La Hipótesis de Riemann

La Hipótesis de Riemann: Preguntas frecuentes y recursos

preguntas frecuentes acerca de la Hipótesis de Riemann:

• ¿Qué es la Hipótesis de Riemann?
• ¿Quién era Riemann?
• ¿Cómo se conecta a los números primos?
• ¿Con qué otras áreas de las matemáticas se relaciona?
• ¿Qué es esto de un premio de $1,000,000?
• ¿por Qué es importante?
• ¿Circulan pruebas propuestas?
• ¿Quién se considera que está en la carrera para probar la RH?
• ¿Cuál se considera el enfoque más probable para tener éxito en la prueba de la RH?
• ¿Alguien cree que es falso?
• ¿Podría su verdad o falsedad resultar indecidible?
• ¿Hay libros sobre la salud reproductiva para el lego? ¿Alguien ha escrito una «Hipótesis de Riemann para Tontos» o «Hipótesis de Riemann simplificada»?
• Creo que tengo una prueba de RH! ¿Qué hago ahora?
• He oído algo sobre una conexión con la física cuántica, ¿de qué se trata?
• ¿No hay conexión con la criptografía? ¿Comprometería una prueba la seguridad de las comunicaciones por Internet y las transacciones financieras?
• ¿Cuáles son la Hipótesis de Riemann Extendida, RH Generalizada, Gran RH?

La hipótesis de Riemann cita

más recursos de RH

Preguntas frecuentes sobre la hipótesis de Riemann

• ¿Qué es la hipótesis de Riemann?

  La Hipótesis de Riemann es una conjetura matemática, propuesta por primera vez en 1859 y aún no probada en 2015. Es posiblemente el más famoso de todos los problemas matemáticos sin resolver, a veces referido como «el Santo Grial de las matemáticas». Aunque está relacionado con muchas áreas de las matemáticas, por lo general se considera que se refiere a la distribución de números primos.

• ¿Quién era Riemann?Bernhard Riemann (nombre completo Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) fue un matemático alemán tímido y humilde que hizo contribuciones significativas a varias áreas de las matemáticas, incluido el análisis y la geometría diferencial. Solo escribió un artículo sobre teoría de números, pero fue este el que contenía la declaración de su hipótesis, por lo que es fácilmente uno de los artículos de teoría de números más importantes publicados. Además de esto, su trabajo sobre geometría diferencial allanó el camino para los fundamentos matemáticos de la teoría general de la relatividad de Einstein.
• ¿Cómo se conecta números primos?

  Responder realmente a esa pregunta requeriría un montón de matemáticas superiores, por lo que solo puedo proporcionar un bosquejo aquí, pero más recursos para ayudarlo a explorar este asunto se pueden encontrar a continuación.

  Los números primos aparecen a lo largo de la secuencia de números de conteo, pero no muestran ningún patrón obvio. Sin embargo, muestran una tendencia a diluirse, y la «tasa media» a la que se diluyen se describe por el Teorema del Número Primo. Eso se propuso por primera vez a finales de la década de 1700, pero no se demostró hasta dentro de cien años. Para probar el PNT, los matemáticos necesitaban estudiar un objeto matemático conocido como la función zeta de Riemann. La función zeta se introdujo en el documento de Riemann de 1859 y se demostró que (en cierto sentido) controlaba las fluctuaciones de los números primos alrededor de su comportamiento «promedio». La función zeta opera en un «plano numérico» bidimensional llamado plano complejo, y asociado a él hay un conjunto infinito de puntos conocidos como sus «ceros no triviales» (comúnmente conocidos como los «ceros zeta» o «ceros de Riemann»). Las posiciones de estos ceros en el plano complejo pueden estar relacionadas con un conjunto infinito de entidades en forma de onda que gobiernan colectivamente la fluctuación de los primos. Todos los ceros Riemann fue capaz de calcular yacían en una línea vertical, y planteó la hipótesis de que todos los ceros de la función zeta (no triviales) se encuentran en esta «línea crítica». Esa es la hipótesis de Riemann. A partir de sus escritos, parece que no se dio cuenta de lo importante que sería esta afirmación casual, simplemente afirmó que creía que era verdad, pero que no era directamente relevante para sus investigaciones, y siguió adelante.

