Biografía
El padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, fue un exitoso comerciante, trabajando como agente mayorista en San Petersburgo, y más tarde como corredor en la Bolsa de Valores de San Petersburgo. Georg Waldemar Cantor nació en Dinamarca y era un hombre con un profundo amor por la cultura y las artes. La madre de Georg, Maria Anna Böhm, era rusa y muy musical. Sin duda, Georg heredó considerables talentos musicales y artísticos de sus padres, que eran un violinista excepcional. Georg fue criado como protestante, siendo esta la religión de su padre, mientras que la madre de Georg era católica.Después de la educación temprana en casa de un tutor privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo, luego en 1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo, Cantor :-
… recordó sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y nunca se sintió a gusto en Alemania, aunque vivió allí el resto de su vida y aparentemente nunca escribió en el idioma ruso, que debe haber conocido.
El padre de Cantor tenía mala salud y el traslado a Alemania fue para encontrar un clima más cálido que los duros inviernos de San Petersburgo. Al principio vivieron en Wiesbaden, donde Cantor asistió al Gimnasio, luego se mudaron a Frankfurt. Cantor estudió en la Realschule de Darmstadt, donde vivió como huésped. Se graduó en 1860 con un informe excepcional, que menciona en particular sus habilidades excepcionales en matemáticas, en particular la trigonometría. Después de asistir a la Höhere Gewerbeschule en Darmstadt desde 1860 entró en el Politécnico de Zúrich en 1862. La razón por la que el padre de Cantor eligió enviarlo a la Höheren Gewerbeschule fue que quería que Cantor se convirtiera en:-
… una estrella brillante en el firmamento de ingeniería.
Sin embargo, en 1862 Cantor había solicitado el permiso de su padre para estudiar matemáticas en la universidad y se alegró cuando finalmente su padre consintió. Sus estudios en Zúrich, sin embargo, se vieron interrumpidos por la muerte de su padre en junio de 1863. Cantor se trasladó a la Universidad de Berlín, donde se hizo amigo de Hermann Schwarz, que era un compañero de estudios. Cantor asistió a conferencias de Weierstrass, Kummer y Kronecker. Pasó el semestre de verano de 1866 en la Universidad de Göttingen, regresando a Berlín para completar su tesis sobre teoría de números De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ en 1867.Mientras que en Berlín Cantor se involucró mucho con una Sociedad de Matemáticas para estudiantes, siendo presidente de la Sociedad durante 1864-65. También formó parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una bodega. Después de recibir su doctorado en 1867, Cantor enseñó en una escuela para niñas en Berlín. Luego, en 1868, se unió al Seminario de Schellbach para profesores de matemáticas. Durante este tiempo trabajó en su habilitación e, inmediatamente después de ser nombrado para Halle en 1869, presentó su tesis, de nuevo sobre la teoría de números, y recibió su habilitación.En Halle, la dirección de la investigación de Cantor se alejó de la teoría de números y se orientó hacia el análisis. Esto se debió a Heine, uno de sus colegas mayores en Halle, que desafió a Cantor a probar el problema abierto sobre la singularidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Este fue un problema difícil que había sido atacado sin éxito por muchos matemáticos, incluido el propio Heine, así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann. Cantor resolvió el problema demostrando la singularidad de la representación en abril de 1870. Publicó más documentos entre 1870 y 1872 que tratan de series trigonométricas y todos estos muestran la influencia de la enseñanza de Weierstrass.Cantor fue ascendido a Profesor Extraordinario en Halle en 1872 y en ese año comenzó una amistad con Dedekind, a quien había conocido mientras estaba de vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en 1872 en el que definió números irracionales en términos de secuencias convergentes de números racionales. Dedekind publicó su definición de los números reales por «Dedekind cortes» también en 1872 y en este documento Dedekind se refiere al documento de Cantor de 1872 que Cantor le había enviado.En 1873 Cantor demostró que los números racionales son contables, es decir, que pueden colocarse en correspondencia uno a uno con los números naturales. También demostró que los números algebraicos, es decir, los números que son raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, eran contables. Sin embargo, sus intentos de decidir si los números reales eran contables resultaron más difíciles. Había demostrado que los números reales no eran contables en diciembre de 1873 y lo publicó en un documento en 1874. Es en este trabajo que la idea de una correspondencia uno-uno aparece por primera vez, pero solo está implícita en este trabajo.Un número trascendental es un número irracional que no es una raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Liouville estableció en 1851 que existen números trascendentales. Veinte años más tarde, en este trabajo de 1874, Cantor demostró que en cierto sentido «casi todos» los números son trascendentales al demostrar que los números reales no eran contables, mientras que había demostrado que los números algebraicos eran contables.Cantor se adelantó, intercambiando letras con Dedekind. La siguiente pregunta que se hizo, en enero de 1874, fue si la unidad cuadrada se podía mapear en una línea de longitud de unidad con una correspondencia de 1-1 de puntos en cada una. En una carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874, escribió: :-
¿Puede una superficie (por ejemplo, un cuadrado que incluye el límite) referirse de forma única a una línea (por ejemplo, un segmento de línea recta que incluye los puntos finales) de modo que para cada punto de la superficie haya un punto correspondiente de la línea y, a la inversa, para cada punto de la línea haya un punto correspondiente de la superficie? Creo que responder a esta pregunta no sería una tarea fácil, a pesar del hecho de que la respuesta parece tan claramente ser «no» que la prueba parece casi innecesaria.
