Biografie
tatăl lui Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, a fost un comerciant de succes, lucrând ca agent de vânzare cu ridicata în Sankt Petersburg, apoi mai târziu ca broker la Bursa de Valori din Sankt Petersburg. Georg Waldemar Cantor s-a născut în Danemarca și a fost un om cu o profundă dragoste pentru Cultură și Arte. Mama lui Georg, Maria Anna B Oktihm, era rusă și foarte muzicală. Cu siguranță Georg a moștenit talente muzicale și artistice considerabile de la părinții săi, fiind un violonist remarcabil. Georg a fost crescut Protestant, aceasta fiind religia tatălui său, în timp ce mama lui Georg era Romano-Catolică.după educația timpurie la domiciliu de la un tutore privat, Cantor a urmat școala primară din Sankt Petersburg, apoi în 1856, când avea unsprezece ani, familia s-a mutat în Germania. Cu toate acestea, Cantor :-
… și-a amintit primii ani în Rusia cu mare nostalgie și nu s-a simțit niciodată în largul său în Germania, deși a trăit acolo pentru tot restul vieții și aparent nu a scris niciodată în limba rusă, pe care trebuie să o fi cunoscut.
tatăl lui Cantor avea o sănătate precară, iar mutarea în Germania urma să găsească un climat mai cald decât iernile dure din Sankt Petersburg. La început au locuit în Wiesbaden, unde Cantor a urmat gimnaziul, apoi s-au mutat la Frankfurt. Cantor a studiat la Realschule în Darmstadt unde a trăit ca pensionar. A absolvit în 1860 cu un raport remarcabil, care menționa în special abilitățile sale excepționale în matematică, în special trigonometria. După ce a participat la H Oktohere Gewerbeschule în Darmstadt din 1860 a intrat în Politehnica din Z Oktogrich în 1862. Motivul pentru care tatăl lui Cantor a ales să-l trimită la Gewerbeschule a fost că dorea ca Cantor să devină: –
… o stea strălucitoare în firmamentul ingineriei.
cu toate acestea, în 1862 Cantor a cerut permisiunea tatălui său de a studia matematica la universitate și a fost bucuros când în cele din urmă tatăl său a consimțit. Cu toate acestea, studiile sale la Z Elustrich au fost întrerupte de moartea tatălui său în iunie 1863. Cantor s-a mutat la Universitatea din Berlin, unde s-a împrietenit cu Hermann Schwarz, care era coleg. Cantor a participat la prelegeri de Weierstrass, Kummer și Kronecker. El a petrecut mandatul de vară din 1866 la Universitatea din G, întorcându-se la Berlin pentru a-și finaliza disertația despre teoria numerelor de aequationibus secundi Gradus indeterminatis în 1867.
În timp ce se afla la Berlin, Cantor s-a implicat mult într-o societate matematică studențească, fiind președinte al societății în perioada 1864-65. De asemenea, a făcut parte dintr-un mic grup de tineri matematicieni care s-au întâlnit săptămânal într-o casă de vinuri. După ce și-a luat doctoratul în 1867, Cantor a predat la o școală de fete din Berlin. Apoi, în 1868, s-a alăturat Seminarului Schellbach pentru profesorii de matematică. În acest timp a lucrat la abilitarea sa și, imediat după ce a fost numit La Halle în 1869, și-a prezentat teza, din nou despre teoria numerelor, și a primit abilitarea.
