Die Riemann-Hypothese

Die Riemann-Hypothese: FAQ und Ressourcen

Häufig gestellte Fragen zur Riemann-Hypothese:

• Was ist die Riemann-Hypothese?
• Wer war Riemann?
• Wie ist es mit Primzahlen verbunden?
• Auf welche anderen Bereiche der Mathematik bezieht es sich?
• Was ist das mit einem Preisgeld von $1.000.000?
• Warum ist es wichtig?
• Gibt es irgendwelche vorgeschlagenen Beweise?
• Wer gilt als im Rennen, um die Wahrheit zu beweisen?
• Was wird als der wahrscheinlichste Ansatz angesehen, um die RH zu beweisen?
• Glaubt irgendjemand, dass es falsch ist?
• Könnte sich seine Wahrheit oder Falschheit als unentscheidbar herausstellen?
• Gibt es Bücher über die RH für den Laien? Hat jemand eine „Riemann-Hypothese für Dummies“ oder „Riemann-Hypothese vereinfacht“ geschrieben?
• Ich glaube, ich habe einen Beweis für die RH! Was mache ich jetzt?
• Ich habe etwas über einen Zusammenhang mit der Quantenphysik gehört – worum geht es?
• Gibt es keinen Zusammenhang mit Kryptographie? Würde ein Beweis die Sicherheit der Internetkommunikation und der Finanztransaktionen gefährden?
• Was sind die Erweiterte Riemann-Hypothese, Generalisierte RH, Grand RH?

Zitate zur Riemann-Hypothese

weitere RH-Ressourcen

FAQ zur Riemann-Hypothese

• Was ist die Riemann-Hypothese?Die Riemann-Hypothese ist eine mathematische Vermutung, die erstmals 1859 vorgeschlagen und bis 2015 noch nicht bewiesen wurde. Es ist wohl das berühmteste aller ungelösten mathematischen Probleme, manchmal auch als „der Heilige Gral der Mathematik“ bezeichnet. Obwohl es mit vielen Bereichen der Mathematik verwandt ist, wird es normalerweise als die Verteilung von Primzahlen betrachtet.
• Wer war Riemann?Bernhard Riemann (vollständiger Name Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866) war ein schüchterner, bescheidener deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zu verschiedenen Bereichen der Mathematik einschließlich Analysis und Differentialgeometrie leistete. Er schrieb nur ein Papier über Zahlentheorie, aber es war dies, die die Aussage seiner Hypothese enthalten, und so ist es leicht eine der wichtigsten Zahlentheorie Papiere jemals veröffentlicht. Darüber hinaus ebneten seine Arbeiten zur Differentialgeometrie den Weg für die mathematischen Grundlagen von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.
• Wie ist es mit Primzahlen verbunden?Um diese Frage wirklich zu beantworten, wäre ziemlich viel höhere Mathematik erforderlich, daher kann ich hier nur eine Skizze bereitstellen, aber weitere Ressourcen, die Ihnen helfen, diese Angelegenheit zu untersuchen, finden Sie unten.

  Die Primzahlen erscheinen in der gesamten Folge der Zählzahlen, zeigen jedoch kein offensichtliches Muster an. Sie zeigen jedoch eine Tendenz zur Ausdünnung, und die „durchschnittliche Rate“, mit der sie ausdünnen, wird durch den Primzahlensatz beschrieben. Das wurde erstmals Ende der 1700er Jahre vorgeschlagen, aber für weitere hundert Jahre nicht bewiesen. Um die PNT zu beweisen, mussten Mathematiker ein mathematisches Objekt untersuchen, das als Riemann-Zeta-Funktion bekannt ist. Die Zeta-Funktion wurde in Riemanns Papier von 1859 eingeführt und zeigte (in gewissem Sinne) die Schwankungen der Primzahlen um ihr „durchschnittliches“ Verhalten. Die Zeta-Funktion arbeitet auf einer zweidimensionalen „Zahlenebene“, die als komplexe Ebene bezeichnet wird, und damit verbunden ist eine unendliche Menge von Punkten, die als „nichttriviale Nullen“ bekannt sind (allgemein bekannt als „Zeta-Nullen“ oder „Riemann-Nullen“). Die Positionen dieser Nullen auf der komplexen Ebene können mit einer unendlichen Menge wellenartiger Entitäten in Beziehung gesetzt werden, die gemeinsam die Fluktuation der Primzahlen steuern. Alle Nullen, die Riemann berechnen konnte, lagen auf einer vertikalen Linie, und er stellte die Hypothese auf, dass alle (nicht trivialen) Nullen der Zeta-Funktion auf dieser „kritischen Linie“ liegen. Das ist die Riemann-Hypothese. Aus seinen Schriften geht hervor, dass er nicht wusste, wie wichtig diese zufällige Behauptung werden würde – er erklärte einfach, dass er glaubte, dass es wahr sei, aber dass es für seine Untersuchungen nicht direkt relevant sei, und fuhr fort.

