L’hypothèse de Riemann

L’hypothèse de Riemann : FAQ et ressources

Foire aux questions sur l’hypothèse de Riemann:

• Qu’est-ce que l’hypothèse de Riemann?
• Qui était Riemann ?
• Comment est-il connecté aux nombres premiers ?
• À quels autres domaines des mathématiques se rapporte-t-il ?
• Qu’est-ce qu’un prix de 1 000 000 $?
• Pourquoi est-ce important?
• Y a-t-il des preuves proposées qui circulent ?
• Qui est considéré comme en lice pour prouver le RH?
• Quelle est considérée comme l’approche la plus probable pour réussir à prouver le RH?
• Quelqu’un croit-il que c’est faux?
• Sa vérité ou son mensonge pourraient-ils s’avérer indécidables ?
• Y a-t-il des livres sur le RH pour le profane? Quelqu’un a-t-il écrit une « Hypothèse de Riemann pour les nuls » ou une « Hypothèse de Riemann simplifiée »?
• Je pense avoir une preuve du RH! Qu’est-ce que je fais maintenant?
• J’ai entendu parler d’un lien avec la physique quantique – de quoi s’agit-il ?
• N’y a-t-il pas de lien avec la cryptographie ? Une preuve compromettrait-elle la sécurité des communications Internet et des transactions financières ?
• Quelles sont les Hypothèses de Riemann Étendues, RH Généralisé, Grand RH ?

Citations de l’hypothèse de Riemann

autres ressources RH

FAQ de l’hypothèse de Riemann

• Qu’est-ce que l’hypothèse de Riemann?

  L’hypothèse de Riemann est une conjecture mathématique, proposée pour la première fois en 1859 et encore non prouvée en 2015. C’est sans doute le plus célèbre de tous les problèmes mathématiques non résolus, parfois appelé « le Saint Graal des mathématiques ». Bien qu’il soit lié à de nombreux domaines des mathématiques, il est généralement considéré comme concernant la distribution des nombres premiers.

• Qui était Riemann ?

  Bernhard Riemann (de son nom complet Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) était un mathématicien allemand timide et humble qui a apporté des contributions significatives à plusieurs domaines des mathématiques, notamment l’analyse et la géométrie différentielle. Il n’a écrit qu’un seul article sur la théorie des nombres, mais c’est celui-ci qui contenait l’énoncé de son hypothèse, et c’est donc facilement l’un des articles de théorie des nombres les plus importants jamais publiés. En outre, ses travaux sur la géométrie différentielle ont ouvert la voie aux fondements mathématiques de la théorie générale de la relativité d’Einstein.

  
  
• Comment est-il connecté aux nombres premiers?

  Pour vraiment répondre à cette question, il faudrait beaucoup de mathématiques supérieures, donc je ne peux fournir qu’un croquis ici, mais d’autres ressources pour vous aider à explorer cette question se trouvent ci-dessous.

  Les nombres premiers apparaissent tout au long de la séquence de nombres de comptage, mais n’affichent aucun motif évident. Ils montrent cependant une tendance à s’amincir et le « taux moyen » auquel ils s’amincissent est décrit par le théorème des nombres premiers. Cela a été proposé pour la première fois à la fin des années 1700, mais n’a pas été prouvé avant cent ans. Afin de prouver le PNT, les mathématiciens devaient étudier un objet mathématique connu sous le nom de fonction zêta de Riemann. La fonction zêta a été introduite dans l’article de Riemann de 1859 et démontrée pour contrôler (dans un certain sens) les fluctuations des nombres premiers autour de leur comportement « moyen ». La fonction zêta fonctionne sur un « plan des nombres » à deux dimensions appelé plan complexe et auquel est associé un ensemble infini de points appelés « zéros non triviaux » (communément appelés « zéros zêta » ou « zéros de Riemann »). Les positions de ces zéros sur le plan complexe peuvent être liées à un ensemble infini d’entités ondulatoires qui régissent collectivement la fluctuation des nombres premiers. Tous les zéros que Riemann a pu calculer reposent sur une ligne verticale, et il a émis l’hypothèse que tous les zéros (non triviaux) de la fonction zêta se trouvent sur cette « ligne critique ». C’est l’hypothèse de Riemann. D’après ses écrits, il semble qu’il n’ait pas réalisé à quel point cette affirmation occasionnelle deviendrait importante – il a simplement déclaré qu’il la croyait vraie, mais qu’elle n’était pas directement pertinente pour ses enquêtes, et est passé à autre chose.

