elämäkerta
Georg Cantorin isä Georg Waldemar Cantor oli menestyvä kauppias, joka työskenteli ensin tukkukauppiaana Pietarissa, sitten myöhemmin meklarina Pietarin pörssissä. Georg Waldemar Cantor syntyi Tanskassa ja hän oli mies, jolla oli syvä rakkaus kulttuuriin ja taiteisiin. Georgin äiti Maria Anna Böhm oli venäläinen ja hyvin musikaalinen. Varmasti Georg perinyt huomattavia musiikillisia ja taiteellisia kykyjä hänen vanhempansa on erinomainen viulisti. Georg oli tuonut esiin protestanttinen, tämä on uskonto hänen isänsä, kun taas Georg äiti oli roomalaiskatolinen.
kun varhaiskasvatus kotona yksityiseltä tutorilta, Cantor osallistui peruskouluun Pietarissa, sitten vuonna 1856, kun hän oli yksitoista vuotta vanha perhe muutti Saksaan. Kuitenkin kanttori : –
… muisteli alkuvuosiaan Venäjällä suurella nostalgialla eikä koskaan tuntenut oloaan mukavaksi Saksassa, vaikka hän asui siellä loppuelämänsä eikä ilmeisesti koskaan kirjoittanut venäjän kielellä, jota hänen on täytynyt osata.
Cantorin isän terveys oli heikko, ja muutto Saksaan merkitsi lämpimämpää ilmastoa kuin Pietarin ankarat talvet. Aluksi he asuivat Wiesbaden, jossa Cantor osallistui Gymnasium, sitten he muuttivat Frankfurt. Cantor tutkittu, Realschule, Darmstadt, jossa hän asui kuin boarder. Hän valmistui vuonna 1860 erinomaisella mietinnöllä, jossa mainittiin erityisesti hänen poikkeukselliset taitonsa matematiikassa, erityisesti trigonometriassa. Kun osallistuu Höhere Gewerbeschule, Darmstadt, 1860 hän tuli ammattikorkeakoulu, Zürich vuonna 1862. Syynä Cantorin isän päätökseen lähettää hänet Höheren Gewerbeschuleen oli se, että hän halusi Cantorin tulevan:-
… loistava tähti konehuoneen taivaankannessa.
kuitenkin vuonna 1862 Cantor oli pyytänyt isältään lupaa opiskella matematiikkaa yliopistossa ja hän oli ikionnellinen, kun lopulta hänen isänsä suostui. Hänen opintonsa Zürichissä kuitenkin katkesivat hänen isänsä kuolemaan kesäkuussa 1863. Cantor siirretty University of Berlin, jossa hän tuli ystäviä Hermann Schwarz jotka oli stipendiaatti opiskelija. Cantor osallistui luentoja, Weierstrass, Kummer ja Kronecker. Hän vietti vuoden 1866 kesäkauden Göttingenin yliopistossa ja palasi Berliiniin täydentämään väitöskirjaansa lukuteoriasta De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ vuonna 1867.
vaikka Berliinissä Cantor tuli paljon mukana opiskelija Mathematical Society, on presidentti Societyn aikana 1864-65. Hän oli myös osa pieni ryhmä nuoria matemaatikot jotka tapasivat viikoittain, viinitalo. Saatuaan hänen tohtorin vuonna 1867, Cantor opettanut tyttökoulu Berliinissä. Sitten, vuonna 1868, hän liittyi Schellbach seminaari matematiikan opettajille. Tänä aikana hän työskenteli hänen habilitation, ja heti sen jälkeen, kun on nimitetty Halle vuonna 1869, hän esitteli thesis, jälleen lukuteoria, ja sai hänen habilitation.
