searchingto Solve The Greatest Mystery in Mathematics(HaperCollins,2003)

ここでは、K.LeutwylerのScientific Americanの三つの本すべての比較レビューです。

ここには別の、D.Limによって、村の声から。

。..そして、別のJ.C.Alexander

いくつかの提案された証明とRiemannHypothesisの反証（他のものよりも深刻なものもあります！)

リーマン仮説のいくつかの再定式化

J.E.Littlewoodの簡単な議論なぜ彼はリーマン仮説が偽であると信じています。集合論者で数学哲学者のGregory Chaitinは、RHが決定不能である可能性、すなわち証明がない可能性について議論している。

集合論者で数学哲学者のGregory Chaitinは、RHが決定不能である可能性、すなわち証明がない可能性について議論している。

新しい科学者（11/11/00）に登場したリーマン仮説に関するpopularexposition

“ゼータのマーク”：Ivars PetersonのRHとRiemann’szeta関数に関する入門エッセイ

“ゼータの帰還”：Ivars PetersonによるRH、ランダム行列理論と量子カオスの間のリンクに関する続編の記事

K.Sabbagh,”Beautiful Maths”,Prospect(January2002)

b. Schechter,”143歳の問題はまだ数学者が推測している”(クーラント研究所でのゼータ関数会議に関するかなり良いニューヨークタイムズの記事,07/2002)

ZetaGrid:Verificationof The Riemann Hypothesis(A project coordinated by S.Wedeniwski of IBM Deutschland,completed2005)

“今日、私たちはRiemannの仮説を検証または偽造するためのより良いリソースを持っている。 最初に高速コンピュータ、次にネットワークは計算の容量を増加させました。 今、私たちは、グリッドネットワークにリソースをバンドルすることにより、さらに一歩togoしたいです。したがって、私はすべての興味のある人々に参加するよう招待します新しいレコードのためのリーマンゼータ関数の零点の計算。”

S.Wedeniwski,”リーマン仮説の検証と接続された計算”(歴史と参考文献の有用な概要)

A.R.Booker,”Turing and The Riemann Hypothesis”,NOTICES of THE AMS53(2006)1208-1211

J.Sondow,”Andre Weilは、リーマン仮説が素数論ではなく素数論によって解決されると予測しましたか分析によって？”（MathOverflow議論スレッド）

CriticalStrip Explorer v0。67、Raymond Manzoniforによって生成された素晴らしいアプレットこのサイトでは、非常に視覚的でインタラクティブな方法で重要なストリップの周りのリーマンゼータ 画像がすごいですね！！！！！！！！！！！

準結晶を用いてリーマン仮説を証明するためのフリーマンダイソンの提案されたアプローチ（彼の2009AMS講義から）

D.Schumayer and D.A.W.Hutchinson,”Physics of The Riemann hypothesis”,Rev.Mod. フィス 83(2011)307-330

“物理学者は、研究の早い段階で特殊関数に精通しています。 我々はエルミート関数、または量子力学におけるラゲール関数を必要とする私たちの多年生モデル、調和振動子を考えてみましょう。 ここでは、特定の数理論関数、リーマンゼータ関数を選択し、物理学の領域でのその影響を調べ、また、物理学が数学の最も有名な未確認の推測の一つ、リーマン仮説の解決にどのように示唆されるかを調べる。 物理学は、この百年以上前の問題の解決に不可欠な鍵を握っていますか？ この研究では、古典力学から統計物理学まで、この関数が不可欠な役割を果たす物理学のさまざまな枝からの多数のモデルを調べます。 また、この関数が量子カオスとどのように関連しているか、そして粒子が低温でボース-アインシュタイン凝縮を受けることができるときにその極構造がどのように符号化されるかを見ている。 これらの試験を通して、我々は物理学は、おそらくリーマン仮説に光を当てることができる方法を強調しています。 当然のことながら、私たちの目的は包括的であることではなく、主要なモデルに焦点を当て、興味のある読者のための情報に基づいた出発点を与える”

H.Montgomery,A.Nikeghbali and M.T.Rassias,eds.,リーマンゼータ関数を探索(Springer2017)

W.Dittrich,与えられた大きさ未満の素数の数に関するリーマンの論文を再評価(Springer,2018)