El año 1874 fue importante en la vida personal de Cantor. Se comprometió con Vally Guttmann, un amigo de su hermana, en la primavera de ese año. Se casaron el 9 de agosto de 1874 y pasaron su luna de miel en Interlaken en Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind.Cantor continuó correspondiendo con Dedekind, compartiendo sus ideas y buscando las opiniones de Dedekind, y escribió a Dedekind en 1877 demostrando que había una correspondencia de 1-1 de puntos en el intervalo y puntos en el espacio dimensional ppp. Cantor se sorprendió de su propio descubrimiento y escribió: –
¡Lo veo, pero no lo creo!
Por supuesto, esto tenía implicaciones para la geometría y la noción de dimensión de un espacio. Un importante documento sobre la dimensión que Cantor presentó al Diario de Crelle en 1877 fue tratado con sospecha por Kronecker, y solo se publicó después de que Dedekind interviniera en nombre de Cantor. Cantor estaba muy resentido por la oposición de Kronecker a su trabajo y nunca envió más artículos al Diario de Crelle.El artículo sobre la dimensión que apareció en el Diario de Crelle en 1878 hace que los conceptos de correspondencia 1-1 sean precisos. En el trabajo se analizan numerable de conjuntos, es decir, aquellos que están en correspondencia 1-1 con los números naturales. Estudia conjuntos de igual potencia, es decir, aquellos conjuntos que están en correspondencia 1-1 entre sí. Cantor también discutió el concepto de dimensión y destacó el hecho de que su correspondencia entre el intervalo y la unidad cuadrada no era un mapa continuo.Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en Mathematische Annalen diseñados para proporcionar una introducción básica a la teoría de conjuntos. Klein puede haber tenido una gran influencia en tener Mathematische Annalen publicado ellos. Sin embargo, hubo una serie de problemas que ocurrieron durante estos años que resultaron difíciles para Cantor. Aunque había sido ascendido a profesor titular en 1879 por recomendación de Heine, Cantor había estado esperando una cátedra en una universidad más prestigiosa. Su larga correspondencia con Schwarz terminó en 1880 a medida que la oposición a las ideas de Cantor continuaba creciendo y Schwarz ya no apoyaba la dirección en la que iba el trabajo de Cantor. Luego, en octubre de 1881, Heine murió y se necesitó un reemplazo para llenar la silla en Halle.Cantor elaboró una lista de tres matemáticos para ocupar la cátedra de Heine y la lista fue aprobada. Colocó a Dedekind en el primer lugar, seguido por Heinrich Weber y finalmente Mertens. Sin duda, fue un duro golpe para Cantor cuando Dedekind declinó la oferta a principios de 1882, y el golpe solo empeoró por Heinrich Weber y luego Mertens declinando también. Después de que se redactara una nueva lista, Wangerin fue nombrado, pero nunca formó una relación cercana con Cantor. La rica correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind terminó más tarde en 1882.Casi al mismo tiempo que terminó la correspondencia Cantor-Dedekind, Cantor comenzó otra correspondencia importante con Mittag-Leffler. Pronto Cantor estaba publicando en la revista Acta Mathematica de Mittag-Leffler, pero su importante serie de seis artículos en Mathematische Annalen también continuó apareciendo. El quinto documento de esta serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre was también se publicó como una monografía separada y fue especialmente importante por una serie de razones. En primer lugar Cantor se dio cuenta de que su teoría de conjuntos no estaba encontrando la aceptación que había esperado y el Grundlagen fue diseñado para responder a las críticas. En segundo lugar: –
El mayor logro del Grundlagen fue su presentación de los números transfinitos como una extensión autónoma y sistemática de los números naturales.