Hallessa Cantorin tutkimuksen suunta kääntyi pois lukuteoriasta ja kohti analyysiä. Tämä johtui Heine, yksi hänen vanhempi kollegansa Halle, jotka haastoi Cantor todistaa avoimen ongelman ainutlaatuisuus edustus funktio on trigonometriset sarjassa. Tämä oli vaikea ongelma, joka oli ollut tuloksetta hyökkäsi monet matemaatikot, mukaan lukien Heine itse sekä Dirichlet ’ n, Lipschitz ja Riemannin. Cantor ratkaista ongelman osoittautumassa ainutlaatuisuus edustus huhtikuuhun 1870. Hän julkaisi lisää papereita välillä 1870 ja 1872 käsitellään trigonometriset sarja ja nämä kaikki osoittavat vaikutusta Weierstrass n opetusta.
Cantor ylennettiin ylimääräiseksi professoriksi Hallessa vuonna 1872, ja samana vuonna hän aloitti ystävyyden Dedekindin kanssa, jonka hän oli tavannut ollessaan lomalla Sveitsissä. Cantor julkaisi paperin trigonometriset sarjassa vuonna 1872, jossa hän määritelty irrationaalinen numerot kannalta convergent sekvenssit järkevä numerot. Dedekindin julkaistu hänen määritelmä todellinen numerot ”Dedekindin leikkauksia” myös vuonna 1872 ja tässä asiakirjassa Dedekindin viittaa Cantor ’ s 1872 paperi, joka Cantor oli lähettänyt hänelle.
vuonna 1873 Cantor todisti rationaalilukujen olevan laskettavissa, eli ne voidaan sijoittaa yksi-yksi-vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa. Hän osoitti myös, että algebrallinen numerot, eli numerot, jotka ovat juuret polynomin yhtälöt kanssa integer kertoimia, olivat laskettavissa. Kuitenkin hänen yrittää päättää, onko todellinen määrä oli countable osoittautunut vaikeampaa. Hän oli osoittautunut, että todellinen määrä ei ollut laskettavissa joulukuussa 1873 ja julkaisi tämän paperin vuonna 1874. Se on tässä asiakirjassa, että ajatus one-one kirjeenvaihto näkyy ensimmäistä kertaa, mutta se on vain implisiittinen tässä työssä.
Transsendenttiluku on irrationaaliluku, joka ei ole minkään kokonaislukukertoimia sisältävän polynomiyhtälön juuri. Liouville vahvisti vuonna 1851, että transsendenttiluvut ovat olemassa. Kaksikymmentä vuotta myöhemmin, tässä 1874 työtä, Cantor osoitti, että tietyssä mielessä ”lähes kaikki” numerot ovat Transsendenttiluku osoittamalla, että todellinen määrä ei ollut countable, kun hän oli osoittautunut, että algebrallinen numerot olivat countable.
Cantor paineli eteenpäin vaihtaen kirjeitä koko ajan Dedekindin kanssa. Seuraava kysymys hän kysyi itseltään, tammikuussa 1874, oli, onko yksikön neliö voitaisiin kartoittaa osaksi rivi yksikön pituus, jonka 1-1 kirjeenvaihto pistettä kunkin. Vuonna kirjeen Dedekindin päivätty 5 tammikuu 1874 hän kirjoitti :-
Voiko pinta (sano neliö, joka sisältää rajan) yksikäsitteisesti viitata janaan (sano suora Jana, joka sisältää päätepisteet) siten, että jokaista pinnan pistettä kohti on janan vastaava piste ja vastaavasti janan jokaista pistettä kohti on pinnan vastaava piste? Mielestäni tähän kysymykseen vastaaminen ei olisi helppoa, vaikka vastaus näyttää niin selvästi olevan ”ei”, että todisteet vaikuttavat lähes tarpeettomilta.
vuosi 1874 oli tärkeä Cantorin yksityiselämässä. Hän kihlautui siskonsa ystävän Vally Guttmannin kanssa saman vuoden keväällä. He avioituivat 9 päivänä elokuuta 1874 ja vietti häämatka, Interlaken, Sveitsi, jossa Cantor viettänyt paljon aikaa matemaattisia keskusteluja Dedekindin.