La Halle direcția cercetării lui Cantor s-a îndepărtat de teoria numerelor și spre analiză. Acest lucru s-a datorat lui Heine, unul dintre colegii săi seniori de la Halle, care l-a provocat pe Cantor să demonstreze problema deschisă cu privire la unicitatea reprezentării unei funcții ca serie trigonometrică. Aceasta a fost o problemă dificilă care a fost atacată fără succes de mulți matematicieni, inclusiv Heine însuși, precum și Dirichlet, Lipschitz și Riemann. Cantor a rezolvat problema dovedind unicitatea reprezentării până în aprilie 1870. A publicat lucrări suplimentare între 1870 și 1872 care se ocupă de seriile trigonometrice și toate acestea arată influența învățăturii lui Weierstrass.Cantor a fost promovat profesor extraordinar La Halle în 1872 și în acel an a început o prietenie cu Dedekind pe care l-a cunoscut în timp ce se afla în vacanță în Elveția. Cantor a publicat o lucrare despre Seria trigonometrică în 1872 în care a definit numerele iraționale în termeni de secvențe convergente de numere raționale. Dedekind și-a publicat definiția numerelor reale prin „reduceri Dedekind” tot în 1872 și în această lucrare Dedekind se referă la lucrarea lui Cantor din 1872 pe care Cantor i-o trimisese.în 1873 Cantor a dovedit numerele raționale numărabile, adică ele pot fi plasate într-o singură corespondență cu numerele naturale. El a arătat, de asemenea, că numerele algebrice, adică numerele care sunt rădăcini ale ecuațiilor polinomiale cu coeficienți întregi, erau numărabile. Cu toate acestea, încercările sale de a decide dacă numerele reale erau numărabile s-au dovedit mai grele. El a dovedit că numerele reale nu erau numărabile până în decembrie 1873 și a publicat acest lucru într-o lucrare în 1874. În această lucrare apare pentru prima dată ideea unei corespondențe unice, dar este implicită doar în această lucrare.
un număr transcendental este un număr irațional care nu este o rădăcină a oricărei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi. Liouville a stabilit în 1851 că există numere transcendentale. Douăzeci de ani mai târziu, în această lucrare din 1874, Cantor a arătat că, într-un anumit sens, aproape toate numerele sunt transcendentale, dovedind că numerele reale nu erau numărabile, în timp ce el dovedise că numerele algebrice erau numărabile.Cantor a apăsat înainte, schimbând scrisori cu Dedekind. Următoarea întrebare pe care și-a pus-o, în ianuarie 1874, a fost dacă pătratul unității ar putea fi mapat într-o linie de lungime a unității cu o corespondență de 1-1 puncte pe fiecare. Într-o scrisoare către Dedekind din 5 ianuarie 1874 a scris :-
o suprafață (să zicem un pătrat care include limita) poate fi menționată în mod unic la o linie (să zicem un segment de linie dreaptă care include punctele finale) astfel încât pentru fiecare punct de pe suprafață să existe un punct corespunzător al liniei și, invers, pentru fiecare punct al liniei să existe un punct corespunzător al suprafeței? Cred că răspunsul la această întrebare nu ar fi o treabă ușoară, în ciuda faptului că răspunsul pare atât de clar a fi „nu”, încât dovada pare aproape inutilă.
anul 1874 a fost unul important în viața personală a lui Cantor. S-a logodit cu Vally Guttmann, un prieten al surorii sale, în primăvara acelui an. S-au căsătorit la 9 August 1874 și și-au petrecut luna de miere în Interlaken în Elveția unde Cantor a petrecut mult timp în discuții matematice cu Dedekind.Cantor a continuat să corespondeze cu Dedekind, împărtășindu-și ideile și căutând opiniile lui Dedekind și i-a scris lui Dedekind în 1877 dovedind că există o corespondență de 1-1 puncte pe interval și puncte în spațiul PPP-dimensional. Cantor a fost surprins de propria sa descoperire și a scris:-
o văd, dar nu cred!
desigur, acest lucru a avut implicații pentru geometrie și noțiunea de dimensiune a unui spațiu. O lucrare majoră despre dimensiune pe care Cantor a depus-o în Jurnalul lui Crelle în 1877 a fost tratată cu suspiciune de Kronecker și publicată numai după ce Dedekind a intervenit în numele lui Cantor. Cantor s-a supărat foarte mult pe opoziția lui Kronecker față de opera sa și nu a mai trimis niciodată alte lucrări în Jurnalul lui Crelle.
