hipoteza Riemanna: FAQ i zasoby
- czym jest hipoteza Riemanna?
- kim był Riemann?
- Jak to jest połączone z liczbami pierwszymi?
- do jakich innych dziedzin matematyki się odnosi?
- o co chodzi z nagrodą $1,000,000?
- dlaczego jest to ważne?
- czy są jakieś proponowane dowody?
- kto jest uważany za biegającego do udowodnienia RH?
- co jest uważane za najbardziej prawdopodobne podejście do udanego udowodnienia RH?
- czy ktoś wierzy, że to nieprawda?
- czy prawda czy fałsz mogą okazać się nie do rozstrzygnięcia?
- czy są jakieś książki o RH dla laika? Czy ktoś napisał „hipotezę Riemanna dla manekinów” lub „hipotezę Riemanna uproszczoną”?
- chyba mam dowód na RH! Co mam teraz zrobić?
- słyszałem coś o związku z fizyką kwantową-o co w tym chodzi?
- czy nie ma związku z kryptografią? Czy dowód zagrozi bezpieczeństwu komunikacji internetowej i transakcji finansowych?
- jakie są rozszerzone hipotezy Riemanna, uogólnione Rh, Wielkie Rh?
hipoteza Riemanna cytuje
dalsze źródła RH
hipoteza Riemanna FAQ
- czym jest hipoteza Riemanna?
hipoteza Riemanna jest hipotezą matematyczną, zaproponowaną po raz pierwszy w 1859 roku i wciąż niesprawdzoną od 2015 roku. Jest to prawdopodobnie najbardziej znany ze wszystkich nierozwiązanych problemów matematycznych, czasami określany jako „Święty Graal matematyki”. Chociaż jest to związane z wieloma dziedzinami matematyki, zwykle uważa się, że dotyczy rozkładu liczb pierwszych.
- kim był Riemann?
Bernhard Riemann (pełne nazwisko Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) był nieśmiałym, skromnym niemieckim matematykiem, który wniósł znaczący wkład w kilka dziedzin matematyki, w tym analizę i geometrię różniczkową. Napisał tylko jedną pracę na temat teorii liczb, ale to właśnie ona zawierała stwierdzenie jego hipotezy, więc jest to z łatwością jeden z najważniejszych artykułów z teorii liczb, jakie kiedykolwiek opublikowano. Poza tym, jego praca nad geometrią różniczkową utorowała drogę do matematycznych podstaw ogólnej teorii względności Einsteina.
- Jak to jest połączone z liczbami pierwszymi?
aby naprawdę odpowiedzieć na to pytanie, wymagałoby to sporo wyższej matematyki, więc mogę podać tylko szkic tutaj, ale dalsze zasoby, które pomogą Ci zgłębić tę sprawę, można znaleźć poniżej.
liczby pierwsze pojawiają się w całej sekwencji zliczania liczb, ale nie wyświetlają żadnego oczywistego wzorca. Wykazują jednak tendencję do odchudzania, a „średnia szybkość”, z jaką się odchudzają, jest opisana przez twierdzenie o liczbach pierwszych. To zostało po raz pierwszy zaproponowane pod koniec 1700 roku, ale nie udowodnione przez kolejne sto lat. Aby udowodnić PNT, matematycy musieli zbadać obiekt matematyczny znany jako funkcja Riemanna zeta. Funkcja zeta została wprowadzona w pracy Riemanna z 1859 roku i pokazała (w pewnym sensie) kontrolę fluktuacji liczb pierwszych wokół ich „średniego” zachowania. Funkcja zeta działa na dwuwymiarowej ” płaszczyźnie liczbowej „zwanej płaszczyzną złożoną, a z nią związany jest nieskończony zbiór punktów znany jako” zera nietrywialne „(powszechnie znane jako” zera Zeta „lub”zera Riemanna”). Pozycje tych zer na płaszczyźnie zespolonej mogą być związane z nieskończonym zbiorem Bytów falowych, które wspólnie rządzą fluktuacją liczb pierwszych. Wszystkie zera Riemann był w stanie obliczyć leżąc na pionowej linii i postawił hipotezę, że wszystkie (nietrywialne) zera funkcji Zeta leżą na tej „krytycznej linii”. Taka jest hipoteza Riemanna. Z jego pism wynika, że nie zdawał sobie sprawy, jak ważne stanie się to przypadkowe twierdzenie – po prostu stwierdził, że wierzy, że jest prawdziwe, ale że nie ma to bezpośredniego związku z jego śledztwami i poszedł dalej.
