biografie
Georg Cantor ‘ s vader, Georg Waldemar Cantor, was een succesvolle handelaar, werkzaam als groothandel agent in Sint-Petersburg, later als makelaar op de Sint-Petersburg Stock Exchange. Georg Waldemar Cantor werd geboren in Denemarken en hij was een man met een diepe liefde voor cultuur en kunst. Georg ‘ s moeder, Maria Anna Böhm, was Russisch en zeer muzikaal. Zeker Georg erfde aanzienlijke muzikale en artistieke talenten van zijn ouders als een uitstekende violist. Georg werd opgevoed als Protestant, dit is de religie van zijn vader, terwijl Georg ‘ s moeder Een Rooms-katholiek was.na een vroege thuisopleiding van een privéleraar ging Cantor naar de basisschool in Sint-Petersburg en in 1856, toen hij elf jaar oud was, verhuisde het gezin naar Duitsland. Cantor: –
… hij herinnerde zich zijn vroege jaren in Rusland met grote nostalgie en voelde zich nooit op zijn gemak in Duitsland, hoewel hij daar de rest van zijn leven woonde en schijnbaar nooit schreef in de Russische taal, die hij moet hebben gekend.Cantors vader had een slechte gezondheid en de verhuizing naar Duitsland was om een warmer klimaat te vinden dan de strenge winters van Sint-Petersburg. Eerst woonden ze in Wiesbaden, waar Cantor naar het Gymnasium ging, daarna verhuisden ze naar Frankfurt. Cantor studeerde aan de Realschule in Darmstadt, waar hij als kostwinner woonde. Hij studeerde af in 1860 met een uitstekend rapport, waarin met name zijn uitzonderlijke vaardigheden in de wiskunde, in het bijzonder trigonometrie genoemd werd. Na het bijwonen van de Höhere Gewerbeschule in Darmstadt vanaf 1860 ging hij in 1862 naar de Polytechnische Hogeschool van Zürich. De reden dat Cantor ‘ s vader ervoor koos om hem naar de höheren Gewerbeschule te sturen was dat hij wilde dat Cantor:-
zou worden… een stralende ster in het technische firmament.
echter, in 1862 had Cantor de toestemming van zijn vader gevraagd om wiskunde te studeren aan de universiteit en hij was dolblij toen zijn vader uiteindelijk toestemde. Zijn studies in Zürich werden echter afgebroken door de dood van zijn vader in juni 1863. Cantor verhuisde naar de Universiteit van Berlijn, waar hij bevriend raakte met Hermann Schwarz, een medestudent. Cantor woonde lezingen bij Van Weierstrass, Kummer en Kronecker. Hij bracht de zomerperiode van 1866 door aan de Universiteit van Göttingen en keerde terug naar Berlijn om in 1867 zijn proefschrift over de getaltheorie de aequationibus secundi gradus indeterminatis af te ronden.tijdens zijn studie aan de Universiteit van Berlijn raakte Cantor betrokken bij een student Mathematical Society, waar hij in 1864-65 voorzitter van de Society was. Hij maakte ook deel uit van een kleine groep jonge wiskundigen die elkaar wekelijks ontmoetten in een wijnhuis. Na zijn doctoraat in 1867 gaf Cantor les aan een meisjesschool in Berlijn. In 1868 trad hij toe tot het Schellbach-seminarie voor wiskundeleraren. Gedurende deze tijd werkte hij aan zijn habilitatie en, onmiddellijk na zijn benoeming tot Halle in 1869, presenteerde hij zijn proefschrift, opnieuw over de getaltheorie, en ontving zijn habilitatie.in Halle keerde de richting van Cantors onderzoek zich af van de getaltheorie naar de analyse. Dit was te danken aan Heine, een van zijn senior collega ‘ s bij Halle, die Cantor uitdaagde om het open probleem over de uniciteit van de representatie van een functie als een trigonometrische reeks te bewijzen. Dit was een moeilijk probleem dat tevergeefs was aangevallen door vele wiskundigen, waaronder Heine zelf en Dirichlet, Lipschitz en Riemann. Cantor loste het probleem op dat de representatie uniek was in April 1870. Tussen 1870 en 1872 publiceerde hij nog meer artikelen over trigonometrische reeksen en deze tonen allemaal de invloed van Weierstrass ‘ leer.Cantor werd gepromoveerd tot buitengewoon Professor aan Halle in 1872 en in dat jaar begon hij een vriendschap met Dedekind die hij had ontmoet tijdens zijn vakantie in Zwitserland. Cantor publiceerde in 1872 een artikel over trigonometrische reeksen waarin hij irrationele getallen definieerde in termen van convergente sequenties van rationale getallen. Dedekind publiceerde zijn definitie van de reële getallen door “Dedekind bezuinigingen” ook in 1872 en in dit artikel verwijst Dedekind naar Cantor ‘ s 1872 paper die Cantor hem had gestuurd.in 1873 bewees Cantor de rationale getallen aftelbaar, dat wil zeggen dat ze in één-één correspondentie met de natuurlijke getallen kunnen worden geplaatst. Hij toonde ook aan dat de algebraïsche getallen, dat wil zeggen de getallen die wortels zijn van veeltermvergelijkingen met gehele coëfficiënten, aftelbaar waren. Zijn pogingen om te bepalen of de reële getallen aftelbaar waren, bleken echter moeilijker. Hij had in December 1873 bewezen dat de reële getallen niet telbaar waren en publiceerde dit in 1874 in een paper. Het is in dit artikel dat het idee van een één-één correspondentie voor het eerst verschijnt, maar het is alleen impliciet in dit werk.