lucrarea despre dimensiune care a apărut în Jurnalul lui Crelle în 1878 face ca conceptele corespondenței 1-1 să fie precise. Lucrarea discută nenumărate seturi, adică. cele care sunt în corespondență 1-1 cu numerele naturale. Studiază seturi de putere egală, adică acele seturi care sunt în corespondență 1-1 între ele. Cantor a discutat, de asemenea, conceptul de dimensiune și a subliniat faptul că corespondența sa între interval și pătratul unității nu era o hartă continuă.între 1879 și 1884 Cantor a publicat o serie de șase lucrări în Mathematische Annalen concepute pentru a oferi o introducere de bază în teoria mulțimilor. Este posibil ca Klein să fi avut o influență majoră în publicarea lor de către Mathematische Annalen. Cu toate acestea, au existat o serie de probleme care au apărut în acești ani, care s-au dovedit dificile pentru Cantor. Deși fusese promovat profesor titular în 1879 la recomandarea lui Heine, Cantor spera să obțină o catedră la o universitate mai prestigioasă. Corespondența sa de lungă durată cu Schwarz s-a încheiat în 1880, pe măsură ce opoziția față de ideile lui Cantor a continuat să crească și Schwarz nu mai susținea direcția în care se îndrepta opera lui Cantor. Apoi, în octombrie 1881, Heine a murit și a fost nevoie de un înlocuitor pentru a ocupa scaunul de la Halle.Cantor a întocmit o listă de trei matematicieni pentru a ocupa scaunul lui Heine și lista a fost aprobată. A plasat Dedekind pe primul loc, urmat de Heinrich Weber și în cele din urmă Mertens. Cu siguranță a fost o lovitură severă pentru Cantor când Dedekind a refuzat oferta la începutul anului 1882, iar lovitura a fost înrăutățită doar de Heinrich Weber și apoi Mertens în declin. După ce a fost întocmită o nouă listă, Wangerin a fost numit, dar nu a format niciodată o relație strânsă cu Cantor. Bogata corespondență matematică dintre Cantor și Dedekind s-a încheiat mai târziu în 1882.aproape în același timp cu încheierea corespondenței Cantor-Dedekind, Cantor a început o altă corespondență importantă cu Mittag-Leffler. Curând Cantor publica în Mittag-Leffler jurnal Acta Mathematica dar seria sa importantă de șase lucrări în Mathematische Annalen a continuat să apară. Cea de-a cincea lucrare din această serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre XV a fost, de asemenea, publicată ca o monografie separată și a fost deosebit de importantă din mai multe motive. În primul rând, Cantor și-a dat seama că teoria sa despre seturi nu găsea acceptarea pe care o sperase și Grundlagen a fost conceput pentru a răspunde criticilor. În al doilea rând :-
realizarea majoră a Grundlagen a fost prezentarea numerelor transfinite ca o extensie autonomă și sistematică a numerelor naturale.
Cantor însuși afirmă destul de clar în lucrare că realizează puterea opoziției față de ideile sale:-
… Îmi dau seama că, în acest demers, mă situez într-o anumită opoziție față de opiniile larg răspândite cu privire la infinitul matematic și față de opiniile apărate frecvent cu privire la natura numerelor.
la sfârșitul lunii mai 1884 Cantor a avut primul atac înregistrat de depresie. Și-a revenit după câteva săptămâni, dar acum părea mai puțin încrezător. El i-a scris lui Mittag-Leffler la sfârșitul lunii iunie: –
… Nu știu când mă voi întoarce la continuarea lucrării mele științifice. În acest moment nu pot face absolut nimic cu ea și mă limitez la cea mai necesară datorie a prelegerilor mele; cât de fericit aș fi să fiu activ științific, dacă aș avea prospețimea mentală necesară.
la un moment dat s-a crezut că depresia sa a fost cauzată de griji matematice și ca urmare a dificultăților relației sale cu Kronecker în special. Cu toate acestea, recent, o mai bună înțelegere a bolilor mintale a însemnat că acum putem fi siguri că grijile matematice ale lui Cantor și relațiile sale dificile au fost mult amplificate de depresia sa, dar nu au fost cauza ei (Vezi de exemplu și ). După această boală mintală din 1884:-
… și-a luat o vacanță în Munții Harz preferați și, din anumite motive, a decis să încerce să se împace cu Kronecker. Kronecker a acceptat gestul, dar trebuie să fi fost dificil pentru amândoi să-și uite dușmăniile, iar dezacordurile filosofice dintre ei au rămas neafectate.