  Riemann a pu prouver certaines choses sur les zéros zêta, y compris qu’ils doivent tous se trouver dans une bande verticale d’une unité de large (la « bande critique »), centrée sur la « ligne critique » mentionnée ci-dessus. Dans les années 1800, il a été démontré que le théorème des nombres Premiers serait vrai si les zéros zêta pouvaient tous se trouver correctement à l’intérieur de la bande critique, c’est-à-dire pas sur ses bords. En 1896, les mathématiciens Hadamard et de la Vallée Poussin l’ont prouvé presque simultanément, prouvant ainsi le PNT.

  Un rétrécissement supplémentaire de la bande dans laquelle se trouvent tous les zéros zêta conduirait à des informations plus précises sur la distribution des nombres premiers. La réalisation ultime serait de réduire cette bande à sa ligne centrale (la « ligne critique »), aussi étroite qu’il est possible d’obtenir. Si cela peut être fait, le RH est prouvé, et nous saurions que les nombres premiers sont aussi « bien comportés » que possible. Si le RH est faux, il y aura des zéros zêta qui ne se trouvent pas sur la ligne critique, et les entités ondulatoires associées à celles-ci entraîneraient d’énormes fluctuations dans la distribution des nombres premiers, perturbant ainsi un certain « équilibre » au sein du système de nombres que la communauté mathématique espère et croit presque universellement en vigueur.

  
  
• À quels autres domaines des mathématiques cela se rapporte-t-il?

  À peu près tous les domaines des mathématiques peuvent être en quelque sorte liés à l’hypothèse de Riemann. Ce n’est pas si surprenant si l’on considère le rôle fondamental que jouent les nombres premiers dans le système de nombres qui sous-tend toutes les mathématiques. Le RH a été « reformulé » comme (c’est-à-dire qu’il s’est avéré mathématiquement équivalent à) des conjectures mathématiques dans une diversité stupéfiante de domaines. J’ai rassemblé quelques-unes de ces reformulations ici.

• Qu’est-ce qu’un prix de 1 000 000 $?

  L’Institut de mathématiques à but non lucratif Clay a été fondé en 1998 et, en 2000, a annoncé ses sept « Problèmes de prix du Millénaire », offrant un prix d’un million de dollars pour chacun. Naturellement, l’hypothèse de Riemann était l’un de ces problèmes. Cela a conduit à un énorme regain d’intérêt populaire pour le problème, mais comme sa preuve était déjà le prix ultime pour les mathématiciens, le million de dollars était peu susceptible de faire beaucoup de différence pour eux. Inutile de dire que le prix n’est toujours pas réclamé.

  
  
• Pourquoi est-ce important?

  C’est ça ? Pourquoi quelque chose d’important? La vie de la plupart des gens ne serait pas affectée par la preuve (ou la réfutation) de l’HR. Cependant, en mathématiques, c’est extrêmement important. En raison du rôle fondamental que jouent les nombres premiers dans le système numérique, le RH peut être lié à de nombreux domaines variés des mathématiques. Il existe des centaines de théorèmes dont les énoncés commencent par supposer que le RH est vrai. Par conséquent, si le RH est réfuté, tous ces théorèmes s’effondreront, et s’il est prouvé, ils se maintiendront. Le RH étant faux serait un désastre pour les mathématiques telles que nous les comprenons actuellement.