Riemann był w stanie udowodnić pewne rzeczy o Zerach zeta, w tym, że wszystkie muszą leżeć w pionowym pasie o szerokości jednej jednostki („pas krytyczny”), skupionym na „linii krytycznej” wspomnianej powyżej. W 1800 roku wykazano, że twierdzenie o liczbach pierwszych byłoby prawdziwe, gdyby wszystkie zera zeta mogły leżeć prawidłowo wewnątrz krytycznego paska, to znaczy nie na jego krawędziach. W 1896 matematycy Hadamard i de la Vallée Poussin udowodnili to niemal równocześnie, udowadniając tym samym PNT.
dalsze zawężenie paska, w którym leżą zera zeta, prowadziłoby do dokładniejszych informacji na temat rozkładu liczb pierwszych. Ostatecznym osiągnięciem byłoby zredukowanie tego paska do jego centralnej linii („linii krytycznej”), tak wąskiej, jak to tylko możliwe. Jeśli można to zrobić, Rh jest udowodnione, i będziemy wiedzieć, że liczby pierwsze są tak „dobrze zachowane”, jak to możliwe. Jeśli RH jest fałszywe, pojawią się zera zeta, które nie leżą na linii krytycznej, a powiązane z nimi jednostki podobne do fali spowodowałyby ogromne wahania w rozkładzie liczb pierwszych, zakłócając w ten sposób pewną „równowagę” w systemie liczbowym, który społeczność matematyczna prawie powszechnie ma nadzieję i uważa za skuteczny.
- jakie inne dziedziny matematyki się odnoszą?
prawie każda dziedzina matematyki może być w jakiś sposób powiązana z hipotezą Riemanna. Nie jest to tak zaskakujące, jeśli wziąć pod uwagę fundamentalną rolę liczb pierwszych w systemie liczbowym, który leży u podstaw całej matematyki. RH został „przeformułowany” jako (tj. pokazany jako matematycznie równoważny) matematyczne przypuszczenia w oszałamiającej różnorodności obszarów. Zebrałem kilka z tych przeformułowań.
- co to za nagroda 1.000.000$?
non-profit Clay Mathematics Institute został założony w 1998 roku, a w 2000 roku ogłosił siedem „problemów Millenium Prize”, oferując nagrodę w wysokości miliona dolarów dla każdego. Oczywiście hipoteza Riemanna była jednym z tych problemów. Doprowadziło to do ogromnego zainteresowania tym problemem, ale ponieważ jego dowód był już ostateczną nagrodą dla matematyków, milion dolarów prawdopodobnie nie zrobi dla nich dużej różnicy. Nie trzeba dodawać, że nagroda jest nadal nieodebrana.
- dlaczego jest to ważne?
czyżby? Dlaczego jest coś ważnego? Życie większości ludzi byłoby całkowicie nienaruszone przez udowodnienie (lub obalenie) RH. Jednak w matematyce jest to niezwykle ważne. Ze względu na podstawową rolę, jaką odgrywają liczby pierwsze w systemie liczbowym, Rh może być związane z wieloma różnymi dziedzinami matematyki. Istnieją setki twierdzeń, których twierdzenia zaczynają się od założenia, że RH jest prawdą. W konsekwencji, jeśli RH zostanie obalony, wszystkie te twierdzenia upadną, a jeśli zostanie udowodnione, będą trwać. RH jest fałszywe byłoby katastrofą dla matematyki, jak obecnie go zrozumieć.
