Semi-duuri-ja semi-molliakselit

Kiertoratajaksot

astrodynamiikassa keskuskappaletta ympyränmuotoisella tai elliptisellä radalla kiertävän pienen kappaleen kiertorata T on:

T = 2 π A 3 μ , {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

missä:

μ {\displaystyle \mu }

on keskuskappaleen vakio gravitaatioparametri.

huomaa, että kaikilla ellipseillä, joilla on tietty puolidivoriakseli, kiertorata on sama, niiden eksentrisyydestä riippumatta.

keskuskappaletta pyöreällä tai elliptisellä radalla kiertävän pienen kappaleen ominaiskulmamomentti h on

h = A μ ( 1 − e 2 ) , {\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e)^{2})}},}

missä:

a ja μ {\displaystyle \mu }

e on radan eksentrisyys.

tähtitieteessä puoliduuriakseli on yksi radan tärkeimmistä rataelementeistä kiertoratansa ohella. Aurinkokunnan kappaleille semi-duuri-akseli liittyy kiertoradan jaksoon Keplerin kolmannen lain (alun perin empiirisesti johdettu) mukaan:

T 2 ∝ a 3, {\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

missä T on periodi ja A on semi-duuri-akseli. Tämä muoto osoittautuu Newtonin määrittelemäksi kahden kappaleen ongelman yleisen muodon yksinkertaistamiseksi:

T 2 = 4 π 2 G ( m + m ) a 3 , {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(m+m)}}a^{3},}

missä G on gravitaatiovakio, m on keskuskappaleen massa ja M on kiertävän kappaleen massa. Tyypillisesti keskuskappaleen massa on niin paljon suurempi kuin kiertävän kappaleen massa, että m voidaan jättää huomiotta. Tämän olettamuksen tekeminen ja tyypillisten tähtitieteen yksiköiden käyttäminen johtaa yksinkertaisempaan muotoon, jonka Kepler löysi.

kiertävän kappaleen reitti barycenteriä ympäri ja sen rata suhteessa sen primääriin ovat molemmat ellipsejä. Semiduuriakselia käytetään tähtitieteessä joskus primääri-toisioakselina, kun primäärin ja sekundäärin massasuhde on huomattavan suuri ( m ≫ m {\displaystyle m\gg m}

); näin planeettojen kiertorataparametrit on esitetty heliocentrisesti. Primosentrisen ja ”absoluuttisen” kiertoradan eroa voidaan parhaiten havainnollistaa tarkastelemalla maan ja kuun järjestelmää. Massasuhde on tässä tapauksessa 81.30059. Maa-Kuulle ominainen etäisyys, geosentrisen kuun kiertoradan puolimuuriakseli, on 384 400 km. (Kun otetaan huomioon kuun radan eksentrisyys e = 0,0549, sen puolipienoakseli on 383 800 km. Näin kuun kiertorata on lähes pyöreä.) Barysentrisellä Kuun kiertoradalla puolestaan on puoli-Pääakseli 379 730 km, maan vastakiertoradalla ero on 4 670 km. Kuun keskimääräinen barycentric orbital nopeus on 1.010 km / s, kun taas maan on 0.012 km / s. yhteensä nämä nopeudet antaa geosentrinen Kuun keskimääräinen orbital nopeus on 1.022 km/s; sama arvo voidaan saada tarkastelemalla vain geosentristä semi-duuri-akselin arvoa.

Keskimääräinen distanssi

usein sanotaan, että semiduuriakseli on ”keskimääräinen” etäisyys ellipsin ja sitä kiertävän kappaleen primäärifokuksen välillä. Tämä ei ole aivan tarkkaa, koska se riippuu siitä, mikä keskiarvo otetaan haltuun.

• keskiarvon laskeminen eksentrisen anomalian yli johtaa todellakin semi-duuriakseliin.
• keskiarvon laskeminen todellisen anomalian yli (todellinen orbitaalikulma, mitattuna fokuksesta) johtaa puolipienoakseliin b = A 1-e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1 − e^{2}}}}
  

  .

• keskiarvon laskeminen anomalian keskiarvon yli (pericentren jälkeisen kiertoradan murto-osa, joka ilmaistaan kulmana) antaa aikakeskiarvolle a (1 + e 2 2 ) {\displaystyle a\left (1 + {\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}
  

  .

säteen käänteisarvon aikakeskiarvo r-1 {\displaystyle r^{-1}}

on a − 1 {\displaystyle A^{-1}}

.

Energia; semiduuriakselin laskeminen valtiovektorista

astrodynamiikassa puoliduuriakseli A voidaan laskea orbitaalitilavektoreista:

a = − μ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\Mu }{2\varepsilon }}}

elliptiselle radalle ja konventiosta riippuen sama tai

a = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\Mu }{2\varepsilon}}}

hyperboliselle liikeradalle, ja

ε = v 2 2 − μ | R / {\displaystyle \varepsilon ={\frac {V^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

(specific orbital energy) ja

μ = G M , {\displaystyle \mu =GM,}

(standard gravitational parametri), jossa:

v on kiertonopeus kiertävän kappaleen nopeusvektorista, R on karteesinen kiertävän kappaleen paikkavektori viitekehyksen koordinaateissa, joiden suhteen kiertoradan alkuaineet on laskettava (esim. geosentrinen ekvatoriaalinen Maata kiertävälle radalle tai heliosentrinen ekliptika Aurinkoa kiertävälle radalle), G on gravitaatiovakio, M gravitoivan kappaleen massa ja ε {\displaystyle \varepsilon }

on kiertoradan kappaleen ominaisenergia.

huomaa, että tietyllä kokonaismassamäärällä ominaisenergia ja semiduuriakseli ovat aina samat eksentrisyydestä tai massojen suhteesta riippumatta. Kääntäen, tietyllä kokonaismassalla ja semi-duuriakselilla, kokonaisespesifinen orbitaalienergia on aina sama. Tämä lausunto on aina totta kaikissa olosuhteissa.

planeettojen ratojen Semi-duuri-ja puolipienoakselit

planeettojen radat mainitaan aina priimaesimerkeinä ellipseistä (Keplerin ensimmäinen laki). Kuitenkin vähäinen ero semi-duuri-ja semi-molli-akselien välillä osoittaa, että ne ovat lähes ympyrän muotoisia ulkonäöltään. Tämä ero (tai suhde) perustuu eksentrisyyteen ja se lasketaan seuraavasti: A / b = 1 / 1 − E 2 {\displaystyle A/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}

, joka tyypillisille planeetan eksentrisyyksille tuottaa hyvin pieniä tuloksia.

syy huomattavien elliptisten ratojen oletukseen lienee aphelionin ja perihelin paljon suuremmassa erossa. Tämä ero (tai suhde) perustuu myös eksentrisyyteen, ja se lasketaan seuraavasti: r A / r P = ( 1 + e ) / ( 1 − e ) {\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+E)/(1-e)}

. Aphelionin ja perihelin suuren eron vuoksi Keplerin toinen laki on helposti visualisoitavissa.

th>maa

eksentrisyys	Puolipienoakseli a (AU)	ero (%)	periheli (AU)	Aphelion (	ero (%)
elohopea 0, 206	0, 38700	0, 37870	2, 2	0, 307	0, 467	52
Venus	0, 007	0, 72300	0, 72298	0, 002	0, 718	0, 728	1, 4	0, 017	1, 00000	0, 99986	0.014	0.983	1.017	3.5
Mars	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
Jupiter	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
Saturn	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
Uranus	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
Neptune	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9