Cantor jatkoi vastata Dedekindin, jakaa hänen ajatuksiaan ja etsivät Dedekindin mielipiteitä, ja hän kirjoitti Dedekindin vuonna 1877 todistaa, että siellä oli 1-1 kirjeenvaihto kohtia intervalli ja kohdat ppp-ulotteinen tilaa. Cantor yllättyi omasta löydöstään ja kirjoitti: –
näen sen, mutta en usko!
tietenkin tällä oli vaikutuksia geometriaan ja avaruuden ulottuvuuden käsitteeseen. Merkittävä paperi ulottuvuus, joka Cantor toimitettu Crelle n lehdessä vuonna 1877 oli käsitelty epäilystä Kronecker, ja vain julkaistu sen jälkeen, kun Dedekindin puuttui Cantor puolesta. Cantor suuresti resented Kronecker vastustus hänen työstään ja koskaan toimittanut mitään muuta papereita Crelle n lehdessä.
paperin ulottuvuus, joka ilmestyi Crelle n lehdessä vuonna 1878 tekee käsitteitä 1-1 kirjeenvaihto tarkka. Paperi käsittelee denumerable asetetaan, ts. ne, jotka ovat 1-1 vastaa luonnollisia lukuja. Se tutkii tasavoimaisia joukkoja eli niitä joukkoja, jotka ovat keskenään 1-1 vastaavuudessa. Cantor keskusteli myös ulottuvuuden käsitteestä ja korosti sitä, että hänen kirjeenvaihtonsa intervallin ja yksikön neliön välillä ei ollut jatkuva kartta.
vuosina 1879 ja 1884 Cantor julkaisi sarjan kuusi papers, Mathematische Annalen tarkoituksena on tarjota perus johdatus joukko-oppi. Klein on voinut olla suuri vaikutus ottaa Mathematische Annalen julkaistu niitä. Kuitenkin oli olemassa useita ongelmia, jotka tapahtuivat näiden vuosien aikana, jotka osoittautuivat vaikeiksi Cantor. Vaikka hän oli ylennetty täysi professori vuonna 1879, Heine suosituksesta, Cantor oli toivonut tuoli enemmän arvostetun yliopiston. Hänen pitkäaikainen kirjeenvaihto Schwarz päättyi vuonna 1880 vastustus Cantor ideoita jatkoi kasvuaan ja Schwarz ei enää tukenut suuntaan, että Cantor työ oli menossa. Sitten lokakuussa 1881 Heine kuoli ja korvaaminen oli tarpeen täyttää johdolla Halle.
Cantor laati listan kolmesta matemaatikosta täyttääkseen heinen tuolin ja lista hyväksyttiin. Se sijoitti Dedekindin ensimmäiseksi, toiseksi Heinrich Weberin ja viimeiseksi Mertensin jälkeen. Se oli varmasti vakava isku Cantor, kun Dedekindin laski tarjouksen alussa 1882, ja isku oli vain pahentaa Heinrich Weber ja sitten Mertens laskussa liian. Kun uusi lista oli laadittu, Wangerin nimitettiin, mutta hän ei koskaan muodostunut läheinen suhde Cantor. Cantorin ja Dedekindin välinen rikas matemaattinen kirjeenvaihto päättyi myöhemmin vuonna 1882.
lähes samaan aikaan kuin Cantor-Dedekindin kirjeenvaihto päättyi, Cantor aloitti toisen tärkeän kirjeenvaihdon Mittag-Lefflerin kanssa. Pian Cantor oli julkaisutoiminta Mittag-Leffler lehdessä Acta Mathematica, mutta hänen tärkeä sarja kuusi papereita Mathematische Annalen myös jatkoi näkyä. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ julkaistiin myös erillisenä monografiana, ja se oli erityisen tärkeä monesta syystä. Ensinnäkin Cantor ymmärtäneet, että hänen teoria asetetaan ei ole löytää hyväksyntää, että hän oli toivonut ja Grundlagen oli tarkoitus vastata kritiikkiin. Toiseksi: –
grundlagenin suurin saavutus oli sen esitys transfiniittiluvuista luonnollisten lukujen autonomisena ja systemaattisena jatkeena.