również fakt, że ponad 150 lat poświęceń nie udało się udowodnić, oznacza, że matematycy mówią o rzeczach takich jak” dziura w naszym zrozumieniu ” lub ogromna przepaść między tym, gdzie jesteśmy teraz, matematycznie, a tym, gdzie musimy być, aby udowodnić RH. Sugeruje to, że aby udowodnić tę hipotezę, potrzebne są nowe pomysły, pomysły, które mogą zasadniczo zmienić nasze rozumienie systemu liczbowego. Tak więc dążenie do dowodu RH jest ważne w tym sensie.
należy dodać, że to różne „uogólnienia” (patrz niżej) RH, których dowód lub obalenie miałoby naprawdę duży wpływ na matematykę.
wyjaśnienie znaczenia hipotezy Riemanna dla matematyki jest prawie tak trudne, jak wyjaśnienie, czym jest, więc warto przyjrzeć się próbom różnych innych narodów TUTAJ, TUTAJ, TUTAJ i tutaj.
- czy są jakieś proponowane dowody?
tak, jest ich sporo. Niektóre z nich należy traktować poważniej niż inne. Matematyk Louis de Branges, który w 1985 r. udowodnił główny wynik zwany hipotezą Bieberbacha, przedstawił kilka proponowanych dowodów, Ostatnie pod koniec 2014 r. Jest najbardziej znanym ze wszystkich autorów „dowodów”, z których część to profesjonalni matematycy, większość to amatorzy.
od kilku lat archiwizuję tu wszystkie proponowane dowody i Obamy, w tym fałszywe alarmy, Prima Aprilisowe dowody, dowody komediowe i przynajmniej jeden „Teologiczny” argument na rzecz RH!
- kto jest uważany za biegającego do udowodnienia RH?
To zależy kogo zapytasz. Louis de Branges jest poważnym matematykiem z niesamowitym dorobkiem, ale jego szczególne podejście do RH nie wydaje się zdobyć wielu zwolenników w społeczności matematycznej. Podejście Alaina Connes ’ a obejmujące geometrię niekonmutacyjną wydaje się być tym, które większość zaangażowanych osób uważa za potencjalnie owocne. Czasami pojawia się też nazwisko Christophera Deningera. Książka Karla Sabbagha Dr. Zer Riemanna (2002), choć raczej brakuje wyjaśnienia matematyki RH, zawiera dobry przegląd ludzkiej strony historii, co byłoby dobrym punktem wyjścia do odpowiedzi na to pytanie.
- co jest uważane za najbardziej prawdopodobne podejście do udanego udowodnienia RH?
pod koniec lat 90.wydawało się, że praca Alaina Connes’ a w geometrii niekonmutatywnej jest drogą naprzód, z kilkoma obiecującymi publikacjami. Ale wydaje się, że badania te osiągnęły impas w ostatniej dekadzie.
To zależy kogo zapytasz! Każdy matematyk, który myśli, że jest na drodze do dowodu, uważa, że ich podejście jest najbardziej prawdopodobne, aby odnieść sukces. Istnieje również możliwość, że jeden lub więcej matematyków wagi ciężkiej pracuje nad tym problemem potajemnie (tak jak Andrew Wiles zrobił z ostatnim twierdzeniem Fermata), używając podejścia, o którym nikt z nas nie wie, na skraju ukończenia dowodu. Uważa się, że Paul Cohen (1934-2007) i Atle Selberg (1917-2007) „potajemnie” pracowali nad hipotezą Riemanna aż do śmierci.
teoretyk liczb z Uniwersytetu Oksfordzkiego Roger Heath-Brown powiedział, że „nie tylko teoretycy liczb analitycznych są zaangażowani, ale wszyscy matematycy wiedzą o tym problemie i wielu zdaje sobie sprawę, że mogą mieć przydatne spostrzeżenia do zaoferowania. Z tego, co widzę, rozwiązanie może pochodzić zarówno od probabilistyki, geometry czy fizyka matematycznego, jak i od teoretyka liczb.”