grijile matematice au început să-l deranjeze pe Cantor în acest moment, în special a început să-și facă griji că nu poate dovedi ipoteza continuumului, și anume că ordinea infinității numerelor reale a fost următoarea după cea a numerelor naturale. De fapt, el a crezut că a dovedit-o falsă, apoi a doua zi și-a găsit greșeala. Din nou, el a crezut că a dovedit că este adevărat doar din nou pentru a găsi rapid eroarea lui.
totul nu mergea bine și în alte moduri, pentru că în 1885 Mittag-Leffler l-a convins pe Cantor să-și retragă una dintre lucrările sale din Acta Mathematica când ajunsese la stadiul de dovadă pentru că el credea asta „… cam o sută de ani prea devreme”. Cantor a glumit despre asta, dar a fost clar rănit:-
dacă Mittag-Leffler ar fi avut drumul său, ar trebui să aștept până în anul 1984, ceea ce mi s-a părut o cerere prea mare! … Dar, desigur, nu vreau să mai știu nimic despre Acta Mathematica.
Mittag-Leffler a însemnat acest lucru ca o bunătate, dar arată o lipsă de apreciere a importanței operei lui Cantor. Corespondența dintre Mittag-Leffler și Cantor s-a oprit la scurt timp după acest eveniment și potopul de idei noi care a dus la dezvoltarea rapidă a teoriei mulțimilor de către Cantor pe parcursul a aproximativ 12 ani pare să se fi oprit aproape.
În 1886 Cantor a cumpărat o casă nouă amendă pe H Centictndelstrasse, o stradă numită după compozitorul german Handel. Înainte de sfârșitul anului sa născut un fiu, completându-și familia de șase copii. S-a întors de la dezvoltarea matematică a teoriei mulțimilor către două direcții noi, discutând în primul rând aspectele filosofice ale teoriei sale cu mulți filozofi (a publicat aceste scrisori în 1888) și în al doilea rând preluând după moartea lui Clebsch ideea sa de a fonda Deutsche Mathematiker-Vereinigung pe care a realizat-o în 1890. Cantor a prezidat prima întâlnire a Asociației la Halle în septembrie 1891 și, în ciuda antagonismului amar dintre el și Kronecker, Cantor l-a invitat pe Kronecker să abordeze prima întâlnire.Kronecker nu s-a adresat niciodată întâlnirii, deoarece soția sa a fost grav rănită într-un accident de alpinism la sfârșitul verii și a murit la scurt timp după aceea. Cantor a fost ales președinte al Deutsche Mathematiker-Vereinigung la prima întâlnire și a deținut acest post până în 1893. El a ajutat la organizarea întâlnirii Asociației care a avut loc la Munchen în septembrie 1893, dar s-a îmbolnăvit din nou înainte de întâlnire și nu a putut participa.Cantor a publicat o lucrare destul de ciudată în 1894, care enumera modul în care toate numerele pare de până la 1000 ar putea fi scrise ca suma a două numere prime. Deoarece o verificare a conjecturii lui Goldbach până la 10000 a fost făcută cu 40 de ani înainte, este probabil ca această lucrare ciudată să spună mai multe despre starea de spirit a lui Cantor decât despre conjectura lui Goldbach.ultimele sale lucrări majore despre teoria mulțimilor au apărut în 1895 și 1897, din nou în Mathematische Annalen sub redacția lui Klein și sunt sondaje fine ale aritmeticii transfinite. Decalajul destul de lung dintre cele două lucrări se datorează faptului că, deși Cantor a terminat de scris a doua parte la șase luni de la publicarea primei părți, el spera să includă o dovadă a ipotezei continuumului în a doua parte. Cu toate acestea, nu a fost să fie, dar a doua lucrare descrie teoria lui de seturi bine ordonate și numere ordinale.