  Riemann pudo probar ciertas cosas sobre los zeta ceros, incluyendo que todos deben estar en una franja vertical de una unidad de ancho (la» franja crítica»), centrada en la» línea crítica » mencionada anteriormente. En la década de 1800, se demostró que el Teorema de los Números Primos sería cierto si todos los ceros zeta pudieran mostrarse correctamente dentro de la franja crítica, es decir, no en sus bordes. En 1896, los matemáticos Hadamard y de la Vallée Poussin demostraron esto casi simultáneamente, demostrando así el PNT.

  Estrechar aún más la franja en la que se sabe que se encuentran los ceros zeta daría lugar a información más precisa sobre la distribución de los números primos. El logro final sería reducir esta franja a su línea central (la» línea crítica»), lo más estrecha posible. Si esto se puede hacer, el RH está probado, y sabríamos que los números primos se comportan lo más «bien» posible. Si el RH es falso, habrá zeta-ceros que no se encuentran en la línea crítica, y las entidades en forma de onda asociadas con ellos resultarían en enormes fluctuaciones en la distribución de los números primos, interrumpiendo así un cierto «equilibrio» dentro del sistema numérico que la comunidad matemática casi universalmente espera y cree que está en efecto.

  
• ¿Qué otras áreas de la matemática en relación a la?

  Casi todas las áreas de las matemáticas pueden estar relacionadas de alguna manera con la Hipótesis de Riemann. Esto no es tan sorprendente si consideramos el papel fundamental que juegan los números primos en el sistema numérico que subyace a todas las matemáticas. La HR ha sido «reformulada» como (es decir, se ha demostrado que es matemáticamente equivalente a) conjeturas matemáticas en una asombrosa diversidad de áreas. He recopilado algunas de estas reformulaciones aquí.

• ¿Qué es esto de un premio de $1,000,000?

  El Instituto de Matemáticas de Arcilla sin fines de lucro fue fundado en 1998, y en 2000 anunció sus siete «Problemas del Premio del Milenio», ofreciendo un premio de un millón de dólares por cada uno. Naturalmente, la hipótesis de Riemann fue uno de estos problemas. Esto llevó a una enorme explosión de interés popular en el problema, pero como su prueba ya era el premio final para los matemáticos, era poco probable que el millón de dólares hiciera mucha diferencia para ellos. No hace falta decir que el premio aún no ha sido reclamado.

  
• ¿por Qué es importante?

  ¿Lo es? ¿Por qué algo es importante? La mayoría de los pueblos’ la vida sería completamente afectada por el RH ser demostrar (o refutar). Sin embargo, dentro de las matemáticas es muy importante. Debido al papel fundamental que juegan los números primos en el sistema numérico, el RH puede estar relacionado con muchas áreas diversas de las matemáticas. Existen cientos de teoremas cuyas afirmaciones comienzan asumiendo que el RH es verdadero. En consecuencia, si el RH es refutado, todos estos teoremas colapsarán, y si se demuestra, permanecerán en pie. El hecho de que el RH sea falso sería un desastre para las matemáticas tal como lo entendemos actualmente.

  Además, el hecho de que más de 150 años de esfuerzo dedicado no hayan podido producir una prueba significa que los matemáticos están hablando de cosas como «un enorme agujero en nuestro entendimiento», o un vasto abismo entre donde estamos ahora, matemáticamente, y donde necesitamos estar para probar la RH. Esto sugiere que para probar la Hipótesis, se necesitan algunas ideas nuevas importantes, ideas que podrían alterar fundamentalmente nuestra comprensión del sistema numérico. Por lo tanto, la búsqueda de una prueba de la HR es importante en ese sentido.

  Se debe agregar que son las diversas «generalizaciones» (ver más abajo) de la RH cuya prueba o refutación tendría un impacto realmente importante en las matemáticas.

  Explicar la importancia de la Hipótesis de Riemann para las matemáticas es casi tan difícil como explicar lo que es, por lo que es posible que desee ver los intentos de varias otras personas aquí, aquí, aquí y aquí.

• ¿Circulan pruebas propuestas?

  Sí, hay bastantes. Es evidente que algunos deben tomarse más en serio que otros. El matemático Louis de Branges, que demostró un resultado importante llamado la Conjetura de Bieberbach en 1985, ha presentado varias pruebas propuestas, la más reciente a finales de 2014. Es el más conocido de todos los autores de «pruebas», algunos de los cuales son matemáticos profesionales, la mayoría amateurs.