  Riemann konnte bestimmte Dinge über die Zeta-Nullen beweisen, darunter, dass sie alle in einem vertikalen Streifen von einer Einheit Breite (dem „kritischen Streifen“) liegen müssen, zentriert auf der oben erwähnten „kritischen Linie“. In den 1800er Jahren wurde gezeigt, dass der Primzahlsatz wahr wäre, wenn die Zeta-Nullen alle richtig innerhalb des kritischen Streifens liegen könnten, dh nicht an seinen Rändern. 1896 bewiesen die Mathematiker Hadamard und de la Vallée Poussin dies fast gleichzeitig und bewiesen damit die PNT.Eine weitere Verengung des Streifens, in dem bekanntermaßen alle Zeta-Nullen liegen, würde zu genaueren Informationen über die Verteilung von Primzahlen führen. Die ultimative Errungenschaft wäre, diesen Streifen auf seine zentrale Linie (die „kritische Linie“) zu reduzieren, so schmal wie möglich. Wenn dies möglich ist, ist die RH bewiesen, und wir würden wissen, dass die Primzahlen so „gut benommen“ wie möglich sind. Wenn die RH falsch ist, wird es Zeta-Nullen geben, die nicht auf der kritischen Linie liegen, und die damit verbundenen wellenartigen Entitäten würden zu großen Schwankungen in der Verteilung der Primzahlen führen, wodurch ein gewisses „Gleichgewicht“ innerhalb des Zahlensystems gestört wird, das die mathematische Gemeinschaft fast allgemein hofft und glaubt, dass es in Kraft ist.

  
• Auf welche anderen Bereiche der Mathematik bezieht es sich?Fast jeder Bereich der Mathematik kann irgendwie mit der Riemannschen Hypothese in Verbindung gebracht werden. Dies ist nicht so überraschend, wenn man bedenkt, welche grundlegende Rolle die Primzahlen im Zahlensystem spielen, das der gesamten Mathematik zugrunde liegt. Die RH wurde „umformuliert“ als (d. H. mathematisch äquivalent zu mathematischen Vermutungen in einer erstaunlichen Vielfalt von Bereichen). Ich habe einige dieser Neuformulierungen hier gesammelt.
• Was ist das mit einem $1.000.000 Preis?Das gemeinnützige Clay Mathematics Institute wurde 1998 gegründet und kündigte im Jahr 2000 seine sieben „Millenium Prize Problems“ an, für die jeweils ein Millionenpreis vergeben wurde. Natürlich war die Riemann-Hypothese eines dieser Probleme. Dies führte zu einem enormen Anstieg des öffentlichen Interesses an dem Problem, aber da sein Beweis bereits der ultimative Preis für Mathematiker war, Es war unwahrscheinlich, dass die Millionen Dollar für sie einen großen Unterschied machten. Unnötig zu erwähnen, dass der Preis immer noch nicht beansprucht wird.
• Warum ist es wichtig?

  Ist es das? Warum ist irgendetwas wichtig? Das Leben der meisten Menschen wäre völlig unbeeinflusst von den Beweisen (oder Widerlegungen). Innerhalb der Mathematik ist es jedoch enorm wichtig. Aufgrund der grundlegenden Rolle, die die Primzahlen im Zahlensystem spielen, kann die RH auf viele verschiedene Bereiche der Mathematik bezogen werden. Es gibt Hunderte von Theoremen, deren Aussagen mit der Annahme beginnen, dass die RH wahr ist. Folglich, wenn die Theorie widerlegt wird, werden alle diese Theoreme zusammenbrechen, und wenn es bewiesen ist, werden sie bestehen bleiben. Falsch zu sein, wäre eine Katastrophe für die Mathematik, wie wir sie derzeit verstehen.Die Tatsache, dass über 150 Jahre engagierter Bemühungen keinen Beweis erbracht haben, bedeutet auch, dass Mathematiker über Dinge wie „ein klaffendes Loch in unserem Verständnis“ oder eine große Kluft zwischen dem, wo wir jetzt sind, sprechen mathematisch, und wo wir sein müssen, um die Wahrheit zu beweisen. Dies deutet darauf hin, dass, um die Hypothese zu beweisen, einige wichtige neue Ideen benötigt werden, Ideen, die unser Verständnis des Zahlensystems grundlegend verändern könnten. Das Streben nach einem Beweis der Wahrheit ist in diesem Sinne wichtig.Es sollte hinzugefügt werden, dass es die verschiedenen „Verallgemeinerungen“ (siehe unten) des RH sind, deren Beweis oder Widerlegung einen wirklich großen Einfluss auf die Mathematik haben würde.