een transcendentaal getal is een irrationeel getal dat geen wortel is van een veeltermvergelijking met gehele coëfficiënten. Liouville stelde in 1851 dat transcendentale getallen bestaan. Twintig jaar later, in dit werk uit 1874, toonde Cantor aan dat in zekere zin ‘bijna alle’ getallen transcendentaal zijn door te bewijzen dat de reële getallen niet telbaar waren, terwijl hij had bewezen dat de algebraïsche getallen wel telbaar waren.
Cantor naar voren gedrukt, het uitwisselen van brieven door met Dedekind. De volgende vraag die hij zich stelde, in januari 1874, was of het eenheidsvierkant in een lijn van eenheidslengte met een 1-1 correspondentie van punten op elk kon worden gekarakteriseerd. In een brief aan Dedekind van 5 januari 1874 schreef hij :-kan een oppervlak (bijvoorbeeld een vierkant dat de grens omvat) uniek worden doorverwezen naar een lijn (bijvoorbeeld een lijnsegment dat de eindpunten omvat) zodat voor elk punt op het oppervlak er een overeenkomstig punt van de lijn is en, omgekeerd, voor elk punt van de lijn er een overeenkomstig punt van het oppervlak is? Ik denk dat het beantwoorden van deze vraag geen gemakkelijke taak zou zijn, ondanks het feit dat het antwoord zo duidelijk “nee” lijkt te zijn dat bewijs bijna overbodig lijkt.
het jaar 1874 was een belangrijk jaar in Cantors persoonlijke leven. In de lente van dat jaar verloofde hij zich met Vally Guttmann, een vriend van zijn zus. Ze trouwden op 9 augustus 1874 en brachten hun huwelijksreis door in Interlaken in Zwitserland, waar Cantor veel tijd doorbracht in wiskundige discussies met Dedekind.Cantor bleef corresponderen met Dedekind, deelde zijn ideeën en zocht naar Dedekind ‘ s meningen, en hij schreef Dedekind in 1877 om te bewijzen dat er een 1-1 correspondentie was van punten op het interval en punten in de PPP-dimensionale ruimte. Cantor was verrast door zijn eigen ontdekking en schreef: –
ik zie het, maar ik geloof het niet!