  He estado archivando todas las pruebas y refutaciones propuestas aquí durante algunos años, incluidas falsas alarmas, pruebas de inocentes, pruebas de comedia y al menos un argumento «teológico» para el RH!

• ¿Quién se considera que está en la carrera para probar la RH?Depende de a quién le preguntes. Louis de Branges es un matemático serio con un historial formidable, pero su enfoque particular de la RH no parece haber ganado muchos seguidores en la comunidad matemática. El enfoque de Alain Connes que involucra geometría no conmutativa parece ser el que la mayoría de las personas involucradas ven como potencialmente fructífero. El nombre de Christopher Deninger también aparece a veces. El libro de Karl Sabbagh Dr. Los Ceros de Riemann (2002), aunque carecen bastante de explicación de las matemáticas de la HR, contienen una buena visión general del lado humano de la historia, por lo que sería un buen punto de partida para responder a esta pregunta.
• ¿Cuál se considera el enfoque más probable para tener éxito en la prueba de la RH?

  A finales de la década de 1990, parecía que el trabajo de Alain Connes en geometría no conmutativa era el camino a seguir, con algunos artículos prometedores publicados. Pero esa investigación parece haber llegado a un punto muerto en la última década más o menos.

  ¡Depende a quién le preguntes! Cualquier matemático que piense que está en camino a una prueba consideraría que su enfoque es el más probable de tener éxito. Y luego está la posibilidad de que uno o más matemáticos de peso pesado estén trabajando en el problema en secreto (como hizo Andrew Wiles con el último Teorema de Fermat) utilizando un enfoque que ninguno de nosotros conoce, a punto de completar una prueba. Se cree que Paul Cohen (1934-2007) y Atle Selberg (1917-2007) estaban trabajando «secretamente» en la Hipótesis de Riemann hasta su muerte.Roger Heath-Brown, teórico de números de la Universidad de Oxford, ha dicho que «ya no solo participan teóricos analíticos de números, sino que todos los matemáticos conocen el problema, y muchos se dan cuenta de que pueden tener ideas útiles que ofrecer. Por lo que puedo ver, una solución es tan probable que venga de un probabilista, geómetra o físico matemático, como de un teórico de números.»

• ¿Alguien cree que es falso?

  En 1962, el consumado teórico de números de Cambridge John Littlewood (mejor conocido por sus colaboraciones con G. H. Hardy) publicó una breve pieza en la que afirmó sin rodeos que creía que era falsa, que no hay evidencia en absoluto y ninguna razón imaginable por la que debería ser verdad. Se podría argumentar que esto era solo amargura derivada de su incapacidad para probarlo por sí mismo (su supervisor de doctorado le había planteado el problema con bastante crueldad en un momento en que no era tan conocido). En 2008, Aleksandar Ivić publicó algunas razones por las que era escéptico sobre la verdad de la RH.

• Podría su verdad o falsedad llegar a ser indecidible?

  No podemos descartar esto. El matemático y científico informático Gregory Chaitin ha publicado algunas ideas sobre cómo los Teoremas de Incompletitud de Gödel (sobre la existencia de proposición indecidible dentro de sistemas axiomáticos) podrían ser relevantes para la RH y cómo podría ser indecidible (ver aquí).

• ¿hay libros sobre el RH para el laico? ¿Alguien ha escrito una «Hipótesis de Riemann para Tontos» o «Hipótesis de Riemann simplificada»?

  Hay varios. En 2003, debido al estallido de interés generado por la oferta de premios de $1,000,000 del CMI, se publicaron tres libros de matemáticas populares en el RH. La obsesión principal de John Derbyshire es la más detallada matemáticamente,pero sería difícil de seguir sin matemáticas de nivel de grado. Los ceros del Dr. Riemann de Karl Sabbagh fueron ligeros en las matemáticas, pero proporcionan un retrato detallado de muchos de los matemáticos involucrados, centrándose en el «ángulo humano». La música de los Primos de Marcus du Sautoy estaba en algún lugar entre estos dos, cubriendo los ángulos matemático y cultural. Las reseñas comparativas de estos libros se pueden encontrar aquí, aquí y aquí. Unos años más tarde, apareció la hipótesis de Dan Rockmore de Acechar a Riemann, que es bastante técnica en algunos lugares, pero muy legible en otros.