  De plus, le fait que plus de 150 ans d’efforts dévoués n’aient pas réussi à produire une preuve signifie que les mathématiciens parlent de choses comme « un trou béant dans notre compréhension », ou un vaste gouffre entre où nous en sommes maintenant, mathématiquement, et où nous devons être pour prouver le RH. Cela suggère que pour prouver l’hypothèse, de nouvelles idées majeures sont nécessaires, des idées qui pourraient fondamentalement modifier notre compréhension du système numérique. La recherche d’une preuve de l’HR est donc importante en ce sens.

  Il faut ajouter que ce sont les différentes « généralisations » (voir ci-dessous) du RH dont la preuve ou la désactivation aurait un impact vraiment majeur sur les mathématiques.

  Expliquer l’importance de l’hypothèse de Riemann pour les mathématiques est presque aussi difficile que d’expliquer ce que c’est, alors vous voudrez peut-être regarder les tentatives de divers autres peuples ici, ici, ici et ici.

• Y a-t-il des preuves proposées qui circulent ?

  Oui, il y en a pas mal. Certains sont clairement à prendre plus au sérieux que d’autres. Le mathématicien Louis de Branges, qui a prouvé un résultat majeur appelé Conjecture de Bieberbach en 1985, a proposé plusieurs preuves, la plus récente fin 2014. Il est le plus connu de tous les auteurs de « preuves », dont certains sont des mathématiciens professionnels, la majorité étant des amateurs.

  J’ai archivé toutes les preuves et réfutations proposées ici depuis quelques années, y compris les fausses alarmes, les preuves du poisson d’avril, les preuves comiques et au moins un argument « théologique » pour le RH!

• Qui est considéré comme en lice pour prouver le RH?

  Cela dépend à qui vous demandez. Louis de Branges est un mathématicien sérieux avec une feuille de route formidable, mais son approche particulière de la RH ne semble pas avoir gagné de nombreux adeptes dans la communauté mathématique. L’approche d’Alain Connes impliquant la géométrie non commutative semble être celle que la plupart des personnes impliquées considèrent comme potentiellement fructueuse. Le nom de Christopher Deninger revient aussi parfois. Le livre de Karl Sabbagh Dr. Zeros de Riemann (2002), bien que manquant plutôt en termes d’explication des mathématiques de la RH, contient un bon aperçu du côté humain de l’histoire, ce serait donc un bon point de départ pour répondre à cette question.

• Quelle est considérée comme l’approche la plus probable pour réussir à prouver le RH?

  À la fin des années 1990, il semblait que le travail d’Alain Connes en géométrie non commutative était la voie à suivre, avec quelques articles prometteurs publiés. Mais cette recherche semble avoir atteint une impasse au cours de la dernière décennie.

  Cela dépend à qui vous demandez! Tout mathématicien qui pense être en route vers une preuve considérerait que son approche est la plus susceptible de réussir. Et puis il y a la possibilité qu’un ou plusieurs mathématiciens de poids lourds travaillent sur le problème de manière secrète (comme Andrew Wiles l’a fait avec le Dernier théorème de Fermat) en utilisant une approche qu’aucun d’entre nous ne connaît, sur le point de compléter une preuve. On pense que Paul Cohen (1934-2007) et Atle Selberg (1917-2007) travaillaient tous deux « secrètement » sur l’hypothèse de Riemann jusqu’à leur mort.

  Roger Heath-Brown, théoricien des nombres de l’Université d’Oxford, a déclaré que « ce ne sont plus seulement les théoriciens des nombres analytiques qui sont impliqués, mais tous les mathématiciens connaissent le problème, et beaucoup se rendent compte qu’ils peuvent avoir des idées utiles à offrir. Pour autant que je puisse voir, une solution est aussi susceptible de provenir d’un probabiliste, d’un géomètre ou d’un physicien mathématique, que d’un théoricien des nombres. »

• Quelqu’un croit-il que c’est faux?