- czy ktoś wierzy, że to nieprawda?
w 1962 roku wybitny teoretyk liczb z Cambridge John Littlewood (najbardziej znany ze współpracy z G. H. Hardy) opublikował krótki artykuł, w którym bez ogródek stwierdził, że uważa go za fałszywy, że nie ma żadnych dowodów i żadnych wyobrażalnych powodów, dla których miałby być prawdziwy. Można argumentować, że była to tylko gorycz wynikająca z jego niezdolności do udowodnienia tego samemu (jego promotor raczej okrutnie postawił mu problem w czasie, gdy nie był on tak dobrze znany). W 2008 Aleksandar Ivić opublikował kilka powodów, dla których był sceptyczny wobec prawdy o RH.
- czy prawda czy fałsz mogą okazać się nierozstrzygalne?
nie możemy tego wykluczyć. Matematyk i informatyk Gregory Chaitin opublikował kilka przemyśleń na temat tego, w jaki sposób twierdzenie Gödla o niekompletności (dotyczące istnienia nierozstrzygalnej propozycji w systemach aksjomatycznych) może być istotne dla RH i jak może być nierozstrzygalne (czytaj tutaj).
- czy są jakieś książki o RH dla laika? Czy ktoś napisał „hipotezę Riemanna dla manekinów” lub „hipotezę Riemanna uproszczoną”?
jest ich kilka. W 2003 roku, w związku z rosnącym zainteresowaniem ofertą nagród cmi w wysokości 1 000 000 dolarów, na RH opublikowano trzy popularne książki matematyczne. Główna obsesja Johna Derbyshire ’ a jest najbardziej matematycznie szczegółowa, ale trudno byłoby ją śledzić bez matematyki na poziomie stopnia. Zera Dr. Riemanna Karla Sabbagha były lekkie w matematyce, ale dostarczają szczegółowego opisu wielu matematyków, skupiając się na „ludzkim kącie”. Muzyka liczb pierwszych Marcusa du Sautoya była gdzieś pomiędzy tymi dwoma, obejmując zarówno matematyczny, jak i kulturowy kąt. Recenzje porównawcze tych książek można znaleźć tutaj, tutaj i tutaj. Kilka lat później pojawiła się hipoteza dana Rockmore ’ a dotycząca Riemanna, która w niektórych miejscach jest dość techniczna, ale w innych bardzo czytelna.
będąc kuratorem tej strony od kilku lat, chciałem stworzyć książkę, która naprawdę przekazywała matematykę hipotezy Riemanna (a nie tylko dawała czytelnikowi poczucie tego, co się z tym wiąże) i którą moi nie-matematyczni przyjaciele mogli przeczytać. To doprowadziło mnie do pracy z ilustratorem nad opracowaniem nowego, przede wszystkim wizualnego podejścia do niektórych niedostępnych inaczej pojęć matematycznych, a oryginalny pomysł książki ostatecznie dał początek trylogii książek. Trylogia tajemnice stworzenia najpierw bada rozkład liczb pierwszych, prowadząc do szczegółowego opisu funkcji i hipotezy Riemanna Zeta w tomie 2. Ostatni tom rozważa związek z fizyką kwantową i jej filozoficzne implikacje.
- chyba mam dowód na RH! Co mam teraz zrobić?
spokojnie. Jest duża szansa, że się mylisz. W końcu ten problem istnieje od ponad 150 lat i wiele najlepszych matematycznych umysłów na planecie zmagało się z nim przez większość tego czasu. Ze względu na moją obecność w sieci, od czasu do czasu otrzymuję propozycje od amatorów i umieszczam je tutaj. Jedną z powtarzających się obaw, że ich autorzy wyrażają, jest to, że ktoś ukradnie im pomysł, zanim otrzymają nagrodę w wysokości miliona dolarów. To nie powinno być problemem. Stwórz prostą stronę internetową i opublikuj tam swoją pracę-to wystarczający dowód oryginalnego autorstwa. Wyślij mi link, a ja wrzucę go na moją stronę z proponowanymi dowodami RH. Możesz użyć sci.grupa dyskusyjna math lub Lista e-mailowa Prime Pages, aby przyciągnąć uwagę do twojej pracy.