dit had natuurlijk implicaties voor de meetkunde en de notie van dimensie van een ruimte. Een belangrijk artikel over dimensie dat Cantor in 1877 aan Crelle ‘ s Journal heeft voorgelegd, werd door Kronecker met argwaan behandeld en pas gepubliceerd nadat Dedekind namens Cantor tussenbeide was gekomen. Cantor had een grote hekel aan Kronecker ’s verzet tegen zijn werk en diende nooit meer papieren in Crelle’ s dagboek.het artikel over dimensie dat verscheen in Crelle ‘ s Journal in 1878 maakt de concepten van 1-1 correspondentie nauwkeurig. Het artikel bespreekt ontelbare verzamelingen, d.w.z. die welke in 1-1 corresponderen met de natuurlijke getallen. Het bestudeert sets van gelijke macht, dat wil zeggen die sets die in 1-1 correspondentie met elkaar. Cantor besprak ook het begrip dimensie en benadrukte het feit dat zijn correspondentie tussen het interval en het eenheidsvierkant geen continue kaart was.tussen 1879 en 1884 publiceerde Cantor een reeks van zes artikelen in Mathematische Annalen, bedoeld om een basisinleiding tot de verzamelingenleer te geven. Klein kan een grote invloed hebben gehad op de publicatie ervan door Mathematische Annalen. Er deden zich in deze jaren echter een aantal problemen voor die voor Cantor moeilijk bleken te zijn. Hoewel hij in 1879 was gepromoveerd tot hoogleraar op aanbeveling van Heine, had Cantor gehoopt op een leerstoel aan een meer prestigieuze universiteit. Zijn langdurige correspondentie met Schwarz eindigde in 1880 toen de oppositie tegen Cantors ideeën bleef groeien en Schwarz niet langer de richting steunde die Cantors werk ging. In oktober 1881 overleed Heine en er was een vervanger nodig om de stoel in Halle te vullen.Cantor stelde een lijst op van drie wiskundigen om Heine ‘ s leerstoel te vullen en de lijst werd goedgekeurd. Het plaatste Dedekind op de eerste plaats, gevolgd door Heinrich Weber en uiteindelijk Mertens. Het was zeker een zware klap voor Cantor toen Dedekind het aanbod in het begin van 1882 afsloeg, en de klap werd alleen maar erger gemaakt door Heinrich Weber en vervolgens Mertens declining ook. Nadat een nieuwe lijst was opgesteld, werd Wangerin benoemd, maar hij vormde nooit een nauwe relatie met Cantor. De rijke wiskundige correspondentie tussen Cantor en Dedekind eindigde later in 1882.bijna op hetzelfde moment dat de Cantor-Dedekind correspondentie eindigde, begon Cantor een andere belangrijke correspondentie met Mittag-Leffler. Al snel publiceerde Cantor in Mittag-Leffler ‘ s tijdschrift Acta Mathematica, maar zijn belangrijke serie van zes artikelen in Mathematische Annalen bleef ook verschijnen. Het vijfde artikel in deze serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ werd ook gepubliceerd als een afzonderlijke monografie en was om een aantal redenen bijzonder belangrijk. Ten eerste realiseerde Cantor zich dat zijn theorie van Verzamelingen niet de acceptatie vond die hij had gehoopt en de Grundlagen was ontworpen om op de kritiek te reageren. Ten tweede: –
Het belangrijkste resultaat van de Grundlagen was de presentatie van de transfiniete getallen als een autonome en systematische uitbreiding van de natuurlijke getallen.
Cantor zelf stelt in het artikel heel duidelijk dat hij zich bewust is van de kracht van de oppositie tegen zijn ideeën:-
… Ik besef dat ik mij in deze onderneming in zekere mate verzet tegen opvattingen die wijdverbreid zijn over het mathematische oneindige en tegen meningen die vaak worden verdedigd over de aard van getallen.aan het einde van mei 1884 had Cantor de eerste geregistreerde aanval van depressie. Hij herstelde na een paar weken, maar leek nu minder zelfverzekerd. Eind juni schreef hij aan Mittag-Leffler: –
… Ik weet niet wanneer Ik zal terugkeren naar de voortzetting van mijn wetenschappelijk werk. Op dit moment kan ik er absoluut niets mee doen, en mij beperken tot de meest noodzakelijke plicht van mijn lezingen; hoeveel gelukkiger zou ik zijn om wetenschappelijk actief te zijn, als ik maar de nodige mentale frisheid had.op een gegeven moment werd gedacht dat zijn depressie werd veroorzaakt door wiskundige zorgen en als gevolg van moeilijkheden van zijn relatie met Kronecker in het bijzonder. Onlangs echter heeft een beter begrip van psychische aandoeningen ertoe geleid dat we er nu zeker van kunnen zijn dat Cantors wiskundige zorgen en zijn moeilijke relaties sterk werden vergroot door zijn depressie, maar niet de oorzaak ervan waren (zie bijvoorbeeld en ). Na deze geestesziekte van 1884 : –
… hij nam een vakantie in zijn favoriete Harz bergen en om een of andere reden besloot hij zich te verzoenen met Kronecker. Kronecker accepteerde het gebaar, maar het moet voor hen beiden moeilijk zijn geweest om hun vijandigheden te vergeten en de filosofische meningsverschillen tussen hen bleven onaangetast.
