de Riemann-hypothese: FAQ and resources
- Wat is de Riemann-hypothese?
- wie was Riemann?
- Hoe is het verbonden met priemgetallen?
- op welke andere gebieden van de wiskunde heeft het betrekking?
- Wat is dit over een $ 1.000.000 prijs?
- Waarom is het belangrijk?
- circuleren er voorgestelde bewijzen?
- wie wordt geacht de RH te bewijzen?
- wat wordt beschouwd als de meest waarschijnlijke benadering om de RH te bewijzen?
- gelooft iemand dat het onwaar is?
- zou de waarheid of de onwaarheid ervan onbeslist kunnen blijken te zijn?
- zijn er boeken over de RH voor de leek? Heeft iemand een “Riemann-hypothese voor Dummies” of “Riemann-hypothese vereenvoudigd” geschreven?
- ik denk dat ik een bewijs heb van de RH! Wat moet ik nu doen?
- ik heb iets gehoord over een connectie met kwantumfysica – waar gaat dat over?
- is er geen verband met cryptografie? Zou een bewijs de veiligheid van internetcommunicatie en financiële transacties in gevaar brengen?
- Wat zijn de uitgebreide Riemann-hypothese, gegeneraliseerde RH, Grote RH?
Riemann-hypothese citeert
andere RH-bronnen
Riemann-hypothese FAQ
- Wat is de Riemann-hypothese?
de Riemann-hypothese is een wiskundig vermoeden, voor het eerst voorgesteld in 1859 en nog steeds onbewezen vanaf 2015. Het is misschien wel de beroemdste van alle onopgeloste wiskundige problemen, soms aangeduid als”de Heilige Graal van de wiskunde”. Hoewel het gerelateerd is aan vele gebieden van de wiskunde, wordt het meestal gezien als betrekking hebbend op de verdeling van priemgetallen.
- wie was Riemann?Bernhard Riemann (volledige naam Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) was een verlegen, bescheiden Duitse wiskundige die belangrijke bijdragen leverde aan verschillende gebieden van de wiskunde, waaronder de analyse en de differentiaalmeetkunde. Hij schreef slechts één paper over de getaltheorie, maar het was deze die de verklaring van zijn hypothese bevatte, en dus is het gemakkelijk een van de belangrijkste papers van de getaltheorie ooit gepubliceerd. Daarnaast maakte zijn werk over de differentiaalmeetkunde de weg vrij voor de wiskundige grondslagen van Einsteins algemene relativiteitstheorie.
- Hoe is het verbonden met priemgetallen?
om die vraag echt te beantwoorden zou veel hogere wiskunde nodig hebben, dus ik kan hier alleen een schets geven, maar verdere middelen om je te helpen deze kwestie te onderzoeken zijn hieronder te vinden.
de priemgetallen verschijnen in de hele reeks telnummers, maar vertonen geen duidelijk patroon. Ze vertonen echter een neiging tot uitdunnen, en de “gemiddelde snelheid” waarmee ze uitdunnen wordt beschreven door de priemgetalstelling. Dat werd voor het eerst voorgesteld aan het einde van de jaren 1700, maar niet bewezen voor nog eens honderd jaar. Om de PNT te bewijzen, moesten wiskundigen een wiskundig object bestuderen dat bekend staat als de Riemann-zèta-functie. De zèta-functie werd geïntroduceerd in Riemann ’s artikel uit 1859 en bleek (in zekere zin) de fluctuaties van de priemgetallen rond hun ‘gemiddelde’ gedrag te beheersen. De zeta-functie werkt op een tweedimensionaal “getallenvlak” dat het complexe vlak wordt genoemd, en daarmee verbonden is een oneindige verzameling punten die bekend staat als zijn “niet-triviale nullen” (algemeen bekend als de “zeta nullen” of “Riemann-nullen”). De posities van deze nullen op het complexe vlak kunnen worden gerelateerd aan een oneindige verzameling golfachtige entiteiten die collectief de fluctuatie van de priemgetallen regelen. Riemann was in staat om alle nullen op een verticale lijn te berekenen, en hij veronderstelde dat alle (niet-triviale) nullen van de zeta-functie op deze “kritische lijn”liggen. Dat is de Riemann-hypothese. Uit zijn geschriften lijkt het erop dat hij zich niet realiseerde hoe belangrijk deze toevallige bewering zou worden – hij verklaarde simpelweg dat hij geloofde dat het waar was, maar dat het niet direct relevant was voor zijn onderzoeken, en ging verder.