  En 1962, le théoricien accompli des nombres de Cambridge John Littlewood (surtout connu pour ses collaborations avec G.H. Hardy) a publié un court article dans lequel il a déclaré sans détour qu’il croyait que c’était faux, qu’il n’y avait aucune preuve et aucune raison imaginable pour que cela soit vrai. On pourrait soutenir qu’il ne s’agissait que d’une amertume due à son incapacité à le prouver lui-même (son directeur de thèse lui avait plutôt cruellement posé le problème à une époque où il n’était pas aussi connu). En 2008, Aleksandar Ivi ć a publié quelques raisons pour lesquelles il était sceptique quant à la vérité du RH.

• Sa vérité ou son mensonge pourraient-ils s’avérer indécidables ?

  Nous ne pouvons pas exclure cela. Le mathématicien et informaticien Gregory Chaitin a publié quelques réflexions sur la façon dont les théorèmes d’incomplétude de Gödel (concernant l’existence d’une proposition indécidable dans les systèmes axiomatiques) pourraient être pertinents pour le RH et comment il pourrait éventuellement être indécidable (voir ici).

• Y a-t-il des livres sur le RH pour le profane? Quelqu’un a-t-il écrit une « Hypothèse de Riemann pour les nuls » ou une « Hypothèse de Riemann simplifiée »?

  Il y en a plusieurs. En 2003, en raison de l’intérêt suscité par l’offre de prix de 1 000 000 $ du CMI, trois livres de mathématiques populaires ont été publiés sur le RH. L’obsession première de John Derbyshire est la plus détaillée mathématiquement, mais serait difficile à suivre sans les mathématiques au niveau du diplôme. Les Zéros du Dr Riemann de Karl Sabbagh étaient légers sur les mathématiques, mais fournissent un portrait détaillé de nombreux mathématiciens impliqués, en se concentrant sur « l’angle humain ». La Musique des Nombres Premiers de Marcus du Sautoy se situait quelque part entre ces deux, couvrant à la fois les angles mathématiques et culturels. Des critiques comparatives de ces livres peuvent être trouvées ici, ici et ici. Quelques années plus tard, Dan Rockmore a traqué l’hypothèse de Riemann, ce qui est assez technique à certains endroits, mais très lisible à d’autres.

  
  
  

  Après avoir été commissaire de ce site Web pendant quelques années, j’ai voulu créer un livre qui communiquait vraiment les mathématiques de l’hypothèse de Riemann (plutôt que de simplement donner au lecteur une idée de ce qui est impliqué) et que mes amis non mathématiques pourraient lire. Cela m’a amené à travailler avec un illustrateur pour développer une nouvelle approche, principalement visuelle, de certains concepts mathématiques autrement inaccessibles, et l’idée originale du livre a finalement donné lieu à une trilogie de livres. La trilogie Des Secrets de la création explore d’abord la distribution des nombres premiers, menant à un compte rendu détaillé de la fonction zêta et de l’hypothèse de Riemann dans le volume 2. Le volume final examine le lien avec la physique quantique et ses implications philosophiques.

• Je pense avoir une preuve du RH! Qu’est-ce que je fais maintenant?

  Restez calme. Il y a de fortes chances que vous vous trompiez. Après tout, ce problème existe depuis plus de 150 ans et bon nombre des meilleurs esprits mathématiques de la planète s’y sont attaqués pendant la majeure partie de ce temps. En raison de ma présence sur le web, je reçois de temps en temps des preuves proposées par des amateurs, et je les poste ici. Une préoccupation récurrente que leurs auteurs expriment est que quelqu’un leur volera l’idée avant d’obtenir le prix de 1 million de dollars. Ça ne devrait pas être une préoccupation. Créez un site Web simple et publiez–y votre travail – c’est une preuve suffisante de la paternité originale. Envoyez-moi un lien et je le posterai sur ma page de preuves RH proposées. Vous pouvez utiliser le sci.groupe de discussion mathématique ou liste de diffusion Prime Pages pour attirer l’attention sur votre travail.