  Die Bedeutung der Riemannschen Hypothese für die Mathematik zu erklären, ist fast so schwierig wie zu erklären, was es ist, also sollten Sie sich die Versuche verschiedener anderer Leute hier, hier, hier und hier ansehen.

• Gibt es irgendwelche vorgeschlagenen Beweise?

  Ja, es gibt einige. Einige sind eindeutig ernster zu nehmen als andere. Der Mathematiker Louis de Branges, der 1985 ein wichtiges Ergebnis namens Bieberbach-Vermutung bewiesen hat, hat mehrere vorgeschlagene Beweise vorgelegt, zuletzt Ende 2014. Er ist der bekannteste aller „Beweis“ -Autoren, von denen einige professionelle Mathematiker sind, die meisten Amateure.

  Ich archiviere hier seit einigen Jahren alle vorgeschlagenen Beweise und Widerlegungen, einschließlich Fehlalarme, Aprilscherzbeweise, Comedy-Beweise und mindestens ein „theologisches“ Argument für die RH!

• Wer gilt als im Rennen, um die RH zu beweisen?

  Es kommt darauf an, wen du fragst. Louis de Branges ist ein ernsthafter Mathematiker mit einer beeindruckenden Erfolgsbilanz, aber seine besondere Herangehensweise an die MATHEMATIK scheint nicht viele Anhänger in der mathematischen Gemeinschaft gewonnen zu haben. Alain Connes ‚Ansatz mit nichtkommutativer Geometrie scheint der zu sein, den die meisten Beteiligten als potenziell fruchtbar ansehen. Christopher Deningers Name kommt auch manchmal vor. Karl Sabbaghs Buch Dr. Riemanns Zeros (2002), während es eher an der Erklärung der Mathematik der RH fehlt, enthält einen guten Überblick über die menschliche Seite der Geschichte, so dass dies ein guter Ausgangspunkt für die Beantwortung dieser Frage wäre.

• Was gilt als der wahrscheinlichste Ansatz, um die RH zu beweisen?In den späten 1990er Jahren schien es wie Alain Connes‘ Arbeit in der nichtkommutativen Geometrie war der Weg nach vorne, mit einigen vielversprechenden Papieren veröffentlicht. Aber diese Forschung scheint in den letzten zehn Jahren in eine Sackgasse geraten zu sein.

  Es kommt darauf an, wen du fragst! Jeder Mathematiker, der glaubt, auf dem Weg zu einem Beweis zu sein, würde seinen Ansatz für den wahrscheinlichsten Erfolg halten. Und dann gibt es die Möglichkeit, dass ein oder mehrere schwergewichtige Mathematiker heimlich an dem Problem arbeiten (wie Andrew Wiles es mit Fermats letztem Satz getan hat), indem sie einen Ansatz verwenden, von dem keiner von uns weiß, kurz davor, einen Beweis zu erbringen. Es wird angenommen, dass Paul Cohen (1934-2007) und Atle Selberg (1917-2007) beide bis zu ihrem Tod „heimlich“ an der Riemann-Hypothese arbeiteten.Roger Heath-Brown, Zahlentheoretiker an der Oxford University, sagte: „Nicht mehr nur analytische Zahlentheoretiker sind beteiligt, sondern alle Mathematiker wissen um das Problem, und viele erkennen, dass sie nützliche Erkenntnisse zu bieten haben. Soweit ich sehen kann, kommt eine Lösung genauso wahrscheinlich von einem Probabilisten, Geometer oder mathematischen Physiker wie von einem Zahlentheoretiker.“

• Glaubt jemand, dass es falsch ist?Im Jahr 1962 wurde der versierte Cambridge Zahlentheoretiker John Littlewood (am besten bekannt für seine Zusammenarbeit mit G.H. Hardy) veröffentlichte ein kurzes Stück, in dem er unverblümt erklärte, dass er glaubte, dass es falsch sei, dass es überhaupt keine Beweise und keinen vorstellbaren Grund gibt, warum es wahr sein sollte. Man könnte argumentieren, dass dies nur Bitterkeit war, weil er es nicht selbst beweisen konnte (sein Doktorvater hatte ihm das Problem zu einer Zeit, als es nicht so bekannt war, ziemlich grausam gestellt). Im Jahr 2008 Aleksandar Ivić veröffentlichte einige Gründe, warum er der Wahrheit der RH skeptisch gegenüberstand.
• Könnte sich seine Wahrheit oder Falschheit als unentscheidbar herausstellen?