Riemann was in staat om bepaalde dingen over de zeta nullen te bewijzen, waaronder dat ze allemaal in een verticale strook moeten liggen die één eenheid breed is (de “kritische strook”), gecentreerd op de hierboven genoemde “kritische lijn”. In de jaren 1800 werd aangetoond dat de priemgetalstelling waar zou zijn als de Zeta-nullen allemaal goed in de kritische strook konden liggen, dat wil zeggen niet aan de randen. In 1896 beweerden de wiskundigen Hadamard en de la Vallée Poussin dit bijna gelijktijdig, waardoor de PNT werd bewezen.
een verdere vernauwing van de strook waarin de Zeta-nullen liggen, zou leiden tot nauwkeuriger informatie over de verdeling van priemgetallen. De ultieme prestatie zou zijn om deze strook te reduceren tot zijn centrale lijn (de “kritische lijn”), zo smal als het mogelijk is om te krijgen. Als dit kan worden gedaan, is de RH bewezen, en we zouden weten dat de priemgetallen zo “goed gedragen” mogelijk zijn. Als de RH vals is, zullen er zeta nullen zijn die niet op de kritische lijn liggen, en de golfachtige entiteiten die daarmee verbonden zijn, zouden resulteren in enorme fluctuaties in de verdeling van priemgetallen, waardoor een zeker “evenwicht” binnen het getallenstelsel wordt verstoord dat de wiskundige gemeenschap bijna universeel hoopt en gelooft in werking te zijn.
- op welke andere gebieden van de wiskunde heeft het betrekking?
vrijwel elk deelgebied van de wiskunde kan op de een of andere manier gerelateerd zijn aan de Riemann-hypothese. Dit is niet zo verrassend als je kijkt naar de fundamentele rol die de priemgetallen spelen in het getallenstelsel dat ten grondslag ligt aan de hele wiskunde. De RH is “geherformuleerd” als (dat wil zeggen, wiskundig equivalent aan) wiskundige vermoedens in een onthutsende diversiteit van gebieden. Ik heb een aantal van deze herformuleringen hier verzameld.
- Wat is dit over een $ 1.000.000 prijs?het non-profit Clay Mathematics Institute werd opgericht in 1998 en kondigde in 2000 zijn zeven “Millenium Prize Problems” aan. Natuurlijk was de Riemann-hypothese een van deze problemen. Dit leidde tot een enorme uitbarsting van de belangstelling van de bevolking voor het probleem, maar omdat het bewijs al de ultieme prijs voor wiskundigen was, was het onwaarschijnlijk dat de miljoen dollar veel verschil zou maken voor hen. Onnodig te zeggen, de prijs is nog steeds niet opgeëist.
- Waarom is het belangrijk?
Is het? Waarom is er iets belangrijks? Het leven van de meeste mensen zou volledig onaangetast zijn als de RH wordt bewezen (of weerlegd). Binnen de wiskunde is het echter enorm belangrijk. Vanwege de fundamentele rol die de priemgetallen spelen in het getallenstelsel, kan de relatieve luchtvochtigheid gerelateerd worden aan veel verschillende deelgebieden van de wiskunde. Er bestaan honderden stellingen waarvan de stellingen beginnen met de veronderstelling dat de RH waar is. Bijgevolg, als de RH wordt weerlegd, zullen al deze stellingen instorten, en als het wordt bewezen, zullen ze standhouden. De RH die vals is zou een ramp zijn voor de wiskunde zoals we die nu begrijpen.
ook het feit dat meer dan 150 jaar van toegewijde inspanning hebben gefaald om een bewijs te leveren betekent dat wiskundigen praten over dingen als “een gapend gat in ons begrip”, of een enorme kloof tussen waar we nu zijn, wiskundig gezien, en waar we moeten zijn om de RH te bewijzen. Dit suggereert dat om de hypothese te bewijzen, enkele belangrijke nieuwe ideeën nodig zijn, ideeën die ons begrip van het getalsysteem fundamenteel zouden kunnen veranderen. Dus het nastreven van een bewijs van de RH is belangrijk in die zin.