  Malheureusement, la plupart des mathématiciens n’ont tout simplement pas le temps de lire les preuves proposées du RH lorsqu’ils sont presque sûrs à 100% que l’auteur se trompe d’une manière ou d’une autre. Comme quelqu’un l’a dit un jour, « Il est plus facile de prouver l’hypothèse de Riemann que d’amener quelqu’un à lire votre preuve! »Votre meilleur espoir est qu’un post-diplôme ou un mathématicien intéressé avec un peu de temps libre parcourra votre travail, ne trouvera aucun problème et le transmettra à quelqu’un de plus haut dans l’échelle du prestige mathématique.

  Pour en savoir plus sur la façon d’obtenir votre travail et toute préoccupation que vous pourriez avoir à propos du vol, lisez ceci.

• J’ai entendu parler d’un lien avec la physique quantique – de quoi s’agit-il ?

  Pour comprendre cela, il faut se familiariser avec la physique quantique, la théorie du chaos et la fonction zêta de Riemann, donc le mieux que je puisse faire ici est de donner un aperçu très sommaire. Une partie des travaux de Riemann sur la distribution des nombres premiers a montré que la « fonction de comptage des nombres premiers » peut être comprise en termes d’un ensemble d’objets mathématiques ressemblant à des vagues. Comme pour les ondes en physique, celles-ci ont des longueurs d’onde et des fréquences. Il y en a un nombre infini et leurs fréquences constituent collectivement ce qu’on appelle un « spectre ». Au début des années 1980, le physicien Michael Berry a remarqué que ce spectre correspond remarquablement étroitement au spectre associé à un type de système oscillant physique. La vérité ou la fausseté de l’hypothèse de Riemann peut alors être liée aux propriétés physiques du système en question. Cela ouvre la possibilité que la découverte (de l’existence possible) d’un certain système physique puisse conduire à une preuve du RH.

  Bien qu’il soit très courant de trouver des structures mathématiques reflétées dans la réalité physique (c’est la base de la physique moderne), il s’agit d’un renversement très étrange de cette situation, où une structure physique est reflétée dans la réalité mathématique. Une classe très spécifique d’oscillateurs « chaologiques quantiques » semble en quelque sorte sous-tendre la distribution des nombres premiers (et donc le système de comptage des nombres). Personne ne sait ce que cela signifie, et c’est la chose la plus étrange dont je suis conscient dans mon expérience de la réalité! Tout cela est patiemment expliqué (sans mathématiques ni physique préalables) dans le dernier volume de ma trilogie Secrets of Creation.

• N’y a-t-il pas de lien avec la cryptographie ? Une preuve compromettrait-elle la sécurité des communications Internet et des transactions financières ?

  L’algorithme RSA, couramment utilisé en cryptographie, implique l’utilisation de grands nombres premiers et exploite le fait que la détermination des facteurs premiers d’un grand nombre composite est beaucoup plus laborieuse que la multiplication des facteurs ensemble en premier lieu. J’ai expliqué un peu plus en détail ici.

  Une preuve de l’hypothèse de Riemann ne compromettrait pas en soi l’algorithme RSA (ou d’autres basés sur la théorie des nombres). Cependant, la « grande nouvelle (s) idée (s) » dont tout le monde s’attend à avoir besoin pour une preuve du RH pourrait conduire à des percées dans la factorisation efficace des entiers, et ce serait un problème pour la cryptographie. Ces questions sont explorées en détail ici, ici et ici.

• Quelles sont les hypothèses de Riemann étendues, RH Généralisées, Grand RH ?

  Ce sont également des conjectures mathématiques non prouvées et sont des « généralisations » de l’hypothèse de Riemann. Autrement dit, le RH dans sa forme familière peut être compris comme un cas particulier de chacun d’entre eux. Si l’un d’eux s’avérait vrai, le RH suivrait automatiquement.