  
  
  

  Después de haber estado curando este sitio web durante algunos años, quise crear un libro que realmente comunicara las matemáticas de la Hipótesis de Riemann (en lugar de simplemente dar al lector una idea de lo que está involucrado) y que mis amigos no matemáticos pudieran leer. Esto me llevó a trabajar con un ilustrador para desarrollar un nuevo enfoque, principalmente visual, a algunos conceptos matemáticos inaccesibles, y la idea original del libro finalmente dio lugar a una trilogía de libros. La trilogía de los Secretos de la Creación explora primero la distribución de los números primos, lo que lleva a un relato detallado de la función zeta y la hipótesis de Riemann en el Volumen 2. El volumen final considera la conexión con la física cuántica y sus implicaciones filosóficas.

• creo que tengo una prueba de la RH! ¿Qué hago ahora?Mantén la calma. Es muy probable que se equivoque. Después de todo, este problema ha existido durante más de 150 años y muchas de las mejores mentes matemáticas del planeta han estado lidiando con él durante la mayor parte de ese tiempo. Debido a mi presencia en la web, me envían pruebas propuestas de aficionados de vez en cuando, y las publico aquí. Una preocupación recurrente que expresan sus autores es que alguien les robe la idea antes de que obtengan el premio de 1 1 millón. Eso no debería ser una preocupación. Cree un sitio web simple y publique su trabajo allí, eso es evidencia suficiente de la autoría original. Envíame un enlace y lo publicaré en mi página de pruebas de HR propuestas. Puedes usar la sci.grupo de noticias de matemáticas o la lista de correo electrónico de Prime Pages para llamar la atención sobre su trabajo.

  Desafortunadamente, la mayoría de los matemáticos simplemente no tienen tiempo para leer las pruebas propuestas de la HR cuando están casi 100% seguros de que el autor está de alguna manera equivocado. Como alguien dijo una vez, » ¡Es más fácil probar la Hipótesis de Riemann que conseguir que alguien lea tu prueba!»Su mejor esperanza es que un postgraduado interesado o matemático con algo de tiempo libre escanee su trabajo, no encuentre ningún problema con él y lo reenvíe a alguien más alto en la escalera del prestigio matemático.

  Para obtener más información sobre cómo difundir su trabajo y cualquier preocupación que pueda tener sobre el robo, lea esto.

• He oído algo sobre una conexión con la física cuántica – ¿de qué se trata?

  Para entender esto se requiere una familiaridad con la física cuántica, la teoría del caos y la función zeta de Riemann, así que lo mejor que puedo hacer aquí es dar un esquema muy incompleto. Parte del trabajo de Riemann sobre la distribución de números primos mostró que la «función de conteo de números primos» se puede entender en términos de un conjunto de objetos matemáticos en forma de onda. Al igual que con las ondas en la física, estas tienen longitudes de onda y frecuencias. Hay un número infinito de ellos y sus frecuencias conforman colectivamente lo que se llama un «espectro». A principios de la década de 1980, el físico Michael Berry notó que este espectro se corresponde notablemente con el espectro asociado con un tipo de sistema oscilante físico. La verdad o falsedad de la Hipótesis de Riemann puede entonces vincularse a las propiedades físicas del sistema en cuestión. Esto abre la posibilidad de que el descubrimiento de (la posible existencia de) un determinado sistema físico pueda conducir a una prueba de la HR.

  Aunque es muy común encontrar estructuras matemáticas reflejadas en la realidad física (esta es la base de la física moderna), esta es una inversión muy extraña de esa situación, donde una estructura física se refleja en la realidad matemática. Una clase muy específica de osciladores «cuánticos caológicos» parece ser la base de la distribución de números primos (y por lo tanto el sistema de contar números). Nadie sabe lo que esto significa, ¡y es lo más extraño que conozco en mi experiencia de la realidad! Todo esto se explica pacientemente (sin ningún requisito previo de matemáticas o física) en el volumen final de la trilogía Mis Secretos de la Creación.

• ¿No hay conexión con la criptografía? ¿Comprometería una prueba la seguridad de las comunicaciones por Internet y las transacciones financieras?