  Das können wir nicht ausschließen. Der Mathematiker und Informatiker Gregory Chaitin hat einige Gedanken darüber veröffentlicht, wie Gödels Unvollständigkeitssätze (bezüglich der Existenz unentscheidbarer Sätze innerhalb axiomatischer Systeme) für die RH relevant sein könnten und wie sie möglicherweise unentscheidbar sein könnten (siehe hier).

• Gibt es Bücher über die RH für den Laien? Hat jemand eine „Riemann-Hypothese für Dummies“ oder „Riemann-Hypothese vereinfacht“ geschrieben?

  Es gibt mehrere. Im Jahr 2003 wurden aufgrund des Interesses, das durch das Preisangebot des CMI in Höhe von 1.000.000 US-Dollar ausgelöst wurde, drei beliebte Mathematikbücher im Internet veröffentlicht. John Derbyshire Prime Obsession ist die mathematisch detaillierte, aber wäre schwer zu folgen, ohne Grad-Level-Mathematik. Karl Sabbagh’s Dr. Riemann’s Zeros war Licht auf die Mathematik, sondern bietet ein detailliertes Porträt von vielen der Mathematiker beteiligt, mit Schwerpunkt auf den „menschlichen Winkel“. Marcus du Sautoys Die Musik der Primzahlen lag irgendwo zwischen diesen beiden und deckte sowohl den mathematischen als auch den kulturellen Blickwinkel ab. Vergleichende Rezensionen dieser Bücher finden Sie hier, hier und hier. Einige Jahre später erschien Dan Rockmores Stalking the Riemann Hypothesis, das an einigen Stellen recht technisch, an anderen jedoch sehr lesbar ist.

  
  
  Nachdem ich diese Website seit einigen Jahren kuratiert habe, wollte ich ein Buch erstellen, das die Mathematik der Riemann-Hypothese wirklich vermittelt (anstatt dem Leser nur ein Gefühl dafür zu geben, worum es geht) und das meine nicht-mathematischen Freunde lesen können. Dies führte dazu, dass ich mit einem Illustrator zusammenarbeitete, um einen neuen, hauptsächlich visuellen Ansatz für einige ansonsten unzugängliche mathematische Konzepte zu entwickeln, und die ursprüngliche Buchidee führte schließlich zu einer Trilogie von Büchern. Die Secrets of Creation-Trilogie untersucht zunächst die Verteilung von Primzahlen, was zu einer detaillierten Darstellung von Riemanns Zeta-Funktion und Hypothese in Band 2 führt. Der letzte Band befasst sich mit der Verbindung zur Quantenphysik und ihren philosophischen Implikationen.
• Ich glaube, ich habe einen Beweis für die RH! Was mache ich jetzt?

  Bleiben Sie ruhig. Es besteht eine sehr gute Chance, dass Sie sich irren. Immerhin gibt es dieses Problem seit über 150 Jahren und viele der besten mathematischen Köpfe der Welt haben sich die meiste Zeit damit auseinandergesetzt. Aufgrund meiner Webpräsenz bekomme ich von Zeit zu Zeit Probevorschläge von Amateuren zugeschickt und poste sie hier. Eine wiederkehrende Sorge, die ihre Autoren zum Ausdruck bringen, ist, dass ihnen jemand die Idee stiehlt, bevor sie den 1-Millionen-Dollar-Preis erhalten. Das sollte kein Problem sein. Erstellen Sie eine einfache Website und veröffentlichen Sie Ihre Arbeit dort – das ist ein ausreichender Beweis für die ursprüngliche Urheberschaft. Senden Sie mir einen Link und ich werde es auf meiner Seite der vorgeschlagenen RH Beweise veröffentlichen. Sie können den sci verwenden.verwenden Sie die Newsgroup oder die Prime Pages-E-Mail-Liste, um auf Ihre Arbeit aufmerksam zu machen.