Er moet aan worden toegevoegd dat het de verschillende” generalisaties ” (zie hieronder) van de RH zijn waarvan het bewijs of het weerleg een grote impact zou hebben op de wiskunde.
uitleggen van het belang van de Riemann-hypothese voor de wiskunde is bijna net zo moeilijk als uitleggen wat het is, dus je zou kunnen kijken naar verschillende pogingen van andere mensen hier, hier, hier en hier.
- circuleren er voorgestelde bewijzen?
Ja, Er zijn er nogal wat. Sommige moeten duidelijk serieuzer worden genomen dan andere. De wiskundige Louis de Branges, die in 1985 het vermoeden van Bieberbach bewees, heeft een aantal voorgestelde bewijzen naar voren gebracht, de meest recente aan het einde van 2014. Hij is de bekendste van alle “bewijs” auteurs, van wie sommigen professionele wiskundigen zijn, de meerderheid zijn amateurs.
Ik Archiveer al enkele jaren alle voorgestelde bewijzen en weerlegsels hier, inclusief valse alarmen, April Fool bewijzen, Comedy bewijzen en ten minste één “theologische” argument voor de RH!
- wie wordt geacht de RH te bewijzen?
Het hangt ervan af aan wie je het vraagt. Louis de Branges is een serieuze wiskundige met een formidabele track record, maar zijn specifieke benadering van de RH lijkt niet veel volgelingen in de wiskundige gemeenschap te hebben gewonnen. De benadering van Alain Connes met niet-commutatieve geometrie lijkt de benadering te zijn die de meeste betrokkenen als potentieel vruchtbaar zien. Christopher Deninger ‘ s naam komt ook soms naar voren. Karl Sabbagh ‘ s boek Dr. Riemann ‘ s Zeros (2002), hoewel het nogal ontbreekt in termen van het verklaren van de wiskunde van de RH, bevat een goed overzicht van de menselijke kant van het verhaal, dus dat zou een goed uitgangspunt zijn voor het beantwoorden van deze vraag.
- wat wordt beschouwd als de meest waarschijnlijke benadering om de RH te bewijzen?in de late jaren 1990 leek het alsof Alain Connes’ werk in de niet-commutatieve meetkunde de weg vooruit was, met een aantal veelbelovende artikelen gepubliceerd. Maar dat onderzoek lijkt een impasse te hebben bereikt in de afgelopen tien jaar of zo.
Het hangt ervan af wie je het vraagt! Elke wiskundige die denkt dat hij op weg is naar een bewijs … zou zijn aanpak het meest waarschijnlijk zien slagen. En dan is er de mogelijkheid dat een of meer zwaargewicht wiskundigen heimelijk aan het probleem werken (zoals Andrew Wiles deed met de laatste stelling van Fermat) met behulp van een benadering die niemand van ons kent, op het punt van het voltooien van een bewijs. Er wordt aangenomen dat Paul Cohen (1934-2007) en Atle Selberg (1917-2007) beide “in het geheim” aan de Riemann-hypothese werkten tot hun dood.de getaltheoreticus Roger Heath-Brown van de Universiteit van Oxford heeft gezegd dat “niet langer alleen analytische getaltheoretici betrokken zijn, maar alle wiskundigen weten van het probleem, en velen beseffen dat zij nuttige inzichten te bieden hebben. Voor zover ik kan zien, is een oplossing net zo waarschijnlijk afkomstig van een probabilist, meetkundige of wiskundige fysicus, als van een getaltheoreticus.”