  El algoritmo RSA, comúnmente utilizado en criptografía, implica el uso de grandes números primos y explota el hecho de que determinar los factores primos de un gran número compuesto es mucho más laborioso que multiplicar los factores juntos en primer lugar. He explicado con un poco más de detalle aquí.

  Una prueba de la hipótesis de Riemann no comprometería, en sí misma, el algoritmo RSA (u otros basados en la teoría de números). Sin embargo, la «nueva(s) gran (s) idea (es)» que todo el mundo espera que se necesite para una prueba de la HR podría conducir a avances en la factorización eficiente de enteros, y eso sería un problema para la criptografía. Estas cuestiones se exploran con cierto detalle aquí, aquí y aquí.

• ¿Cuáles son la Hipótesis de Riemann Extendida, RH Generalizada, Gran RH?

  Estas son también conjeturas matemáticas no probadas y son «generalizaciones» de la hipótesis de Riemann. Es decir, el RH en su forma familiar puede entenderse como un caso especial de cada uno de ellos. Si se demostrara que alguno de ellos era cierto, el RH seguiría automáticamente.

  Recuerde que la hipótesis de Riemann, como se formula normalmente, se refiere a los ceros de la función zeta de Riemann. Resulta que hay muchos tipos de funciones zeta en matemáticas, siendo la de Riemann una particularmente significativa. Entre el panteón de funciones zeta en constante expansión encontramos «Funciones zeta de Dedekind de campos numéricos algebraicos». El sistema familiar de números racionales (que consiste en todas las relaciones de enteros – positivo, negativo y cero) es una instancia de un campo de números algebraicos, y la función zeta de Dedekind para los racionales resulta ser la misma que la función zeta de Riemann. La Hipótesis Extendida de Riemann establece que todos los ceros (no triviales) de todas las funciones zeta de Dedekind se encuentran en la «línea crítica», así que claramente si eso es cierto, entonces todos los ceros de Riemann se encuentran en la línea crítica y el RH debe ser verdadero.

  La Hipótesis generalizada de Riemann se refiere a todas las funciones L de Dirichlet, de las cuales la función zeta de Riemann es un solo ejemplo, requiriendo de manera similar que sus ceros se encuentren en la línea crítica. La Hipótesis de Grand Riemann generaliza no solo la HR familiar, sino también la HR Generalizada, ya que se refiere a todas las funciones L automórficas, que incluyen todas las funciones L de Dirichlet.

Citas de hipótesis de Riemann

» Hilbert incluyó el problema de probar la hipótesis de Riemann en su lista de los problemas sin resolver más importantes que enfrentaron las matemáticas en 1900, y el intento de resolver este problema ha ocupado los mejores esfuerzos de muchos de los mejores matemáticos del siglo XX. Ahora es, sin duda, el problema más celebrado en matemáticas y sigue atrayendo la atención de los mejores matemáticos, no solo porque ha quedado sin resolver durante tanto tiempo, sino también porque parece tentadoramente vulnerable y porque su solución probablemente sacaría a la luz nuevas técnicas de gran importancia.»

H. M. Edwards, de la Función Zeta de Riemann (1974), p. 6

«En este momento, cuando abordamos problemas sin conocer la verdad de la hipótesis de Theriemann, es como si tuviéramos un destornillador. Pero cuando lo tengamos, será más como una excavadora.»

P. Sarnak, de «Prime Time» de E. Klarreich (New Scientist, 11/11/2000)

«Las consecuencias son fantásticas: la distribución de primos, estos objetos elementales de aritmética. Y tener herramientas para estudiar la distribución de estos objetos.»

H. Iwaniec, citado en los ceros del Dr. Riemann de K. Sabbagh (Atlantic, 2002), p. 30

«Si no es cierto, entonces el mundo es un lugar muy diferente. Toda la estructura de números enteros y números primos sería muy diferente a lo que podríamos imaginar. En cierto modo, sería más interesante si fuera falso, pero sería un desastre porque hemos construido tanto asumiendo su verdad.»

P. Sarnak, citado en los ceros del Dr. Riemann de K. Sabbagh (Atlantic, 2002), p. 30

«Si hay muchos ceros fuera de la línea, y puede que haya, el panorama completo es simplemente horrible, horrible, muy feo. Es una especie de navaja de Occam, o tienes un comportamiento absolutamente hermoso de números primos, se comportan como quieres que se comporten, o es realmente malo.»