El propio Cantor afirma claramente en el documento que se da cuenta de la fuerza de la oposición a sus ideas:-
… Me doy cuenta de que en esta empresa me pongo en cierta oposición a las opiniones ampliamente sostenidas en relación con el infinito matemático y a las opiniones defendidas con frecuencia sobre la naturaleza de los números.
A finales de mayo de 1884 Cantor tuvo el primer ataque de depresión registrado. Se recuperó después de unas semanas, pero ahora parecía menos confiado. Escribió a Mittag-Leffler a finales de junio: –
… No se cuando regresaré a la continuación de mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada con él, y limitarme al deber más necesario de mis conferencias; cuánto más feliz estaría de ser científicamente activo, si tan solo tuviera la frescura mental necesaria.
En un momento se pensó que su depresión fue causada por preocupaciones matemáticas y como resultado de las dificultades de su relación con Kronecker en particular. Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de la enfermedad mental ha significado que ahora podemos estar seguros de que las preocupaciones matemáticas de Cantor y sus difíciles relaciones se magnificaron en gran medida por su depresión, pero no fueron su causa (véase, por ejemplo, y ). Después de esta enfermedad mental de 1884: –
… se tomó unas vacaciones en sus montañas favoritas de Harz y por alguna razón decidió intentar reconciliarse con Kronecker. Kronecker aceptó el gesto, pero debe haber sido difícil para ambos olvidar sus enemistades y los desacuerdos filosóficos entre ellos no se vieron afectados.
Las preocupaciones matemáticas comenzaron a molestar a Cantor en este momento, en particular, comenzó a preocuparse de que no pudiera probar la hipótesis del continuo, es decir, que el orden infinito de los números reales era el siguiente después del de los números naturales. De hecho, pensó que había demostrado que era falso, y al día siguiente encontró su error. Una vez más pensó que lo había demostrado solo para encontrar rápidamente su error.
Todo no iba bien de otras maneras también, ya que en 1885 Mittag-Leffler persuadió a Cantor para que retirara uno de sus documentos de Acta Mathematica cuando había alcanzado la etapa de prueba porque él lo pensaba «… cien años demasiado pronto». Cantor bromeó al respecto, pero estaba claramente herido: –
Tenía Mittag-Leffler se salió con la suya, debería tener que esperar hasta el año 1984, ¡lo que a mí me parecía una demanda demasiado grande! … Pero, por supuesto, nunca quiero saber nada de nuevo sobre Acta Mathematica.
Mittag-Leffler quiso decir esto como una amabilidad, pero muestra una falta de apreciación de la importancia del trabajo de Cantor. La correspondencia entre Mittag-Leffler y Cantor se detuvo poco después de este evento y la avalancha de nuevas ideas que habían llevado a Cantor al rápido desarrollo de la teoría de conjuntos durante unos 12 años parece casi haberse detenido.En 1886 Cantor compró una casa nueva en Händelstrasse, una calle que lleva el nombre del compositor alemán Handel. Antes del final del año nació un hijo, completando su familia de seis hijos. Se volvió del desarrollo matemático de la teoría de conjuntos hacia dos nuevas direcciones, en primer lugar, discutir los aspectos filosóficos de su teoría con muchos filósofos (publicó estas cartas en 1888) y en segundo lugar hacerse cargo después de la muerte de Clebsch su idea de fundar la Deutsche Mathematiker-Vereinigung que logró en 1890. Cantor presidió la primera reunión de la Asociación en Halle en septiembre de 1891, y a pesar del amargo antagonismo entre él y Kronecker, Cantor invitó a Kronecker a dirigirse a la primera reunión.Sin embargo, Kronecker nunca se dirigió a la reunión, ya que su esposa resultó gravemente herida en un accidente de escalada a finales del verano y murió poco después. Cantor fue elegido presidente de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en la primera reunión y ocupó este cargo hasta 1893. Ayudó a organizar la reunión de la Asociación celebrada en Múnich en septiembre de 1893, pero enfermó de nuevo antes de la reunión y no pudo asistir.Cantor publicó un artículo bastante extraño en 1894 que enumeraba la forma en que todos los números pares hasta 1000 podían escribirse como la suma de dos números primos. Dado que se había realizado una verificación de la conjetura de Goldbach de hasta 10000 años antes, es probable que este extraño documento diga más sobre el estado mental de Cantor que sobre la conjetura de Goldbach.Sus últimos trabajos importantes sobre teoría de conjuntos aparecieron en 1895 y 1897, de nuevo en Mathematische Annalen bajo la dirección de Klein, y son excelentes estudios de aritmética transfinita. La brecha bastante larga entre los dos artículos se debe al hecho de que, aunque Cantor terminó de escribir la segunda parte seis meses después de que se publicara la primera parte, esperaba incluir una prueba de la hipótesis del continuo en la segunda parte. Sin embargo, no iba a ser, pero el segundo documento describe su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales.En 1897 Cantor asistió al primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zürich. En sus conferencias en el Congreso :-
… Hurwitz expresó abiertamente su gran admiración por Cantor y lo proclamó como alguien por quien la teoría de las funciones se ha enriquecido. Jacques Hadamard expresó su opinión de que las nociones de la teoría de conjuntos eran instrumentos conocidos e indispensables.