  Leider haben die meisten Mathematiker einfach keine Zeit, die vorgeschlagenen Beweise der RH zu lesen, wenn sie fast 100% sicher sind, dass der Autor sich irrt. Wie jemand einmal sagte: „Es ist einfacher, die Riemann-Hypothese zu beweisen, als jemanden dazu zu bringen, Ihren Beweis zu lesen!“ Ihre beste Hoffnung ist, dass ein interessierter Postgraduierter oder Mathematiker mit etwas Freizeit Ihre Arbeit durchsucht, keine Probleme damit findet und sie an jemanden weiterleitet, der höher auf der Leiter des mathematischen Prestiges steht.

  Um mehr darüber zu erfahren, wie Sie Ihre Arbeit veröffentlichen können und welche Bedenken Sie haben, dass sie gestohlen wird, lesen Sie dies.

• Ich habe etwas über einen Zusammenhang mit der Quantenphysik gehört – worum geht es?Um dies zu verstehen, ist eine Vertrautheit mit der Quantenphysik, der Chaostheorie und der Riemann-Zeta-Funktion erforderlich. Ein Teil von Riemanns Arbeiten zur Verteilung von Primzahlen zeigte, dass die „Primzahlzählfunktion“ als eine Menge wellenartiger mathematischer Objekte verstanden werden kann. Wie bei Wellen in der Physik haben diese Wellenlängen und Frequenzen. Es gibt unendlich viele von ihnen und ihre Frequenzen bilden zusammen ein sogenanntes „Spektrum“. In den frühen 1980er Jahren bemerkte der Physiker Michael Berry, dass dieses Spektrum bemerkenswert genau dem Spektrum entspricht, das mit einer Art physikalischem Schwingungssystem verbunden ist. Die Wahrheit oder Unwahrheit der Riemannschen Hypothese kann dann mit physikalischen Eigenschaften des betreffenden Systems verknüpft werden. Dies eröffnet die Möglichkeit, dass die Entdeckung (der möglichen Existenz) eines bestimmten physikalischen Systems zu einem Beweis des RH führen könnte.Obwohl es sehr üblich ist, mathematische Strukturen zu finden, die sich in der physikalischen Realität widerspiegeln (dies ist die Grundlage der modernen Physik), ist dies eine sehr seltsame Umkehrung dieser Situation, in der sich eine physikalische Struktur in der mathematischen Realität widerspiegelt. Eine sehr spezifische Klasse von „quantenchaologischen“ Oszillatoren scheint irgendwie der Verteilung von Primzahlen (und damit dem System des Zählens von Zahlen) zugrunde zu liegen. Niemand weiß, was das bedeutet, und es ist das Seltsamste, was mir in meiner Erfahrung der Realität bewusst ist! Dies alles wird geduldig erklärt (ohne Vorkenntnisse in Mathematik oder Physik) im letzten Band meiner Secrets of Creation-Trilogie.
• Gibt es keinen Zusammenhang mit Kryptographie? Würde ein Beweis die Sicherheit der Internetkommunikation und der Finanztransaktionen gefährden?Der in der Kryptographie häufig verwendete RSA-Algorithmus verwendet große Primzahlen und nutzt die Tatsache aus, dass die Bestimmung der Primfaktoren einer großen zusammengesetzten Zahl viel mühsamer ist, als die Faktoren überhaupt miteinander zu multiplizieren. Ich habe hier etwas ausführlicher erklärt.

  Ein Beweis für die Riemann-Hypothese würde an sich den RSA-Algorithmus (oder andere, die auf der Zahlentheorie basieren) nicht beeinträchtigen. Die „großen neuen Ideen“, von denen jeder erwartet, dass sie für einen Beweis des RH benötigt werden, könnten jedoch zu Durchbrüchen bei der effizienten Faktorisierung von ganzen Zahlen führen, und das wäre ein Problem für die Kryptographie. Diese Fragen werden hier, hier und hier ausführlich untersucht.

• Was sind die Erweiterte Riemann-Hypothese, Generalisierte RH, Grand RH?Dies sind ebenfalls unbewiesene mathematische Vermutungen und „Verallgemeinerungen“ der Riemannschen Hypothese. Das heißt, der RH in seiner bekannten Form kann als ein Sonderfall von jedem von diesen verstanden werden. Wenn sich einer von ihnen als wahr erweisen würde, würde die RH automatisch folgen.