S. Gonek, citado en Dr. Riemann’s Zeros (Atlantic, 2002), p.112

«La hipótesis de Riemann es la conexión más básica entre la suma y la multiplicación que existe, así que pienso en ella en los términos más simples como algo realmente básico que no entendemos sobre el vínculo entre la suma y la multiplicación.»

B. Conrey, citado en los Ceros del Dr. Riemann (Atlantic, 2002), p. 160

» es probablemente el problema más básico en matemáticas, en el sentido de que es el entrelazamiento de la suma y la multiplicación. Es un gran agujero en nuestro entendimiento…»

A. Connes, citado en Dr. Riemann’s Zeros (Atlantic, 2002), p.208

Recursos de la Hipótesis de Riemann

Wikipedia: Hipótesis de Riemann

WolframMathwold: notas sobre la Hipótesis de Riemann

Introducción básica de C. Caldwell a la Hipótesis de Riemann

Examen de Dan Bump de los problemas que rodean la Hipótesis de Riemann

K. Spiliopoulos, Introducción a la Hipótesis de Riemann

La excelente Hipótesis de Riemann en pocas palabras», incluyendo el applet de trazado de aZ(t)

J. Brian Conrey,» The Riemann Hypothesis», Notices of the AMS (marzo de 2003) – una introducción completa a la RH

J. Notas introductorias de Perry sobre la Hipótesis de Riemann

P. Borwein, S. Choi, B. Rooney y A. Weirathmueller, The Riemann Hypothesis:For the afficionado and virtuoso alike (eBook, 2006)

Enlaces de hipótesis de Riemann de J. Mathews

Notas de WWN sobre la Hipótesis de Riemann (parte de un trabajo en progreso)

Z. Rudnick, «Number theoretic antecedentes» (actas de una escuela de verano en Bolonia, agosto de 2001)
Esto cubre toda la teoría de números necesaria para una comprensión básica de la Hipótesis de Riemann, que se cubre en su sección final.

Documento original de ocho páginas de Riemann
PDF, traducción al inglés otros formatos

» Riemann escribió solo un artículo sobre la teoría de los números, publicado en 1859. Este artículo redefine radicalmente el paisaje del tema.El enfoque específico de la distribución de números primos que desarrolló, simple y revolucionario, consiste en apelar a la teoría de funciones holomórficas de Cauchy, que en ese momento era un descubrimiento relativamente reciente.»
G. Tenenbaum and M. Mendès France, de Los Números Primos y su Distribución (AMS, 2000)

«La hipótesis de Riemann y sus generalizaciones», parte de un trabajo en curso, ver también las subsecciones:

• Hipótesis de Riemann generalizada
• Hipótesis de Riemann extendida
• Hipótesis de Gran Riemann

J. Báez, Los Hallazgos de esta Semana en la semana 217 de Física Matemática incluyen una discusión muy útil de la Hipótesis de Riemann, la Hipótesis de Riemann Extendida, la Hipótesis de Riemann Grand, las Conjeturas de Weil, el Programa Langlands, las ecuaciones funcionales de las funciones zeta y L, la modularidad de las funciones theta, etc.

El Instituto de Matemáticas de Arcilla ofrece 1 1,000,000 para una prueba de la Hipótesis de Riemann

una descripción matemática extremadamente completa de la Hipótesis de Riemann (con antecedentes históricos, etc.) proporcionado por Enrico Bombieri para los fines de este concurso

grabación en vídeo de una conferencia introductoria de J. Vaaler sobre la RH (una de las «Conferencias del Milenio» de la Fundación Clay)

K. Sabbagh, Los Ceros del Dr. Riemann: La búsqueda de la Solución de $1 Millón para el Mayor Problema de Matemáticas (Atlantic Books, 2002)

Dos libros más de naturaleza similar seguidos en 2003:

J. Derbyshire, PrimeObsession: Bernhard Riemann y el Mayor Problema sin resolver en Matemáticas, (JHP, 2003)

Marcus du Sautoy, La Música de los Primos: Searching To Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)

Aquí está la revisión comparativa de K. Leutwyler de los tres libros de Scientific American.