Niestety, większość matematyków po prostu nie ma czasu na przeczytanie proponowanych dowodów RH, gdy są prawie na 100% pewni, że autor się w jakiś sposób myli. Jak ktoś kiedyś powiedział: „łatwiej jest udowodnić hipotezę Riemanna, niż zmusić kogoś do przeczytania Twojego dowodu!”Twoja najlepsza nadzieja jest taka, że zainteresowany postgrad lub matematyk z odrobiną wolnego czasu przeskanuje Twoją pracę, nie znajdzie z nią problemów i przekaże ją komuś wyżej na drabinie matematycznego prestiżu.
aby uzyskać więcej informacji na temat tego, jak uzyskać tam swoją pracę i wszelkie obawy, które możesz mieć o jej kradzieży, przeczytaj to.
- słyszałem coś o związku z fizyką kwantową – o co w tym chodzi?
zrozumienie tego wymaga znajomości fizyki kwantowej, teorii chaosu i funkcji Riemanna zeta, więc najlepsze, co mogę zrobić, to dać bardzo szkicowy zarys. Część prac Riemanna nad rozkładem liczb pierwszych pokazała, że” funkcję liczenia liczb pierwszych ” można rozumieć w kategoriach zbioru falopodobnych obiektów matematycznych. Podobnie jak w przypadku fal w fizyce, mają one długości fal i częstotliwości. Jest ich nieskończona liczba, a ich częstotliwości składają się na tzw. „widmo”. Na początku lat 80. fizyk Michael Berry zauważył, że widmo to bardzo ściśle odpowiada widmowi związanemu z rodzajem fizycznego układu oscylacyjnego. Prawda lub FAŁSZ hipotezy Riemanna można następnie powiązać z właściwościami fizycznymi danego układu. Otwiera to możliwość, że odkrycie (możliwe istnienie) pewnego układu fizycznego może prowadzić do dowodu RH.
chociaż bardzo często znajdujemy struktury matematyczne odzwierciedlone w rzeczywistości fizycznej (jest to podstawa współczesnej fizyki), jest to bardzo dziwne odwrócenie tej sytuacji, w której struktura fizyczna jest odzwierciedlona w rzeczywistości matematycznej. Bardzo specyficzna Klasa oscylatorów „quantum chaological” wydaje się w jakiś sposób leżeć u podstaw rozkładu liczb pierwszych (a tym samym systemu liczenia liczb). Nikt nie wie, co to oznacza, a to najdziwniejsza rzecz, jakiej jestem świadoma w moim doświadczeniu rzeczywistości! Wszystko to jest cierpliwie wyjaśnione (bez żadnej matematyki czy fizyki) w ostatnim tomie trylogii tajemnice stworzenia.
- czy nie ma związku z kryptografią? Czy dowód zagrozi bezpieczeństwu komunikacji internetowej i transakcji finansowych?
algorytm RSA, powszechnie stosowany w kryptografii, polega na użyciu dużych liczb pierwszych i wykorzystuje fakt, że określenie czynników pierwszych dużej liczby zespolonej jest znacznie bardziej pracochłonne niż mnożenie czynników razem w pierwszej kolejności. Wyjaśniłem tu nieco więcej szczegółów.
dowód hipotezy Riemanna sam w sobie nie naruszyłby algorytmu RSA (lub innych opartych na teorii liczb). Jednak „nowy (- e) Wielki (- e) pomysł (- Y)”, który wszyscy oczekują, że będzie potrzebny do udowodnienia RH, może prowadzić do przełomów w skutecznym faktoryzowaniu liczb całkowitych, co stanowiłoby problem dla kryptografii. Kwestie te są szczegółowo omawiane tutaj, tutaj i tutaj.
- jakie są rozszerzone hipotezy Riemanna, uogólnione Rh, Wielkie Rh?
są to również niesprawdzone hipotezy matematyczne i są „uogólnieniami” hipotezy Riemanna. Oznacza to, że RH w jego znanej formie można rozumieć jako szczególny przypadek każdego z nich. Jeśli którakolwiek z nich zostanie udowodniona, RH automatycznie podąży za nią.