  Rappelons que l’hypothèse de Riemann, telle qu’elle est habituellement formulée, concerne les zéros de la fonction zêta de Riemann. Il s’avère qu’il existe de nombreux types de fonctions zêta en mathématiques, celle de Riemann étant particulièrement significative. Parmi le panthéon en constante expansion des fonctions zêta, nous trouvons « les fonctions zêta de Dedekind des champs de nombres algébriques ». Le système familier des nombres rationnels (composé de tous les rapports d’entiers – positifs, négatifs et nuls) est une instance d’un champ de nombres algébriques, et la fonction zêta de Dedekind pour les rationnels s’avère être la même que la fonction zêta de Riemann. L’hypothèse de Riemann étendue stipule que tous les zéros (non triviaux) de toutes les fonctions zêta de Dedekind se trouvent sur la « ligne critique », donc clairement si c’est vrai, tous les zéros de Riemann se trouvent sur la ligne critique et le RH doit être vrai.

  L’hypothèse de Riemann généralisée concerne toutes les fonctions L de Dirichlet, dont la fonction zêta de Riemann est un exemple unique, exigeant de même que leurs zéros se trouvent sur la droite critique. L’Hypothèse de Grand Riemann généralise non seulement le RH familier mais aussi le RH généralisé, car elle concerne toutes les fonctions L automorphes, qui incluent toutes les fonctions L de Dirichlet.

Citations de l’hypothèse de Riemann

« Hilbert a inclus le problème de prouver l’hypothèse de Riemann dans sa liste des problèmes non résolus les plus importants auxquels les mathématiques ont été confrontées en 1900, et la tentative de résoudre ce problème a occupé les meilleurs efforts de bon nombre des meilleurs mathématiciens du XXe siècle. C’est maintenant incontestablement le problème le plus célèbre en mathématiques et il continue d’attirer l’attention des meilleurs mathématiciens, non seulement parce qu’il n’a pas été résolu depuis si longtemps, mais aussi parce qu’il semble extrêmement vulnérable et que sa solution mettrait probablement en lumière de nouvelles techniques d’une grande importance. »

H.M. Edwards, d’après la fonction Zêta de Riemann (1974), p. 6

« À l’heure actuelle, lorsque nous abordons des problèmes sans connaître la vérité de l’hypothèse de theRiemann, c’est comme si nous avions un tournevis. Mais quand on l’aura, ce sera plus comme un bulldozer. »

P. Sarnak, de « Prime Time » par E. Klarreich (New Scientist, 11/11/2000)

« Les conséquences sont fantastiques: la distribution des nombres premiers, ces objets élémentaires de l’arithmétique. Et d’avoir des outils pour étudier la distribution de ces objets. »

H. Iwaniec, cité dans Les Zéros du Dr Riemann de K. Sabbagh (Atlantique, 2002), p. 30

 » Si ce n’est pas vrai, alors le monde est un endroit très différent. Toute la structure des entiers et des nombres premiers serait très différente de ce que nous pourrions imaginer. D’une certaine manière, ce serait plus intéressant si c’était faux, mais ce serait une catastrophe parce que nous avons construit tellement de ronds en supposant sa vérité. »

P. Sarnak, cité dans Les zéros du Dr Riemann de K. Sabbagh (Atlantic, 2002), p. 30

« S’il y a beaucoup de zéros hors de la ligne – et il pourrait y en avoir – l’image entière est tout simplement horrible, horrible, très laide. C’est une sorte de rasoir d’Occam, soit vous avez un comportement absolument magnifique des nombres premiers, ils se comportent comme vous voulez qu’ils se comportent, soit c’est vraiment mauvais. »

S. Gonek, cité dans les Zéros du Dr Riemann (Atlantique, 2002), p.112

« L’hypothèse de Riemann est le lien le plus fondamental qui existe entre l’addition et la multiplication, donc je la considère dans les termes les plus simples comme quelque chose de vraiment fondamental que nous ne comprenons pas sur le lien entre l’addition et la multiplication. »

B. Conrey, cité dans les Zéros du Dr Riemann (Atlantic, 2002), p. 160

« est probablement le problème le plus fondamental des mathématiques, en ce sens qu’il s’agit de l’entrelacement de l’addition et de la multiplication. C’est un trou béant dans notre compréhension… »