Aquí hay otro, de D. Lim, de The Village Voice.

…y otro de J.C. Alexander

algunas pruebas y refutaciones propuestas de la RiemannHypothesis (¡algunas más serias que otras!)

algunas reformulaciones de la Hipótesis de Riemann

El breve argumento de J. E. Littlewood sobre por qué cree que la Hipótesis de Riemann es falsa.

El teórico de conjuntos y filósofo matemático Gregory Chaitin discute la posibilidad de que el RH pueda ser indecidible, es decir, no puede haber pruebas.

una posición popular sobre la hipótesis de Riemann que apareció en New Scientist(11/11/00)

«La marca de Zeta»: el ensayo introductorio de Ivars Peterson sobre la RH y la función zeta de Riemann

«El retorno de Zeta»: artículo secuela de Ivars Peterson sobre los vínculos entre la RH, la teoría de matrices aleatorias y el caos cuántico

K. Sabbagh, «Beautiful Maths», Prospect (enero 2002)

B. Schechter,» 143-year-old problem still has mathematicians guessing»(un artículo bastante bueno del New York Times sobre la conferencia de funciones zeta en el Courant Institute, 07/2002)

ZetaGrid: Verification Of the Riemann Hypothesis (un proyecto coordinado por S. Wedeniwski de IBM Deutschland, completado en 2005)

» Hoy en día, tenemos mejores recursos para verificar o falsificar la hipótesis de Riemann. Primero las computadoras de alta velocidad, luego las redes han aumentado la capacidad de cálculos. Ahora queremos que Togo vaya un paso más allá agrupando los recursos en una red de distribución.Por lo tanto, invito a todas las personas interesadas a participar en el cálculo de los ceros de la función zeta de Riemann para un nuevo registro.»

S. Wedeniwski,» Computationsconected with the verification of the Riemann Hypothesis «(descripción útil con historia y referencias)

A. R. Booker,» Turing and the Riemann Hypothesis», Notices of the AMS 53 (2006) 1208-1211

J. Sondow, » ¿Andre Weil predijo que la hipótesis de Riemann se resolvería por la teoría de números primos en lugar de por el análisis?»(Hilo de discusión MathOverflow)

CriticalStrip Explorer v0.67, un maravilloso applet producido por Raymond Manzonpara este sitio, explore el comportamiento de la función zeta de Riemann en y alrededor de la franja crítica de una manera altamente visual e interactiva. ¡Las imágenes son asombrosas!

El enfoque sugerido por Freeman Dyson para probar la Hipótesis de Riemann utilizando cuasi-cristales (de su conferencia AMS de 2009)

D. Schumayer y D. A. W. Hutchinson, «Physics of the Riemann hypothesis», Rev.Mod. Phys. 83 (2011) 307-330

«Los físicos se familiarizan con funciones especiales al principio de sus estudios. Consideremos nuestro modelo perenne, el oscilador armónico, para el que necesitamos funciones Hermitas, o las funciones Laguerre en mecánica cuántica. Aquí elegimos una función teórica de números en particular, la función zeta de Riemann y examinamos su influencia en el ámbito de la física y también cómo la física puede ser sugestiva para la resolución de una de las conjeturas no confirmadas más famosas de las matemáticas, la Hipótesis de Riemann. ¿La física tiene una clave esencial para la solución de este problema de más de cien años? En este trabajo examinamos numerosos modelos de diferentes ramas de la física, desde la mecánica clásica hasta la física estadística, donde esta función desempeña un papel integral. También vemos cómo esta función está relacionada con el caos cuántico y cómo su estructura de polos codifica cuando las partículas pueden sufrir condensación de Bose-Einstein a baja temperatura. A lo largo de estos exámenes destacamos cómo la física tal vez pueda arrojar luz sobre la hipótesis de Riemann. Naturalmente, nuestro objetivo no podría ser ser exhaustivo, sino que nos centramos en los modelos principales y buscamos dar un punto de partida informado para el Lector interesado.»

H. Montgomery, A. Nikeghbali and M. T. Rassias, eds., Explorando la Función Zeta de Riemann (Springer 2017)

W. Dittrich, Reevaluando el artículo de Riemann sobre el número de números primos menores que una magnitud dada (Springer, 2018)

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