Przypomnijmy, że hipoteza Riemanna, jak zwykle sformułowana, dotyczy zer funkcji Riemanna zeta. Okazuje się, że w matematyce istnieje wiele rodzajów funkcji zeta, Riemann jest po prostu szczególnie istotny. Wśród stale poszerzającego się panteonu funkcji zeta znajdziemy „Dedekind Zeta functions of algebraic number fields”. Znany system liczb wymiernych (składający się ze wszystkich współczynników liczb całkowitych – dodatnich, ujemnych i zerowych) jest jedną instancją pola liczb algebraicznych, a funkcja Dedekinda zeta dla wymiernych okazuje się taka sama jak funkcja Riemanna Zeta. Rozszerzona hipoteza Riemanna stwierdza, że wszystkie (nietrywialne) zera wszystkich funkcji Dedekinda zeta leżą na „linii krytycznej”, więc wyraźnie jeśli jest to prawda, to wszystkie zera Riemanna leżą na linii krytycznej, a RH musi być prawdziwe.
uogólniona hipoteza Riemanna dotyczy wszystkich funkcji L Dirichleta, z których funkcja Riemanna zeta jest jednym przykładem, podobnie wymagając, aby ich zera leżały na linii krytycznej. Hipoteza Wielkiego Riemanna uogólnia nie tylko znane RH, ale także uogólnione Rh, ponieważ dotyczy wszystkich automorficznych funkcji L, które obejmują wszystkie funkcje L Dirichleta.
hipoteza Riemanna cytuje
” Hilbert włączył problem udowodnienia hipotezy Riemanna do swojej listy najważniejszych nierozwiązanych problemów, które zetknęły się z matematyką w 1900 roku, a próba rozwiązania tego problemu zajęła najlepsze wysiłki wielu najlepszych matematyków XX wieku. Jest to obecnie niewątpliwie najbardziej znany problem w matematyce i nadal przyciąga uwagę najlepszych matematyków, nie tylko dlatego, że od tak dawna nie został rozwiązany, ale także dlatego, że wydaje się kusząco podatny i dlatego, że jego rozwiązanie prawdopodobnie ujawniłoby nowe techniki o dalekosiężnym znaczeniu.”
H. M. Edwards, from Riemann 's Zeta Function (1974), s. 6
” w tej chwili, kiedy rozwiązujemy problemy nie znając prawdy hipotezy theriemanna, to tak, jakbyśmy mieli śrubokręt. Ale kiedy go mamy, będzie bardziej jak buldożer.”
P. Sarnak, z „Prime Time” E. Klarreicha (New Scientist, 11/11/2000)
„konsekwencje są fantastyczne: rozkład liczb pierwszych, te elementarne obiekty arytmetyki. I mieć narzędzia do badania rozkładu tych obiektów.”
H. Iwaniec, cytowany w zerze Dr. Riemanna K. Sabbagha (Atlantic, 2002), s. 30
„Jeśli nie jest prawdą, to świat jest zupełnie innym miejscem. Cała struktura liczb całkowitych i liczb pierwszych różniłaby się od tego, co moglibyśmy sobie wyobrazić. W pewnym sensie byłoby ciekawiej, gdyby to było fałszywe, ale byłoby to katastrofą, ponieważ zbudowaliśmy tak wiele wokół zakładając, że jest prawdą.”
P. Sarnak, cytowany w Zerach Dr. Riemanna K. Sabbagha (Atlantic, 2002), s. 30
” Jeśli istnieje wiele zer poza linią – i może być – cały obraz jest po prostu okropny, okropny, bardzo brzydki. To coś w rodzaju brzytwy Occama, albo masz absolutnie piękne zachowanie liczb pierwszych, zachowują się tak, jak chcesz, żeby się zachowywały, albo jest naprawdę źle.”
S. Gonek, cytowany w Zerach Dr. Riemanna (Atlantic, 2002), str.112
„hipoteza Riemanna jest najbardziej podstawowym połączeniem między dodawaniem i mnożyciem, jakie istnieje, więc myślę o tym w najprostszych słowach jako o czymś naprawdę podstawowym, czego nie rozumiemy o związku między dodawaniem i mnożyciem.”