- gelooft iemand dat het onwaar is?in 1962 werd John Littlewood (bekend van zijn samenwerking met G. H. Hardy) publiceerde een kort stuk waarin hij botweg verklaarde dat hij geloofde dat het vals was, dat er helemaal geen bewijs is en geen denkbare reden waarom het waar zou moeten zijn. Men zou kunnen stellen dat dit alleen maar bitterheid was te wijten aan zijn onvermogen om het zelf te bewijzen (zijn promotor had hem nogal wreed het probleem gesteld op een moment dat het niet zo bekend was). In 2008 publiceerde Aleksandar ivić enkele redenen waarom hij sceptisch was over de waarheid van de RH.
- zou de waarheid of de onwaarheid ervan onbeslist kunnen blijken te zijn?
We kunnen dit niet uitsluiten. Wiskundige en computerwetenschapper Gregory Chaitin heeft enkele gedachten gepubliceerd over hoe Gödel ‘ s onvolledigheidsstellingen (betreffende het bestaan van onbeslist stelling binnen axiomatische systemen) relevant zouden kunnen zijn voor de RH en hoe het mogelijk onbeslist zou kunnen zijn (zie hier).
- zijn er boeken over de RH voor de leek? Heeft iemand een “Riemann-hypothese voor Dummies” of “Riemann-hypothese vereenvoudigd” geschreven?
Er zijn er meerdere. In 2003, als gevolg van de uitbarsting van de rente gegenereerd door de CMI $1.000.000 prijzenaanbod, drie populaire wiskunde boeken werden gepubliceerd op de RH. John Derbyshire ‘ s primaire obsessie is de meest wiskundig gedetailleerde, maar zou moeilijk te volgen zijn zonder graad-niveau wiskunde. Karl Sabbagh ’s Dr.Riemann’ s nullen waren licht op de wiskunde, maar geeft een gedetailleerd portret van veel van de betrokken wiskundigen, gericht op de “menselijke hoek”. Marcus du Sautoy ‘ s the Music of the Priemes was ergens tussen deze twee, die zowel de wiskundige als culturele invalshoek besloeg. Vergelijkende recensies van deze boeken zijn hier, hier en hier te vinden. Een paar jaar later verscheen Dan Rockmore ‘ s Stalking the Riemann Hypothesis, wat op sommige plaatsen vrij technisch is, maar op andere zeer leesbaar.
na als curator van deze website wilde ik een boek maken dat de wiskunde van de Riemann-hypothese echt communiceerde (in plaats van de lezer een gevoel te geven van wat er aan de hand is) en dat mijn niet-wiskundige vrienden konden lezen. Dit leidde ertoe dat ik met een illustrator werkte aan een nieuwe, voornamelijk visuele benadering van een aantal anders ontoegankelijke wiskundige concepten, en het oorspronkelijke boekidee leidde uiteindelijk tot een trilogie van boeken. De Secrets of Creation-trilogie onderzoekt eerst de verdeling van priemgetallen, wat leidt tot een gedetailleerd verslag van Riemanns zeta-functie en hypothese in Deel 2. In het laatste deel wordt gekeken naar het verband met de kwantumfysica en de filosofische implicaties ervan.
- ik denk dat ik een bewijs heb van de RH! Wat moet ik nu doen?
blijf kalm. Er is een grote kans dat je je vergist. Immers, dit probleem bestaat al meer dan 150 jaar en veel van de beste wiskundige geesten op de planeet hebben worstelen met het grootste deel van die tijd. Vanwege mijn web-aanwezigheid, krijg ik van tijd tot tijd voorgestelde bewijzen gestuurd door amateurs, en post ze hier. Een terugkerende zorg die hun auteurs uiten is dat iemand het idee van hen zal stelen voordat ze de $1 miljoen prijs te krijgen. Dat zou geen probleem moeten zijn. Maak een eenvoudige website en plaats uw werk daar-dat is voldoende bewijs van het oorspronkelijke auteurschap. Stuur me een link en Ik zal het posten op mijn pagina van voorgestelde RH proeven. Je kunt de sci gebruiken.math nieuwsgroep of de Prime Pages e-mail lijst om de aandacht te trekken naar uw werk.
helaas hebben de meeste wiskundigen gewoon geen tijd om voorgestelde bewijzen van de RH te lezen als ze bijna 100% zeker zijn dat de auteur zich op de een of andere manier vergist. Zoals iemand ooit zei: “Het is makkelijker om de Riemann-hypothese te bewijzen dan om iemand je bewijs te laten lezen!”Uw beste hoop is dat een geà nteresseerde postgrad of wiskundige met wat vrije tijd zal scannen door uw werk, er niet in slagen om eventuele problemen met het te vinden, en doorsturen naar iemand hoger op de ladder van het wiskundige prestige.