  Denken Sie daran, dass die Riemann-Hypothese, wie gewöhnlich formuliert, die Nullen der Riemann-Zeta-Funktion betrifft. Es stellt sich heraus, dass es in der Mathematik viele Arten von Zeta-Funktionen gibt, wobei Riemann nur eine besonders wichtige ist. Unter dem ständig wachsenden Pantheon der Zeta-Funktionen finden wir „Dedekind Zeta-Funktionen von algebraischen Zahlenfeldern“. Das bekannte System rationaler Zahlen (bestehend aus allen Verhältnissen von ganzen Zahlen – positiv, negativ und Null) ist eine Instanz eines algebraischen Zahlenfelds, und die Dedekind-Zeta-Funktion für die Rationalen erweist sich als dieselbe wie die Riemann-Zeta-Funktion. Die erweiterte Riemann-Hypothese besagt, dass alle (nicht-trivialen) Nullen aller Dedekind-Zeta-Funktionen auf der „kritischen Linie“ liegen, also klar, wenn das wahr ist, dann liegen alle Riemann-Nullen auf der kritischen Linie und die RH muss wahr sein.

  Die verallgemeinerte Riemann-Hypothese betrifft alle Dirichlet-L-Funktionen, von denen die Riemann-Zeta-Funktion ein einziges Beispiel ist, wobei ihre Nullen ebenfalls auf der kritischen Linie liegen müssen. Die Grand-Riemann-Hypothese verallgemeinert nicht nur die bekannte RH, sondern auch die verallgemeinerte RH, da sie alle automorphen L-Funktionen betrifft, zu denen auch alle Dirichlet-L-Funktionen gehören.

Zitate der Riemannschen Hypothese

“ Hilbert hat das Problem des Beweises der Riemannschen Hypothese in seine Liste der wichtigsten ungelösten Probleme aufgenommen, mit denen die Mathematik 1900 konfrontiert war, und der Versuch, dieses Problem zu lösen, hat die besten Bemühungen vieler der besten Mathematiker des zwanzigsten Jahrhunderts in Anspruch genommen. Es ist jetzt zweifellos das berühmteste Problem in der Mathematik und es zieht weiterhin die Aufmerksamkeit der besten Mathematiker auf sich, nicht nur, weil es so lange ungelöst geblieben ist, sondern auch, weil es verlockend verletzlich erscheint und weil seine Lösung wahrscheinlich neue Techniken von weitreichender Bedeutung ans Licht bringen würde.“

H.M. Edwards, aus Riemanns Zeta-Funktion (1974), S.6

„Wenn wir jetzt Probleme angehen, ohne die Wahrheit der Riemannschen Hypothese zu kennen, ist es, als hätten wir einen Schraubenzieher. Aber wenn wir es haben, wird es eher wie ein Bulldozer sein.“

P. Sarnak, aus „Prime Time“ von E. Klarreich (New Scientist, 11.11.2000)

„Die Konsequenzen sind fantastisch: die Verteilung der Primzahlen, diese elementaren Objekte der Arithmetik. Und Werkzeuge zu haben, um die Verteilung dieser Objekte zu untersuchen.“

H. Iwaniec, zitiert in K. Sabbaghs Dr.Riemanns Zeros (Atlantic, 2002), S.30

„Wenn nicht wahr, dann ist die Welt ein ganz anderer Ort. Die gesamte Struktur von ganzen Zahlen und Primzahlen würde sich sehr von dem unterscheiden, was wir uns vorstellen können. In gewisser Weise wäre es interessanter, wenn es falsch wäre, aber es wäre eine Katastrophe, weil wir so viel gebaut haben, um seine Wahrheit anzunehmen.“

P. Sarnak, zitiert in K. Sabbaghs Dr.Riemanns Zeros (Atlantic, 2002), S.30

„Wenn es viele Nullen gibt – und es könnte sein –, ist das ganze Bild einfach schrecklich, schrecklich, sehr hässlich. Es ist eine Art Occam’s Razor, Sie haben entweder ein absolut schönes Verhalten von Primzahlen, sie verhalten sich genau so, wie Sie es möchten, oder es ist wirklich schlecht.“

S. Gonek, zitiert in Dr.Riemanns Zeros (Atlantic, 2002), S.112

„Die Riemannsche Hypothese ist die grundlegendste Verbindung zwischen Addition und Multiplikation, die es gibt, also halte ich sie im einfachsten Sinne für etwas wirklich Grundlegendes, das wir über die Verbindung zwischen Addition und Multiplikation nicht verstehen.“