wiskundige zorgen begonnen Cantor in deze tijd lastig te vallen, in het bijzonder begon hij zich zorgen te maken dat hij de continuümhypothese niet kon bewijzen, namelijk dat de oneindigheidsorde van de reële getallen de volgende was na die van de natuurlijke getallen. In feite dacht hij dat hij het vals had bewezen, toen de volgende dag vond zijn fout. Opnieuw dacht hij dat hij had bewezen dat het waar was maar weer snel zijn fout te vinden.in 1885 haalde Mittag-Leffler Cantor over om een van zijn papers uit Acta Mathematica terug te trekken toen het het bewijsstadium had bereikt omdat hij het dacht.”.. ongeveer honderd jaar te vroeg”. Cantor grapte erover, maar was duidelijk gekwetst: –
Als Mittag-Leffler zijn zin had gehad, zou ik moeten wachten tot het jaar 1984, wat mij een te grote vraag leek! … Maar natuurlijk wil ik nooit meer iets weten over Acta Mathematica.
Mittag-Leffler bedoelde dit als een vriendelijkheid, maar het toont een gebrek aan waardering voor het belang van Cantors werk. De correspondentie tussen Mittag-Leffler en Cantor stopte bijna kort na deze gebeurtenis en de stroom van nieuwe ideeën die had geleid tot Cantors snelle ontwikkeling van de verzamelingenleer over ongeveer 12 jaar lijkt bijna te zijn gestopt.in 1886 kocht Cantor een mooi nieuw huis aan de Händelstrasse, een straat genoemd naar de Duitse componist Händel. Voor het einde van het jaar werd een zoon geboren, die zijn gezin van zes kinderen vervolledigde. Hij keerde zich van de wiskundige ontwikkeling van de verzamelingenleer naar twee nieuwe richtingen, ten eerste besprak hij de filosofische aspecten van zijn theorie met vele filosofen (hij publiceerde deze brieven in 1888) en ten tweede nam hij na Clebsch ‘ s dood zijn idee over om de Deutsche Mathematiker-Vereinigung op te richten die hij in 1890 bereikte. Cantor was voorzitter van de eerste vergadering van de Vereniging in Halle in september 1891, en ondanks de bittere tegenstelling tussen hem en Kronecker, nodigde Cantor Kronecker uit om de eerste vergadering toe te spreken.Kronecker sprak de vergadering echter niet toe, omdat zijn vrouw in de late zomer ernstig gewond raakte bij een klimongeval en kort daarna overleed. Cantor werd verkozen tot voorzitter van de Deutsche Mathematiker-Vereinigung tijdens de eerste vergadering en bekleedde deze functie tot 1893. Hij hielp bij het organiseren van de vergadering van de Vereniging in München in September 1893, maar hij werd opnieuw ziek voor de vergadering en kon niet aanwezig zijn.Cantor publiceerde in 1894 een nogal vreemd artikel waarin de manier werd opgesomd waarop alle even getallen tot 1000 kunnen worden geschreven als de som van twee priemgetallen. Aangezien een verificatie van Goldbachs vermoeden tot 10000 40 jaar eerder was gedaan, is het waarschijnlijk dat dit vreemde artikel meer zegt over Cantors gemoedstoestand dan over Goldbachs vermoeden.zijn laatste belangrijke artikelen over de verzamelingenleer verschenen in 1895 en 1897, opnieuw in Mathematische Annalen onder Klein ‘ s redacteurschap. De vrij lange kloof tussen de twee papers is te wijten aan het feit dat hoewel Cantor klaar met het schrijven van het tweede deel zes maanden na het eerste deel werd gepubliceerd, hij hoopte een bewijs van de continuüm hypothese in het tweede deel op te nemen. Het zou echter niet zo zijn, maar het tweede artikel beschrijft zijn theorie van goed geordende verzamelingen en ordinale getallen.in 1897 woonde Cantor het eerste internationale Wiskundecongres in Zürich bij. In hun lezingen op het Congres: –
… Hurwitz uitte openlijk zijn grote bewondering voor Cantor en verkondigde hem als iemand door wie de theorie van functies is verrijkt. Jacques Hadamard was van mening dat de noties van de theorie van Verzamelingen bekend en onmisbaar waren.