A. Connes, cité dans les Zéros du Dr Riemann (Atlantique, 2002), p.208

Ressources de l’Hypothèse de Riemann

Wikipedia: Hypothèse de Riemann

WolframMathwold: notes sur l’Hypothèse de Riemann

Introduction de base de C. Caldwell à l’Hypothèse de Riemann

L’examen par Dan Bump des questions entourant l’Hypothèse de Riemann

K. Spiliopoulos, Introduction à l’Hypothèse de Riemann

L’excellent « The Riemann Hypothesis in a Nutshell », y compris l’applet de traçage aZ(t)

J. Brian Conrey, « The Riemann Hypothesis », Notices of the AMS (mars 2003) – une introduction très agréable et complète au RH

J. Notes d’introduction de Perry sur l’hypothèse de Riemann

P. Borwein, S. Choi, B. Rooney et A. Weirathmueller, The Riemann Hypothesis: For the afficionado and virtuoso alike (eBook, 2006)

Liens de l’hypothèse de Riemann de J. Mathews

Notes du WWN sur l’hypothèse de Riemann (faisant partie d’un travail en cours)

Z. Rudnick, « Nombre contexte théorique » (proceedings of a summer school in Bologna, août 2001)
Ceci couvre toute la théorie des nombres nécessaire à une compréhension de base de l’hypothèse de Riemann, qui est couverte dans sa dernière section.

L’article original de huit pages de Riemann
PDF, Traduction anglaise autres formats

« Riemann n’a écrit qu’un seul article sur la théorie des nombres, publié en 1859. Cet article a radicalement redessiné le paysage du sujet.L’approche spécifique de la distribution des nombres premiers qu’il a développée, à la fois simple et révolutionnaire, consiste à faire appel à la théorie des fonctions holomorphes de Cauchy, qui était à l’époque une découverte relativement récente. »
G. Tenenbaum et M. Mendès France, à partir des Nombres Premiers et de leur Distribution (AMS, 2000)

 » L’Hypothèse de Riemann et ses généralisations », dans le cadre d’un travail en cours, voir aussi les sous-sections :

• Hypothèse de Riemann Généralisée
• Hypothèse de Riemann Étendue
• Hypothèse de Grand Riemann

J. Baez, Les découvertes de cette semaine dans la semaine de physique mathématique 217comprend une discussion très utile sur l’Hypothèse de Riemann, l’Hypothèse de Riemann étendue, l’Hypothèse de Grand Riemann, les Conjectures de Weil, le Programme de Langlands, les équations fonctionnelles des fonctions zêta et L, la modularité des fonctions thêta, etc.

Le Clay Mathematics Institute offre 1 000 000 $ pour une preuve de l’hypothèse de Riemann

une description mathématique extrêmement approfondie de l’hypothèse de Riemann (avec contexte historique, etc.) fourni par Enrico Bombieri pour les besoins de ce concours

enregistrement vidéo d’une conférence d’introduction de J. Vaaler sur le RH (l’une des « Conférences du Millénaire » de la Fondation Clay)

K. Sabbagh, Dr. Riemann’s Zeros: The Search for the Greatest1 Million Solution to the Greatest Problem in Mathematics (Atlantic Books, 2002)

Deux autres livres de nature similaire ont suivi en 2003:

J. Derbyshire , PrimeObsession: Bernhard Riemann et le Plus grand Problème non résolu en Mathématiques, (JHP, 2003)

Marcus du Sautoy, La Musique des Nombres Premiers: Searching To Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)

Voici la critique comparative de K. Leutwyler des trois livres de Scientific American.

Voici un autre, de D. Lim, de La Voix du Village.

…et un autre de J.C. Alexander

certains ont proposé des preuves et des réfutations de la Riemannhypothèse (certaines plus sérieuses que d’autres!)

quelques reformulations de l’Hypothèse de Riemann

Le bref argument de J.E. Littlewood sur les raisons pour lesquelles il croit que l’hypothèse de Riemann est fausse.