B. Conrey, cytowany w Zerach Dr. Riemanna (Atlantic, 2002), s. 160
” jest prawdopodobnie najbardziej podstawowym problemem w matematyce, w tym sensie, że jest to splot dodawania i mnożenia. To dziura w naszym zrozumieniu…”
A. Connes, quoted in Dr. Riemann ’ s Zeros (Atlantic, 2002), p.208
Źródła hipotezy Riemanna
Wikipedia: hipoteza Riemanna
WolframMathwold: uwagi na temat hipotezy Riemanna
podstawowe wprowadzenie C. Caldwella do hipotezy Riemanna
dan Bump’ s examination of issues otaczający hipotezę Riemanna
K. Spiliopoulos’, Introduction to the Riemann Hypothesis
G. Pugh ’ s excellent „the Riemann hypothesis in a nutshell”, including az(t) plotting Applet
J. Brian Conrey, „the Riemann hypothesis”, Notices of the AMS (March 2003) – a verynice, comprehensive introduction to the Rh
J. Perry’ s introductory notes on the Riemann Hypothesis
P. Borwein, S. Choi, B. Rooney and A. Weirathmueller, The Riemann Hypothesis:for the afficionado and virtuoso alike (eBook, 2006)
J. Mathews ’ Riemann Hypothesis links
WWN notes on the Riemann Hypothesis (part of a work-in-progress)
Z. Rudnick, „number theoretic background” (Proceedings of a summer school in Bologna, August 2001)
obejmuje on całą teorię liczb niezbędną do podstawowego zrozumienia hipotezy Riemanna, która jest omówiona w jej końcowej części.
oryginalny Ośmiostronicowy dokument Riemanna
PDF, tłumaczenie na język angielski inne formaty
„Riemann napisał tylko jeden artykuł na temat teorii liczb, opublikowany w 1859 roku. Artykuł ten radykalnie zmienił krajobraz tematu.Specyficzne podejście do rozkładu liczb pierwszych, które opracował, zarówno proste, jak i rewolucyjne, polega na odwołaniu się do teorii funkcji holomorficznych Cauchy ’ ego, która w tamtym czasie była stosunkowo niedawnym odkryciem.”
G. Tenenbaum i M. Mendès France, from the Prime Numbers and Their Distribution (AMS, 2000)
„the Riemann Hypothesis and its Generals”, part of a work-in-progress, see also the podrozdziały:
- uogólniona hipoteza Riemanna
- Rozszerzona hipoteza Riemanna
- hipoteza Wielkiego Riemanna
J. Baez, w tym tygodniu znaleziska w matematycznym tygodniu fizyki 217 zawiera bardzo pomocne omówienie hipotezy Riemanna, rozszerzonej hipotezy Riemanna, hipotezy Wielkiego Riemanna, domysłów Weila, programu Langlandsa, równań funkcyjnych funkcji Zeta i L, modularności funkcji theta itp.
Instytut Matematyki Claya oferuje 1 000 000 dolarów za dowód hipotezy Riemanna
niezwykle dokładny opis matematyczny hipotezy Riemanna (z tłem historycznym itp.
K. Sabbagh, Dr. Riemann 's Zeros: The Search for the $1 Million Solution to the Greatest Problem in Mathematics (Atlantic Books, 2002)
w 2003 roku ukazały się dwie kolejne książki o podobnym charakterze:
J. Sabbagh, Dr. Riemann’ s Zeros: The Search for the $ 1 Million Solution to the Greatest Problem in Mathematics (Atlantic Books, 2002)
Derbyshire, Primeobsession: Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics, (JHP, 2003)
Marcus du Sautoy, The Music of the primes: Searchingto Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)
oto recenzja porównawcza K. Leutwylera wszystkich trzech książek z Scientific American.
oto kolejny, autorstwa D. Lima, z The Village Voice.