op het Congres ontmoette Cantor Dedekind en ze hernieuwden hun vriendschap. Tegen de tijd van het Congres had Cantor echter de eerste van de paradoxen in de theorie van Verzamelingen ontdekt. Hij ontdekte de paradoxen tijdens het werken aan zijn survey papers van 1895 en 1897 en hij schreef in 1896 aan Hilbert om hem de paradox uit te leggen. Burali-Forti ontdekte de paradox onafhankelijk en publiceerde deze in 1897. Cantor begon een correspondentie met Dedekind om te proberen te begrijpen hoe de problemen op te lossen, maar terugkerende aanvallen van zijn geestesziekte dwong hem om te stoppen met schrijven naar Dedekind in 1899.wanneer Cantor aan periodes van depressie leed, keerde hij zich vaak af van de wiskunde en richtte hij zich op filosofie en zijn grote literaire interesse, wat een geloof was dat Francis Bacon Shakespeare ‘ s toneelstukken schreef. Bijvoorbeeld in zijn ziekte van 1884 had hij gevraagd dat hij mocht lesgeven over filosofie in plaats van wiskunde en hij was begonnen met zijn intensieve studie van Elizabethaanse literatuur in een poging om zijn Bacon-Shakespeare theorie te bewijzen. Hij begon in 1896 en 1897 met het publiceren van pamfletten over de literaire kwestie. Extra druk werd gelegd op Cantor met de dood van zijn moeder in oktober 1896 en de dood van zijn jongere broer in januari 1899.in oktober 1899 vroeg Cantor verlof aan voor het Wintersemester van 1899-1900. Op 16 December 1899 overleed Cantors jongste zoon. Vanaf deze tijd tot het einde van zijn leven vocht hij tegen de geestesziekte van depressie. Hij bleef lesgeven, maar moest ook een aantal winterse semesters afleggen, die van 1902-03, 1904-05 en 1907-08. Cantor verbleef ook enige tijd in sanatoria, ten tijde van de ergste aanvallen van zijn geestesziekte, vanaf 1899. Hij bleef werken en publiceren op zijn Bacon-Shakespeare theorie en zeker niet opgeven wiskunde volledig. Hij doceerde over de paradoxen van de verzamelingenleer op een bijeenkomst van de Deutsche Mathematiker-Vereinigung in September 1903 en hij woonde het Internationaal Wiskundecongres in Heidelberg in augustus 1904 bij.in 1905 schreef Cantor een religieus werk na thuiskomst van een spreuk in het ziekenhuis. Hij correspondeerde ook met Jourdain over de geschiedenis van de verzamelingenleer en zijn religieuze traktaat. Na het nemen van verlof voor een groot deel van 1909 op grond van zijn slechte gezondheid vervulde hij zijn universitaire taken voor 1910 en 1911. Het was in dat jaar dat hij was blij om een uitnodiging van de Universiteit van St Andrews in Schotland te ontvangen om de 500e verjaardag van de oprichting van de Universiteit bij te wonen als een distinguished foreign scholar. De vieringen waren 12-15 September 1911, maar :-
tijdens het bezoek begon hij zich excentriek te gedragen en lang te praten over de Bacon-Shakespeare-kwestie; daarna reisde hij een paar dagen naar Londen.
Cantor had gehoopt Russell te ontmoeten die net de Principia Mathematica had gepubliceerd. Maar de slechte gezondheid en het nieuws dat zijn zoon ziek was geworden zorgden ervoor dat Cantor naar Duitsland terugkeerde zonder Russell te zien. Het volgende jaar Cantor werd bekroond met de eredoctoraat van Doctor of Laws door de Universiteit van St Andrews, maar hij was te ziek om de graad in persoon te ontvangen.Cantor ging in 1913 met pensioen en bracht zijn laatste jaren ziek door met weinig voedsel vanwege de oorlogsomstandigheden in Duitsland. Een belangrijk evenement in Halle ter gelegenheid van de 70e verjaardag van Mark Cantor in 1915 moest vanwege de oorlog worden geannuleerd, maar een kleiner evenement werd in zijn huis gehouden. In juni 1917 gaat hij voor de laatste keer een sanatorium binnen en schrijft voortdurend aan zijn vrouw om naar huis te mogen gaan. Hij stierf aan een hartaanval.
Hilbert beschreef Cantor ’s werk als: –…het beste product van wiskundig genie en een van de allerhoogste prestaties van zuiver intellectuele menselijke activiteit.