Le théoricien des ensembles et philosophe des mathématiques Gregory Chaitin discute de la possibilité que le RH puisse être indécidable, c’est-à-dire qu’il ne peut y avoir de preuve.

une position populaireexposition sur l’hypothèse de Riemann parue dans New Scientist (11/11/00)

« La marque de Zêta »: Essai introductif d’Ivars Peterson sur le RH et la fonction zêta de Riemann

« Le retour de Zêta »: article de suite d’Ivars Peterson sur les liens entre le RH, la théorie des matrices aléatoires et le chaos quantique

K. Sabbagh, « Beautiful Maths », Prospect (janvier 2002 )

B. Schechter, « un problème vieux de 143 ans a encore des mathématiciens à deviner » (un assez bon article du New York Times sur la conférence sur les fonctions zêta à l’Institut Courant, 07/2002)

ZetaGrid: Verificationof the Riemann Hypothesis (un projet coordonné par S. Wedeniwski d’IBM Deutschland, achevé en 2005)

« Aujourd’hui, nous avons de meilleures ressources pour vérifier ou falsifier l’hypothèse de Riemann. D’abord les ordinateurs à grande vitesse, puis les réseaux ont augmenté la capacité de calcul. Maintenant, nous voulons aller plus loin en regroupant les ressources dans un réseau de réseau.Par conséquent, j’invite toutes les personnes intéressées à participer au calcul des zéros de la fonction zêta de Riemann pour un nouvel enregistrement. »

S. Wedeniwski, « Computationsconnected with the verification of the Riemann Hypothesis » (aperçu utile avec l’histoire et les références)

A.R. Booker, « Turing and the Riemann Hypothesis », Notices of the AMS 53 (2006) 1208-1211

J. Sondow, « Andre Weil a-t-il prédit que l’hypothèse de Riemann serait réglée par la théorie des nombres premiers plutôt que par l’analyse ? »(Fil de discussion MathOverflow)

Explorateur CriticalStrip v0.67, une merveilleuse applet produite par Raymond Manzonifor ce site – explorez le comportement de la fonction zêta de Riemann et autour de la bande critique d’une manière hautement visuelle et interactive. Theresulting images sont assez étonnantes!

L’approche suggérée par Freeman Dyson pour prouver l’hypothèse de Riemann à l’aide de quasi-cristaux (tirée de sa conférence AMS de 2009)

D. Schumayer et D.A.W. Hutchinson, « Physics of the Riemann hypothesis », Rév. Mod. Phys. 83 (2011) 307-330

« Les physiciens se familiarisent avec les fonctions spéciales au début de leurs études. Considérons notre modèle pérenne, l’oscillateur harmonique, pour lequel nous avons besoin de fonctions Hermites, ou les fonctions de Laguerre en mécanique quantique. Ici, nous choisissons une fonction théorique des nombres particulière, la fonction zêta de Riemann et examinons son influence dans le domaine de la physique et comment la physique peut être suggestive pour la résolution de l’une des conjectures non confirmées les plus célèbres des mathématiques, l’hypothèse de Riemann. La physique détient-elle une clé essentielle pour résoudre ce problème plus que centenaire ? Dans ce travail, nous examinons de nombreux modèles de différentes branches de la physique, de la mécanique classique à la physique statistique, où cette fonction joue un rôle intégral. Nous voyons également comment cette fonction est liée au chaos quantique et comment sa structure polaire code lorsque des particules peuvent subir une condensation de Bose-Einstein à basse température. Tout au long de ces examens, nous soulignons comment la physique peut peut-être éclairer l’hypothèse de Riemann. Naturellement, notre objectif ne pourrait pas être d’être complet, nous nous concentrons plutôt sur les principaux modèles et visons à donner un point de départ éclairé au lecteur intéressé. »

H. Montgomery, A. Nikeghbali et M.T. Rassias, éd., Explorant la fonction Zêta de Riemann (Springer 2017)

W. Dittrich, Réévaluant l’article de Riemann sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une magnitude donnée (Springer, 2018)

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