B. Conrey, zitiert in Dr. Riemanns Zeros (Atlantic, 2002), S.160

“ ist wahrscheinlich das grundlegendste Problem in der Mathematik, in dem Sinne, dass es die Verflechtung von Addition und Multiplikation ist. Es ist ein klaffendes Loch in unserem Verständnis…“

A. Connes, zitiert in Dr.Riemanns Zeros (Atlantic, 2002), p.208

Ressourcen zur Riemann–Hypothese

Wikipedia: Riemann-Hypothese

WolframMathwold: Anmerkungen zur Riemann-Hypothese

C. Caldwells grundlegende Einführung in die Riemann-Hypothese

Dan Bump’s Untersuchung von Fragen im Zusammenhang mit der Riemann-Hypothese

K. Spiliopoulos’Einführung in die Riemann-Hypothese

G. Pughs exzellentes „The Riemann-Hypothese auf den Punkt gebracht“, einschließlich aZ(t) Plotten Applet

J. Brian Conrey, „Die Riemann-Hypothese“, Mitteilungen des AMS (März 2003) – eine verynice, umfassende Einführung in die RH

J. Perrys einleitende Anmerkungen zur Riemann-Hypothese

P. Borwein, S. Choi, B. Rooney und A. Weirathmüller, Die Riemann-Hypothese:Für den Afficionado und Virtuosen gleichermaßen (eBook, 2006)

J. Mathews‘ Riemann-Hypothese Links

WWN Notizen zur Riemann-Hypothese (Teil eines Work-in-progress)

Z. Rudnick, „Number theoretic hintergrund“ (proceedings of a summer school in Bologna, August 2001)
Dies deckt die gesamte Zahlentheorie ab, die für ein grundlegendes Verständnis der Riemannschen Hypothese erforderlich ist.

Riemanns ursprüngliches achtseitiges Papier
PDF, englische Übersetzung andere Formate

„Riemann schrieb nur einen Artikel über die Zahlentheorie, der 1859 veröffentlicht wurde. Dieses Papier hat die Landschaft des Themas radikal neu gezeichnet.Der spezifische Ansatz für die Verteilung von Primzahlen, den er entwickelte, sowohl einfach als auch revolutionär, besteht darin, Cauchys Theorie der holomorphen Funktionen anzusprechen, die zu dieser Zeit eine relativ neue Entdeckung war.“
G. Tenenbaum und M. Mendès France, from The Prime Numbers and Their Distribution (AMS, 2000)

„The Riemann Hypothesis and its generalisations“, Teil eines work-in-progress, siehe auch die Unterabschnitte:

• Generalised Riemann Hypothesis
• Extended Riemann Hypothesis
• Grand Riemann Hypothesis

J. Baez, Die Ergebnisse dieser Woche in der Woche 217 der Mathematischen Physik enthalten eine sehr hilfreiche Diskussion der Riemann-Hypothese, der erweiterten Riemann-Hypothese, der Grand-Riemann-Hypothese, der Weil-Vermutungen, des Langlands-Programms, der Funktionsgleichungen von Zeta- und L-Funktionen, der Modularität von Theta-Funktionen usw.

Das Clay Mathematics Institute bietet 1.000.000 US-Dollar für einen Beweis der Riemann-Hypothese

eine äußerst gründliche mathematische Beschreibung der Riemann-Hypothese (mit historischem Hintergrund usw.) zur Verfügung gestellt von Enrico Bombieri für die Zwecke dieses Wettbewerbs

Videoaufnahme eines Einführungsvortrags von J. Vaaler über das RH (eine der „Millenium Lectures“ der Clay Foundation)

K. Sabbagh, Dr. Riemanns Zeros: Die Suche nach der 1-Millionen-Dollar-Lösung für das größte Problem der Mathematik (Atlantic Books, 2002)

2003 folgten zwei weitere Bücher ähnlicher Art:

J. Derbyshire, PrimeObsession: Bernhard Riemann und das größte ungelöste Problem in der Mathematik, (JHP, 2003)

Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen: Searchingto Solve the Greatest Mystery in Mathematics (HaperCollins, 2003)

Hier ist K. Leutwylers vergleichende Rezension aller drei Bücher von Scientific American.

Hier ist ein weiterer, von D. Lim, von The Village Voice.