Lees dit voor meer informatie over hoe u uw werk naar buiten kunt brengen en eventuele zorgen die u zou kunnen hebben over het gestolen worden.
- ik heb iets gehoord over een verband met kwantumfysica – waar gaat dat over?
om dit te begrijpen is een vertrouwdheid met de kwantumfysica, de chaostheorie en de Riemann-zèta-functie vereist, dus het beste wat ik hier kan doen is een zeer schetsmatig overzicht geven. Een deel van Riemanns werk over de verdeling van priemgetallen toonde aan dat de “priemgetelfunctie” kan worden begrepen in termen van een verzameling golfachtige wiskundige objecten. Net als bij golven in de natuurkunde, hebben deze golflengten en frequenties. Er is een oneindig aantal van hen en hun frequenties vormen samen wat een “spectrum”wordt genoemd. In het begin van de jaren tachtig merkte de natuurkundige Michael Berry op dat dit spectrum opmerkelijk dicht overeenkomt met het spectrum dat geassocieerd wordt met een soort fysisch Oscillerend systeem. De waarheid of valsheid van de Riemann-hypothese kan dan worden gekoppeld aan fysische eigenschappen van het systeem in kwestie. Dit opent de mogelijkheid dat de ontdekking van (het mogelijke bestaan van) een bepaald fysiek systeem kan leiden tot een bewijs van de RH.
hoewel het heel gebruikelijk is om wiskundige structuren te vinden die gereflecteerd worden in de fysische realiteit (dit is de basis van de moderne natuurkunde), is dit een zeer vreemde omkering van die situatie, waar een fysische structuur gespiegeld wordt in de wiskundige realiteit. Een zeer specifieke klasse van “kwantumchaologische” oscillatoren lijkt op de een of andere manier ten grondslag te liggen aan de verdeling van priemgetallen (en daarmee aan het systeem van het tellen van getallen). Niemand weet wat dit betekent, en het is het vreemdste waar ik me van bewust ben in mijn ervaring van de realiteit! Dit wordt allemaal geduldig uitgelegd (zonder enige voorwaarde wiskunde of natuurkunde) in het laatste deel van my Secrets of Creation trilogie.
- is er geen verband met cryptografie? Zou een bewijs de veiligheid van internetcommunicatie en financiële transacties in gevaar brengen?
het RSA-algoritme, dat veel gebruikt wordt in de cryptografie, maakt gebruik van grote priemgetallen en maakt gebruik van het feit dat het bepalen van de priemfactoren van een groot samengesteld getal veel omslachtiger is dan het samen vermenigvuldigen van de factoren in de eerste plaats. Ik heb hier wat meer in detail uitgelegd.
een bewijs van de Riemann-hypothese zou op zichzelf het RSA-algoritme (of andere op de getaltheorie gebaseerde algoritmes) niet in gevaar brengen. Echter, de” grote nieuwe idee(en) ” die iedereen verwacht nodig te zijn voor een bewijs van de RH zou kunnen leiden tot doorbraken in het efficiënt factoriseren van gehele getallen, en dat zou een probleem voor cryptografie. Deze kwesties worden hier, hier en hier in detail onderzocht.
- Wat zijn de uitgebreide Riemann-hypothese, gegeneraliseerde RH, Grote RH?