Cantor itse toteaa lehdessä varsin selvästi ymmärtävänsä ideoidensa vastustuksen voiman:-
… Ymmärrän, että tässä yrityksessä I sijoittaa itseni tietty opposition näkemyksiä laajalti hallussa koskevat matemaattinen ääretön ja mielipiteitä usein puolustanut luonne numerot.
toukokuun lopussa 1884 Cantor sai ensimmäisen kirjatun masennuskohtauksen. Hän toipui muutaman viikon kuluttua, mutta vaikutti nyt vähemmän itsevarmalta. Hän kirjoitti Mittag-Lefflerille kesäkuun lopussa: –
… En tiedä, milloin palaan tieteellisen työni jatkamiseen. Tällä hetkellä en voi tehdä mitään sen kanssa, ja rajoittaa itseäni kaikkein välttämätön velvollisuus minun luentoja; kuinka paljon onnellisempi olisin olla tieteellisesti aktiivinen, Jos vain minulla oli tarvittavat henkistä tuoreutta.
aikoinaan arveltiin, että hänen masennuksensa johtui matemaattisista huolista ja erityisesti hänen suhteensa Kroneckeriin aiheuttamista vaikeuksista. Viime aikoina kuitenkin parempi käsitys psyykkinen sairaus on tarkoittanut, että voimme nyt olla varmoja, että Cantor n matemaattinen huolet ja hänen vaikeita suhteita olivat suuresti suurennettu hänen masennus, mutta eivät olleet sen syy (KS.esimerkiksi ja). Tämän mielisairauden jälkeen 1884: –
… hän lomaili suosimassaan Harz-vuoristossa ja päätti jostain syystä yrittää sovintoa Kroneckerin kanssa. Kronecker hyväksyi ele, mutta se on ollut vaikea molemmat unohtaa vihollisuutensa ja filosofinen erimielisyydet niiden välillä pysyi ennallaan.
matemaattiset huolet alkoivat vaivata Cantoria tällä hetkellä, erityisesti hän alkoi huolestua siitä, ettei hän pystynyt todistamaan kontinuumihypoteesia, nimittäin sitä, että reaalilukujen äärettömyyden järjestys oli seuraava luonnollisten lukujen jälkeen. Itse asiassa hän ajatteli hän oli osoittautunut vääräksi, sitten seuraavana päivänä löysi hänen virheensä. Jälleen hän ajatteli hän oli osoittautunut todeksi vain uudelleen Nopeasti löytää hänen virhe.
kaikki ei mennyt hyvin myös muilla tavoin, sillä vuonna 1885 Mittag-Leffler vakuuttunut Cantor peruuttaa yksi hänen papereita Acta Mathematica, kun se oli saavuttanut todiste vaiheessa, koska hän ajatteli sitä ”… noin sata vuotta liian aikaisin”. Cantor vitsaili asiasta, mutta oli selvästi loukkaantunut:-
Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which me seemed too great a demand! … Mutta tietenkin en halua tietää enää mitään Acta Mathematica.
Mittag-Leffler tarkoitti tätä kiltteydeksi, mutta se ei osoita arvostusta Cantorin työn tärkeyttä kohtaan. Välinen kirjeenvaihto Mittag-Leffler ja Cantor kaikki, mutta pysähtyi pian tämän tapahtuman ja tulva uusia ideoita, jotka olivat johtaneet Cantor n nopea kehitys joukko-oppi yli noin 12 vuotta näyttää lähes pysähtynyt.