…i jeszcze jeden przez J. C. Alexandra
niektóre proponowane dowody i obalanie Riemannhypotesis (niektóre poważniejsze niż inne!)
niektóre przeformułowania hipotezy Riemanna
krótki argument J. E. Littlewooda, dlaczego uważa hipotezę Riemanna za fałszywą.
teoretyk zbiorów i filozof matematyczny Gregory Chaitin omawia możliwość, że RH może być nierozstrzygalny, tzn. nie może być żadnego dowodu.
a popularexposition on the Riemann Hypothesis which appeared in New Scientist(11/11/00)
„The Mark of Zeta”: Ivars Peterson 's introductory essay on RH and Riemann’ szeta function
„The Return of Zeta”: sequel article by Ivars Peterson on links between the RH, random matrix theory and quantum chaos
K. Sabbagh, „Beautiful Maths”, Prospect (January 2002)
B. Schechter, „143-year-old problem still has mathematicians guessing”(a pretty good New York Times article on Zeta functions conference at the Courant Institute, 07/2002)
ZetaGrid: Verificationof The Riemann Hypothesis (a project coordinated by S. Wedeniwski of IBM Deutschland, completed 2005)
„Today, we have better resources to verify or False of Riemann’ shipothesis. Najpierw szybkie komputery, a następnie sieci zwiększyły wydajność obliczeń. Teraz chcemy, aby togo było o krok dalej, łącząc zasoby w sieć gridową.Dlatego zapraszam wszystkich zainteresowanych do udziału w obliczaniu zer funkcji Riemanna zeta dla nowego rekordu.”
S. Wedeniwski, „Computationsconnected with the verification of the Riemann Hypothesis” (useful overview withhistory and references)
A. R. Booker, „Turing and the Riemann Hypothesis”, Notices of the AMS 53 (2006) 1208-1211
J. Sondow, ” Did Andre Weil predict that the Riemann Hypothesis would be settled by prime number theory rather than by analysis?”(Wątek dyskusji MathOverflow)
CriticalStrip Explorer V0.67, wspaniały aplet stworzony przez Raymonda Manzonidla tej strony-zbadaj zachowanie funkcji Riemanna zeta i wokół krytycznego paska w wysoce wizualny, interaktywny sposób. Zdjęcia są zdumiewające!
sugerowane podejście Freemana Dysona do udowodnienia hipotezy Riemanna za pomocą quasi-kryształów (z wykładu AMS z 2009 r.)
D. Schumayer and D. A. W. Hutchinson, „Physics of the Riemann hypothesis”, Rev. Mod. Phys. 83 (2011) 307-330
„fizycy zapoznają się z funkcjami specjalnymi na wczesnym etapie swoich badań. Rozważmy nasz odwieczny model, oscylator harmoniczny, dla którego potrzebujemy funkcji Hermita, lub funkcje Laguerre ’ a w mechanice kwantowej. Tutaj wybieramy określoną funkcję teoretyczną liczb, funkcję Riemanna zeta i badamy jej wpływ na dziedzinę fizyki, a także jak fizyka może sugerować rozwiązanie jednej z najsłynniejszych niepotwierdzonych przypuszczeń matematyki, hipotezy Riemanna. Czy fizyka jest istotnym kluczem do rozwiązania tego ponad stuletniego problemu? W pracy tej badamy liczne modele z różnych gałęzi fizyki, od mechaniki klasycznej po fizykę statystyczną, gdzie funkcja ta odgrywa integralną rolę. Widzimy również, jak ta funkcja jest związana z chaosem kwantowym i jak jej struktura biegunowa koduje się, gdy cząstki mogą ulegać kondensacji Bosego-Einsteina w niskiej temperaturze. Podczas tych badań podkreślamy, jak fizyka może rzucić światło na hipotezę Riemanna. Oczywiście naszym celem nie może być kompleksowość, skupiamy się raczej na głównych modelach i staramy się dać świadomy punkt wyjścia dla zainteresowanego czytelnika.”
H. Montgomery, A. Nikeghbali and M. T. Rassias, eds., Exploring the Riemann Zeta Function (Springer 2017)
W. Dittrich, Reassessing Riemann ’ s paper on the number of primes less than a given magnitude (Springer, 2018)
tajemnica nowe wyszukiwanie Strona główna