Dit zijn ook onbewezen wiskundige vermoedens en zijn “generalisaties” van de Riemann-hypothese. Dat wil zeggen, de RH in zijn vertrouwde vorm kan worden begrepen als een speciaal geval van elk van deze. Als een van hen waar zou zijn, zou de RH automatisch volgen.
bedenk dat de Riemann-hypothese, zoals gewoonlijk geformuleerd, betrekking heeft op de nullen van de Riemann-zèta-functie. Het blijkt dat er veel soorten zeta-functies zijn in de wiskunde, Riemann ‘ s gewoon een bijzonder belangrijke. Onder het zich steeds uitbreidende pantheon van zèta-functies vinden we “Dedekind-zèta-functies van algebraïsche getallenvelden”. Het bekende systeem van rationale getallen (bestaande uit alle verhoudingen van gehele getallen – positief, negatief en nul) is een instantie van een algebraïsch getallenveld, en de Dedekind-zèta-functie voor de rationalen blijkt hetzelfde te zijn als de Riemann-zèta-functie. De uitgebreide Riemann-hypothese stelt dat alle (niet-triviale) nullen van alle Dedekind-zèta-functies op de “kritieke lijn” liggen, dus als dat waar is, dan liggen alle Riemann-nullen op de kritieke lijn en moet de RH waar zijn.
de gegeneraliseerde Riemann-hypothese betreft alle Dirichlet-L-functies, waarvan de Riemann-zèta-functie een enkel voorbeeld is. De Grand Riemann-hypothese generaliseert niet alleen de bekende RH, maar ook de gegeneraliseerde RH, aangezien het alle automorfe L-functies betreft, die alle Dirichlet L-functies omvatten. “Hilbert nam het probleem van het bewijzen van de Riemann-hypothese op in zijn lijst van de belangrijkste onopgeloste problemen waarmee de wiskunde in 1900 werd geconfronteerd, en de poging om dit probleem op te lossen heeft de beste inspanningen van veel van de beste wiskundigen van de twintigste eeuw bezet. Het is nu zonder twijfel het meest gevierde probleem in de wiskunde en het blijft de aandacht trekken van de beste wiskundigen, niet alleen omdat het zo lang onopgelost is gebleven, maar ook omdat het tantaal kwetsbaar lijkt en omdat de oplossing ervan waarschijnlijk nieuwe technieken van verregaand belang aan het licht zou brengen.”
H. M. Edwards, from Riemann ’s Zeta Function (1974), p.6
” Right now, when we tackle problems without knowing the truth of theRiemann hypothesis, it ‘ s like we have a screwdriver. Maar als we het hebben, is het meer een bulldozer.”
P. Sarnak, from “Prime Time” by E. Klarreich (New Scientist, 11/11/2000)
“The consequences are fantastic: the distribution of priemes, these elementary objects of arithmetic. En om gereedschap te hebben om de verspreiding van deze objecten te bestuderen.”
H. Iwaniec, Geciteerd in K. Sabbagh ’s Dr. Riemann’ s Zeros (Atlantic, 2002), p.30
“zo niet waar, dan is de wereld een heel andere plaats. De hele structuur van gehele getallen en priemgetallen zou heel anders zijn dan wat we ons konden voorstellen. In zekere zin zou het interessanter zijn als het onwaar was, maar het zou een ramp zijn omdat we zoveel rond hebben gebouwd om de waarheid ervan aan te nemen.”
P. Sarnak, Geciteerd in K. Sabbagh ’s Dr. Riemann’ s Zero ‘ S (Atlantic, 2002), p.30
“als er veel nullen van de lijn zijn – en er zou kunnen zijn – is het hele plaatje gewoon verschrikkelijk, verschrikkelijk, heel lelijk. Het is een Occam ‘ s scheermes soort ding, je hebt of absoluut mooi gedrag van priemgetallen, ze gedragen zich precies zoals je wilt dat ze zich gedragen, of anders is het echt slecht.”
S. Gonek, Geciteerd in Dr. Riemann ‘ s Zeros (Atlantic, 2002), p.112
” de Riemann-hypothese is de meest fundamentele verbinding tussen optelling en vermenigvuldiging die er is, dus ik zie het in de eenvoudigste termen als iets echt basisch dat we niet begrijpen over de link tussen optelling en vermenigvuldiging.”