En el Congreso Cantor conoció a Dedekind y renovaron su amistad. En el momento del Congreso, sin embargo, Cantor había descubierto la primera de las paradojas en la teoría de conjuntos. Descubrió las paradojas mientras trabajaba en sus documentos de estudio de 1895 y 1897 y escribió a Hilbert en 1896 explicándole la paradoja. Burali-Forti descubrió la paradoja de forma independiente y la publicó en 1897. Cantor comenzó una correspondencia con Dedekind para tratar de entender cómo resolver los problemas, pero los episodios recurrentes de su enfermedad mental lo obligaron a dejar de escribir a Dedekind en 1899.Siempre que Cantor sufría de períodos de depresión, tendía a alejarse de las matemáticas y volverse hacia la filosofía y su gran interés literario, que era la creencia de que Francis Bacon escribió obras de Shakespeare. Por ejemplo, en su enfermedad de 1884, había solicitado que se le permitiera dar conferencias sobre filosofía en lugar de matemáticas y había comenzado su intenso estudio de la literatura isabelina en un intento de probar su teoría de Tocino-Shakespeare. Comenzó a publicar folletos sobre la cuestión literaria en 1896 y 1897. El estrés adicional se puso en Cantor con la muerte de su madre en octubre de 1896 y la muerte de su hermano menor en enero de 1899.En octubre de 1899, Cantor solicitó, y se le concedió, una licencia de enseñanza para el semestre de invierno de 1899-1900. El 16 de diciembre de 1899 murió el hijo menor de Cantor. Desde este momento hasta el final de su vida luchó contra la enfermedad mental de la depresión. Continuó enseñando, pero también tuvo que ausentarse de su enseñanza durante varios semestres de invierno, los de 1902-03, 1904-05 y 1907-08. Cantor también pasó algún tiempo en sanatorios, en los momentos de los peores ataques de su enfermedad mental, a partir de 1899. Continuó trabajando y publicando en su teoría de Tocino-Shakespeare y ciertamente no renunció a las matemáticas por completo. Dio conferencias sobre las paradojas de la teoría de conjuntos en una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en septiembre de 1903 y asistió al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg en agosto de 1904.En 1905 Cantor escribió una obra religiosa después de regresar a casa de un tiempo en el hospital. También mantuvo correspondencia con Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y su tratado religioso. Después de tomar licencia durante gran parte de 1909 debido a su mala salud, llevó a cabo sus tareas universitarias en 1910 y 1911. Fue en ese año que se alegró de recibir una invitación de la Universidad de St Andrews en Escocia para asistir al 500 aniversario de la fundación de la Universidad como distinguido académico extranjero. Las celebraciones fueron del 12 al 15 de septiembre de 1911, pero :-
Durante la visita, aparentemente comenzó a comportarse de manera excéntrica, hablando largamente sobre la cuestión de Tocino-Shakespeare; luego viajó a Londres por unos días.
Cantor esperaba reunirse con Russell, que acababa de publicar Principia Mathematica. Sin embargo, la mala salud y la noticia de que su hijo se había enfermado hicieron que Cantor regresara a Alemania sin ver a Russell. Al año siguiente Cantor fue galardonado con el título honorario de Doctor en Derecho por la Universidad de St Andrews, pero estaba demasiado enfermo para recibir el título en persona.Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo con poca comida debido a las condiciones de guerra en Alemania. Un evento importante planeado en Halle para conmemorar el 70 cumpleaños de Cantor en 1915 tuvo que ser cancelado debido a la guerra, pero un evento más pequeño se celebró en su casa. En junio de 1917 entró en un sanatorio por última vez y escribió continuamente a su esposa pidiendo que se le permitiera volver a casa. Murió de un ataque al corazón.Hilbert describió el trabajo de Cantor como: –
…el mejor producto del genio matemático y uno de los logros supremos de la actividad humana puramente intelectual.