în 1897 Cantor a participat la Primul Congres Internațional al Matematicienilor din Z. În prelegerile lor la Congres:-
… Hurwitz și-a exprimat deschis Marea admirație față de Cantor și l-a proclamat ca unul prin care teoria funcțiilor a fost îmbogățită. Jacques Hadamard și-a exprimat opinia că noțiunile teoriei seturilor erau instrumente cunoscute și indispensabile.
la Congres Cantor l-a întâlnit pe Dedekind și și-au reînnoit prietenia. Cu toate acestea, până la Congres, Cantor descoperise primul dintre paradoxurile din teoria mulțimilor. El a descoperit paradoxurile în timp ce lucra la lucrările sale de sondaj din 1895 și 1897 și i-a scris lui Hilbert în 1896 explicându-i paradoxul. Burali-Forti a descoperit paradoxul în mod independent și l-a publicat în 1897. Cantor a început o corespondență cu Dedekind pentru a încerca să înțeleagă cum să rezolve problemele, dar crizele recurente ale bolii sale mintale l-au forțat să nu mai scrie lui Dedekind în 1899.ori de câte ori Cantor suferea de perioade de depresie, el tindea să se îndepărteze de matematică și să se îndrepte spre filozofie și marele său interes literar, care era credința că Francis Bacon a scris piesele lui Shakespeare. De exemplu, în boala sa din 1884, el ceruse să i se permită să țină prelegeri despre filozofie în loc de matematică și începuse studiul intens al literaturii elizabetane în încercarea de a-și dovedi teoria Bacon-Shakespeare. A început să publice broșuri despre problema literară în 1896 și 1897. Stresul suplimentar a fost pus pe Cantor odată cu moartea mamei sale în octombrie 1896 și moartea fratelui său mai mic în ianuarie 1899.în octombrie 1899 Cantor a solicitat și i s-a acordat concediu de predare pentru semestrul de iarnă 1899-1900. Apoi, la 16 decembrie 1899, fiul cel mic al lui Cantor a murit. Din acest moment până la sfârșitul vieții sale a luptat împotriva bolii mintale a depresiei. El a continuat să predea, dar a trebuit să-și ia concediu de la învățătură pentru o serie de semestre de iarnă, cele din 1902-03, 1904-05 și 1907-08. Cantor a petrecut, de asemenea, ceva timp în sanatorii, în momentele celor mai grave atacuri ale bolii sale mintale, începând cu 1899. El a continuat să lucreze și să publice teoria lui Bacon-Shakespeare și cu siguranță nu a renunțat complet la matematică. A ținut prelegeri despre paradoxurile teoriei mulțimilor la o întâlnire a Deutsche Mathematiker-Vereinigung în septembrie 1903 și a participat la Congresul Internațional al Matematicienilor de la Heidelberg în August 1904.în 1905 Cantor a scris o lucrare religioasă după ce s-a întors acasă dintr-o vrajă din spital. De asemenea, a corespondat cu Jourdain despre istoria teoriei mulțimilor și a tractului său religios. După ce și-a luat concediu pentru o mare parte din 1909 din motive de sănătate, și-a îndeplinit îndatoririle universitare pentru 1910 și 1911. În acel an a fost încântat să primească o invitație de la Universitatea din St Andrews din Scoția pentru a participa la aniversarea a 500 de ani de la înființarea Universității ca un distins savant străin. Sărbătorile au fost 12-15 septembrie 1911, dar :-
în timpul vizitei, se pare că a început să se comporte excentric, vorbind pe larg despre întrebarea Bacon-Shakespeare; apoi a călătorit la Londra pentru câteva zile.
Cantor spera să se întâlnească cu Russell care tocmai publicase Principia Mathematica. Cu toate acestea, starea de sănătate și vestea că fiul său s-a îmbolnăvit l-au făcut pe Cantor să se întoarcă în Germania fără să-l vadă pe Russell. În anul următor, Cantor a primit diploma onorifică de Doctor în drept de către Universitatea din St Andrews, dar era prea bolnav pentru a primi diploma în persoană.Cantor s-a retras în 1913 și și-a petrecut ultimii ani bolnav cu puțină mâncare din cauza condițiilor de război din Germania. Un eveniment major planificat la Halle pentru a marca cea de-a 70-a aniversare a lui Cantor în 1915 a trebuit anulat din cauza războiului, dar un eveniment mai mic a avut loc în casa sa. În iunie 1917 a intrat într-un sanatoriu pentru ultima dată și i-a scris continuu soției sale cerând să i se permită să plece acasă. A murit de infarct.
Hilbert a descris opera lui Cantor ca:-
…cel mai bun produs al geniului matematic și una dintre realizările supreme ale activității umane pur intelectuale.