B. Conrey, Geciteerd in Dr. Riemann ‘ s Zero ‘S (Atlantic, 2002), p.160
” is waarschijnlijk het meest fundamentele probleem in de wiskunde, in de zin dat het de verstrengeling is van optellen en vermenigvuldigen. Het is een gapend gat in ons begrip…”
A. Connes, Geciteerd in Dr. Riemann ‘ s Zeros (Atlantic, 2002), p.208
Riemann-Hypothese bronnen
Wikipedia: Riemann-Hypothese
WolframMathwold: opmerkingen over de Riemann-Hypothese
C. Caldwell ’s inleiding tot de Riemann-Hypothese
Dan Hobbel van de bestudering van problemen rond de Riemann-Hypothese
K. Spiliopoulos’, Inleiding tot de Riemann-Hypothese
G. Pugh ‘ s uitstekende “De Riemann-Hypothese in een Notendop”, met inbegrip van aZ(t) plotting applet
J. Brian Conrey, “De Riemann-Hypothese’, Mededelingen van de AMS (Maart 2003) – een verynice, uitgebreide kennismaking met de RH
J. Perry inleidende opmerkingen over de Riemann-Hypothese
P. Borwein, S. Choi, B. Rooney en A. Weirathmueller, De Riemann-Hypothese:Voor de afficionado en virtuoos gelijk (eBook, 2006)
J. Mathews’ Riemann-Hypothese links
WWN toelichting op de Riemann-Hypothese (een deel van een werk-in-uitvoering)
Z. Rudnick, “Aantal theoretische achtergrond” (procedure van een summer school in Bologna, augustus 2001)
Dit heeft betrekking op al het aantal theorie die nodig is voor een fundamenteel begrip van de Riemann-Hypothese, die wordt behandeld in de laatste paragraaf.Riemann ’s original eight-page paper
PDF, English translation other formats” Riemann schreef slechts één artikel over de theorie van de getallen, gepubliceerd in 1859. Deze paper radicaal herrezen het landschap van het onderwerp.De specifieke benadering van de verdeling van priemgetallen die hij ontwikkelde, zowel eenvoudig als revolutionair, bestaat uit een beroep op Cauchys theorie van holomorfe functies, die in die tijd een relatief recente ontdekking was.G. Tenenbaum en M. Mendès France, from the Prime Numbers and Their Distribution (AMS, 2000)
“the Riemann Hypothesis and its generalisations”, part of a work-in-progress, zie ook de subsecties:
- gegeneraliseerde Riemann hypothese
- uitgebreide Riemann hypothese
- Grand Riemann hypothese
J. Baez, deze week vondsten in wiskundige natuurkunde week 217 omvat zeer nuttige bespreking van de Riemann hypothese, uitgebreide Riemann hypothese, Grand Riemann hypothese, Weil vermoedens, Langlands programma, de functionele vergelijkingen van zeta en L-functies, modulariteit van theta functies, enz.
Het Clay Mathematics Institute biedt $ 1.000.000 voor een bewijs van de Riemann-hypothese
een zeer grondige wiskundige beschrijving van de Riemann-hypothese (met historische achtergrond, enz. door Enrico Bombieri voor de toepassing van deze wedstrijd
videorecording van een inleidende lezing door J. Vaaler op de RH (één van de Klei Stichting “Millenium Lezingen”)
K. Sabbagh, Dr. Riemann ‘ s Nullen: Het Zoeken naar de $1 Miljoen Oplossing voor het Grootste Probleem in de Wiskunde (Atlantic Books, 2002)
Twee boeken van soortgelijke aard, gevolgd in 2003:
J. Derbyshire, PrimeObsession: Bernhard Riemann en de Grootste Onopgeloste Probleem in de Wiskunde, (JHP, 2003)
Marcus du Sautoy, De Muziek van de Priemgetallen: Searchingto Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)
Hier is K. Leutwylers comparitive review van alle drie de boeken van Scientific American.
Hier is een andere, door D. Lim, van The Village Voice.