…und ein anderer von J.C. Alexander

einige vorgeschlagene Beweise und Widerlegungen der Riemannhypothese (einige ernster als andere!)

einige Neuformulierungen der Riemann-Hypothese

J.E. Littlewoods kurzes Argument, warum er die Riemann-Hypothese für falsch hält.Der Mengentheoretiker und mathematische Philosoph Gregory Chaitin diskutiert die Möglichkeit, dass die RH unentscheidbar sein könnte, dh es kann keinen Beweis geben.

eine Popularexposition zur Riemann-Hypothese, die in New Scientist(11/11/00) erschien

„The Mark of Zeta“: Ivars Petersons einführender Aufsatz über RH und Riemannszeta-Funktion

„The Return of Zeta“: Ein Artikel von Ivars Peterson über Verbindungen zwischen RH, Zufallsmatrix-Theorie und Quantenchaos

K. Sabbagh, „Beautiful Maths“, Prospect (Januar 2002)

B. Schechter, „143-year-old problem still has mathematicians guessing“ (a fairly good New York Times article on zeta functions conference at the Courant Institute, 07/2002)

ZetaGrid: Verificationof the Riemann Hypothesis (ein von S. Wedeniwski von IBM Deutschland koordiniertes Projekt, abgeschlossen 2005)

„Heute haben wir bessere Ressourcen, um Riemanns Hypothese zu verifizieren oder zu verfälschen. Zuerst die Hochgeschwindigkeitscomputer, dann dannetzwerke haben die Kapazität von Berechnungen erhöht. Jetzt wollen wir noch einen Schritt weiter gehen, indem wir die Ressourcen zu einem Netz bündeln.Daher lade ich alle Interessierten ein, an derberechnung der Nullen der Riemann-Zeta-Funktion für einen neuen Datensatz.“

S. Wedeniwski, „Computationsconnected with the verification of the Riemann Hypothesis“ (nützliche Übersicht mit Geschichte und Referenzen)

A.R. Booker, „Turing and the Riemann Hypothesis“, Notices of the AMS 53 (2006) 1208-1211

J. Sondow, „Did Andre Weil predict that the Riemann Hypothesis would be settled by prime number theory rather than by analysis?“ (MathOverflow Diskussionsthread)

CriticalStrip Explorer v0.67, a wonderful applet produced by Raymond Manzonifür diese Website – erkunden Sie das Verhalten der Riemann-Zeta-Funktion inund um den kritischen Streifen in einer sehr visuellen, interaktiven Art und Weise. Theresulting Bilder sind ziemlich erstaunlich!

Freeman Dysons vorgeschlagener Ansatz zum Nachweis der Riemann-Hypothese mit Quasikristallen (aus seiner AMS-Vorlesung 2009)

D. Schumayer und D.A.W. Hutchinson, „Physics of the Riemann hypothesis“, Rev. Mod. Phys. 83 (2011) 307-330

„Physiker lernen schon früh im Studium spezielle Funktionen kennen. Betrachten Sie unser mehrjähriges Modell, den harmonischen Oszillator, für den wir Hermitenfunktionen benötigen, oder die Laguerre-Funktionen in der Quantenmechanik. Hier wählen wir eine bestimmte zahlentheoretische Funktion, die Riemannsche Zeta-Funktion, und untersuchen ihren Einfluss auf den Bereich der Physik und auch, wie die Physik für die Auflösung einer der berühmtesten unbestätigten Vermutungen der Mathematik, der Riemannschen Hypothese, suggestiv sein kann. Ist die Physik ein wesentlicher Schlüssel zur Lösung dieses mehr als hundert Jahre alten Problems? In dieser Arbeit untersuchen wir zahlreiche Modelle aus verschiedenen Bereichen der Physik, von der klassischen Mechanik bis zur statistischen Physik, wo diese Funktion eine integrale Rolle spielt. Wir sehen auch, wie diese Funktion mit dem Quantenchaos zusammenhängt und wie seine Polstruktur kodiert, wenn Teilchen bei niedriger Temperatur eine Bose-Einstein–Kondensation durchlaufen können. In diesen Untersuchungen zeigen wir auf, wie die Physik die Riemannsche Hypothese vielleicht beleuchten kann. Natürlich kann es nicht unser Ziel sein, umfassend zu sein, sondern wir konzentrieren uns auf die wichtigsten Modelle und wollen dem interessierten Leser einen informierten Ausgangspunkt geben.“

H. Montgomery, A. Nikeghbali und M.T. Rassias, Hrsg., Exploring the Riemann Zeta Function (Springer 2017)

W. Dittrich, Reassessing Riemann’s paper on the number of primes less than a given magnitude (Springer, 2018)

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