vuonna 1886 Cantor osti hienon uuden talon Händelstrasselta, saksalaissäveltäjä Händelin mukaan nimetyltä kadulta. Ennen vuoden loppua syntyi poika, joka sai kuusilapsisen perheensä päätökseen. Hän kääntyi matemaattinen kehitys joukko-oppi kohti kaksi uutta suuntaa, ensinnäkin keskustella filosofisia näkökohtia hänen teoriassa monet filosofit (hän julkaisi nämä kirjeet vuonna 1888) ja toiseksi haltuunoton jälkeen Clebsch kuoleman hänen ajatuksensa perustamisesta Deutsche Mathematiker-Vereinigung, jonka hän saavuttaa vuonna 1890. Cantor puheenjohtajana ensimmäisessä kokouksessa yhdistyksen Halle syyskuussa 1891, ja huolimatta katkera antagonismi välillä itse ja Kronecker, Cantor kutsui Kronecker käsitellä ensimmäisessä kokouksessa.
Kronecker ei kuitenkaan koskaan käsitellyt kokousta, sillä hänen vaimonsa loukkaantui vakavasti kiipeilyonnettomuudessa loppukesästä ja kuoli pian sen jälkeen. Cantor valittiin puheenjohtaja, Deutsche Mathematiker-Vereinigung ensimmäisessä kokouksessa ja piti tätä virkaa vuoteen 1893. Hän osallistui Münchenissä syyskuussa 1893 pidetyn yhdistyksen kokouksen järjestämiseen, mutta sairastui uudelleen ennen kokousta eikä voinut osallistua.
Cantor julkaisi vuonna 1894 melko oudon paperin, jossa lueteltiin, miten kaikki parilliset luvut 1000: een asti voitaisiin kirjoittaa kahden alkuluvun summana. Koska todentaminen Goldbach n arveluihin jopa 10000 oli tehty 40 vuotta ennen, on todennäköistä, että tämä outo paperi kertoo enemmän Cantor n mielentila kuin se tekee noin Goldbach n arveluihin.
hänen viimeinen suuri papers, joukko-oppi ilmestyi 1895 ja 1897, jälleen Mathematische Annalen nojalla Klein ’ s editorship, ja ovat hienoja tutkimuksia transfinite aritmeettinen. Melko pitkä kuilu kahden papereita johtuu siitä, että vaikka Cantor päättynyt kirjallisesti toinen osa kuusi kuukautta sen jälkeen, kun ensimmäinen osa on julkaistu, hän toivoi sisällyttää todiste kontinuumihypoteesin toisessa osassa. Se ei kuitenkaan ollut olla, mutta toisessa asiakirjassa kuvataan hänen teorian hyvin järjestetty asetetaan ja ordinal numerot.
vuonna 1897 Cantor osallistui ensimmäiseen kansainväliseen matemaatikkojen kongressiin Zürichissä. Luennoillaan kongressissa: –
… Hurwitz avoimesti ilmaisi hänen suurta ihailua Cantor ja julisti hänet yksi, jonka teorian tehtäviä on rikastettu. Jacques Hadamard ilmaisi mielipiteensä siitä, että käsitteet teorian asetetaan olivat tiedossa ja välttämättömiä välineitä.
kongressissa Cantor tapasi Dedekindin ja he uudistivat ystävyytensä. Kun kongressi kuitenkin Cantor oli löytänyt ensimmäinen paradokseja teorian asetetaan. Hän löysi paradokseja työskennellessään hänen survey papers, 1895 ja 1897, ja hän kirjoitti Hilbert vuonna 1896 selittää paradoksi hänelle. Burali-Forti löysi paradoksin itsenäisesti ja julkaisi sen vuonna 1897. Cantor alkoi kirjeenvaihto Dedekindin yrittää ymmärtää, miten ratkaista ongelmia, mutta toistuvia jaksoja hänen mielisairaus pakotti hänet lopettamaan kirjallisesti Dedekindin vuonna 1899.