…en een andere door J. C. Alexander sommige voorgestelde bewijzen en weerleggen van de Riemannhypothese (sommige ernstiger dan anderen!)
enkele herformuleringen van de Riemann-hypothese
J. E. Littlewood ‘ s korte argument waarom hij gelooft dat de Riemann-hypothese onjuist is.
Settheoreticus en wiskundig filosoof Gregory Chaitin bespreekt de mogelijkheid dat de RH onbeslist kan zijn, d.w.z. dat er geen bewijs kan zijn.
a popularexposition on the Riemann Hypothesis which appeared in New Scientist(11/11/00)
“The Mark of Zeta”: Ivars Peterson ’s introduction essay on RH and Riemann’ s Zeta function
“The Return of Zeta”: vervolgartikel van Ivars Peterson over links between the RH, random matrix theory and quantum chaos
K. Sabbagh, “Beautiful Maths”, Prospect (januari 2002)
B. Schechter, “143-year-old problem still has mathematicians guessing”(a fairly good New York Times article on zeta functions conference at the Courant Institute, 07/2002)
ZetaGrid: Verific of the Riemann Hypothesis (a project coordinated by S. Wedeniwski of IBM Deutschland, completed 2005)
“Today, we have better resources to verify or falsify Riemann’ shypothese. Eerst de high-speed computers, dan de netwerken hebben de capaciteit van de berekeningen verhoogd. Nu willen we togo nog een stap verder door de middelen te bundelen in een netwerk.Daarom nodig ik alle geïnteresseerden uit om deel te nemen aan de berekening van de nullen van de Riemann-zèta-functie voor een nieuw record.”
S. Wedeniwski, “Computationsconnected met het bewijs van de Riemann-Hypothese” (handig overzicht withhistory en verwijzingen)
A. R. Booker, “Turing en de Riemann-Hypothese’, Mededelingen van de AMS 53 (2006) 1208-1211
J. Sondow, “Deed André Weil voorspellen dat de Riemann-Hypothese zou worden beslecht door prime aantal theorie in plaats van door analyse?”(MathOverflow discussion thread)
CriticalStrip Explorer v0.67, een prachtige applet geproduceerd door Raymond Manzonifor deze site-verken het gedrag van de Riemann-zeta-functie in en rond de kritische strook op een zeer visuele, interactieve manier. De resulterende beelden zijn heel verbazingwekkend!Freeman Dyson ‘ s suggested approach to proving the Riemann Hypothesis using quasi-crystals(from his 2009 AMS lecture)
D. Schumayer and D. A. W. Hutchinson, “Physics of the Riemann hypothesis”, Rev.Mod. Phys. 83 (2011) 307-330
“fysici maken vroeg in hun studies kennis met speciale functies. Denk aan ons eeuwigdurende model, de harmonische oscillator, waarvoor we Hermite functies nodig hebben, of de Laguerre functies in de kwantummechanica. Hier kiezen we een bepaalde getaltheoretische functie, de Riemann-zèta-functie en onderzoeken we de invloed ervan op het gebied van de natuurkunde en ook hoe de natuurkunde suggestief kan zijn voor de oplossing van een van de beroemdste onbevestigde vermoedens van de wiskunde, de Riemann-hypothese. Heeft de natuurkunde een essentiële sleutel tot de oplossing voor dit meer dan honderd jaar oude probleem? In dit werk onderzoeken we talrijke modellen uit verschillende takken van de fysica, van de klassieke mechanica tot de statistische fysica, waar deze functie een integrale rol speelt. We zien ook hoe deze functie gerelateerd is aan kwantum chaos en hoe de poolstructuur codeert wanneer deeltjes Bose-Einstein condensatie kunnen ondergaan bij lage temperatuur. Tijdens deze onderzoeken benadrukken we hoe de natuurkunde misschien licht kan werpen op de Riemann-hypothese. Natuurlijk kon ons doel niet zijn om alomvattend te zijn, maar we richten ons op de belangrijkste modellen en streven ernaar om een geïnformeerd uitgangspunt voor de geïnteresseerde lezer te geven.”
H. Montgomery, A. Nikeghbali and M. T. Rassias, eds., Exploring the Riemann Zeta Function (Springer 2017)
W. Dittrich, Reassessing Riemann ’s paper on the number of priemes less than a given magnitude (Springer, 2018)
getaltheorie en fysica Archive prime numbers: FAQ and research
mystery new search home