aina kun Cantor kärsi masennusjaksoista, hän yleensä kääntyi pois matematiikasta ja kääntyi kohti filosofiaa ja hänen suurta kirjallista kiinnostustaan, joka oli uskomus, että Francis Bacon kirjoitti Shakespearen näytelmiä. Esimerkiksi hänen sairaus 1884 hän oli pyytänyt, että hän saa luento filosofian sijaan matematiikan ja hän oli alkanut hänen intensiivistä tutkimusta Elizabethan kirjallisuus yrittää todistaa hänen Bacon-Shakespeare teoriassa. Hän alkoi julkaista kirjallista kysymystä käsitteleviä pamfletteja vuosina 1896 ja 1897. Ylimääräistä stressiä Cantor kanssa kuoleman hänen äitinsä lokakuussa 1896 ja kuoleman hänen nuorempi veljensä tammikuussa 1899.
lokakuussa 1899 kanttori haki ja sai virkavapaata opetuksesta talvilukukaudeksi 1899-1900. Sitten 16 päivänä joulukuuta 1899 Cantor nuorin poika kuoli. Tästä lähtien elämänsä loppuun asti hän taisteli masennuksen mielisairautta vastaan. Hän jatkoi opettaa, mutta oli myös ottaa lomaa hänen opetus-useita talven lukukauden, jotka 1902-03, 1904-05 ja 1907-08. Cantor vietti myös jonkin aikaa parantolassa mielisairautensa pahimpien hyökkäysten aikaan vuodesta 1899 alkaen. Hän jatkaa työtä ja julkaista hänen Bacon-Shakespeare teoria ja varmasti ei luovu matematiikasta kokonaan. Hän saarnaa, paradokseja set theory on kokouksessa Deutsche Mathematiker-Vereinigung syyskuussa 1903, ja hän osallistui kansainvälisen kongressin matemaatikot klo Heidelbergissä elokuussa 1904.
vuonna 1905 Cantor kirjoitti uskonnollisen teoksen palattuaan kotiin loitsulta sairaalasta. Hän vastasi myös Jourdain, historia joukko-oppi ja hänen uskonnollinen traktaatti. Kun ottaa lomaa paljon 1909 perusteella hänen huonon terveyden hän suorittaa hänen yliopiston tehtäviä 1910 ja 1911. Se oli kyseisenä vuonna, että hän oli iloinen saadessaan kutsun University of St Andrews, Skotlanti osallistua 500 TH anniversary of the founding of the University kuin erottaa ulkomainen tutkija. Juhlat olivat 12-15 Syyskuuta 1911, mutta :-
vierailun aikana hän ilmeisesti alkoi käyttäytyä eksentrisesti puhuen pitkään Bacon-Shakespeare-kysymykseen; sitten hän matkusti muutamaksi päiväksi Lontooseen.
Cantor oli toivonut tapaavansa Russellin, joka oli juuri julkaissut teoksen ”Principia Mathematica”. Kuitenkin huono terveys ja uutinen, että hänen poikansa oli ottanut huonosti tehnyt Cantor palata Saksaan näkemättä Russell. Seuraavana vuonna Cantor sai kunniatohtorin arvon tohtorin, jonka University of St Andrews, mutta hän oli liian sairas saada aste henkilökohtaisesti.
Cantor jäi eläkkeelle vuonna 1913 ja vietti viimeiset vuotensa sairaana vähällä ravinnolla Saksan sotaolojen vuoksi. Cantorin 70-vuotissyntymäpäivän kunniaksi vuonna 1915 Hallessa suunniteltu suurtapahtuma jouduttiin perumaan sodan vuoksi, mutta pienempi tapahtuma järjestettiin hänen kotonaan. Kesäkuussa 1917 hän tuli parantola viimeisen kerran ja jatkuvasti kirjoitti hänen vaimonsa pyytää saada mennä kotiin. Hän kuoli sydänkohtaukseen.
Hilbert kuvasi Cantorin työtä seuraavasti:-
…matemaattisen nerouden hienoin tuote ja yksi puhtaasti älyllisen inhimillisen toiminnan korkeimmista saavutuksista.