Biografie
Georg Cantors Vater, Georg Waldemar Cantor, war ein erfolgreicher Kaufmann und arbeitete als Großhändler in St. Petersburg, später als Makler an der St. Petersburger Börse. Georg Waldemar Cantor wurde in Dänemark geboren und war ein Mann mit einer tiefen Liebe zur Kultur und Kunst. Georgs Mutter, Maria Anna Böhm, war Russin und sehr musikalisch. Sicherlich hat Georg von seinen Eltern als herausragender Geiger ein beachtliches musikalisches und künstlerisches Talent geerbt. Georg wurde protestantisch erzogen, dies war die Religion seines Vaters, während Georgs Mutter römisch-katholisch war.Nach der frühen Erziehung zu Hause von einem Privatlehrer besuchte Cantor die Grundschule in St. Petersburg, dann im Jahre 1856, als er elf Jahre alt war, zog die Familie nach Deutschland. Allerdings Cantor :-
… erinnerte sich mit großer Nostalgie an seine frühen Jahre in Russland und fühlte sich in Deutschland nie wohl, obwohl er dort den Rest seines Lebens lebte und scheinbar nie in russischer Sprache schrieb, was er gewusst haben muss.
Cantors Vater hatte einen schlechten Gesundheitszustand und der Umzug nach Deutschland sollte ein wärmeres Klima finden als die harten Winter in St. Petersburg. Zuerst lebten sie in Wiesbaden, wo Cantor das Gymnasium besuchte, dann zogen sie nach Frankfurt. Kantor studierte an der Realschule in Darmstadt, wo er als Grenzgänger lebte. Er schloss sein Studium 1860 mit einem hervorragenden Bericht ab, in dem insbesondere seine außergewöhnlichen Fähigkeiten in Mathematik, insbesondere in der Trigonometrie, erwähnt wurden. Nach dem Besuch der Höheren Gewerbeschule in Darmstadt ab 1860 trat er 1862 in das Polytechnikum Zürich ein. Der Grund, warum Cantors Vater ihn auf die Höhere Gewerbeschule schickte, war, dass er Cantor werden wollte:-
… ein leuchtender Stern am Engineering Firmament.
Doch im Jahre 1862 hatte Cantor suchte seines Vaters Erlaubnis zum Studium der Mathematik an der Universität und er war überglücklich, als schließlich sein Vater zugestimmt. Sein Studium in Zürich wurde jedoch durch den Tod seines Vaters im Juni 1863 unterbrochen. Cantor zog an die Universität Berlin, wo er sich mit Hermann Schwarz anfreundete, der ein Kommilitone war. Cantor besuchte Vorträge von Weierstraß, Kummer und Kronecker. Er verbrachte das Sommersemester 1866 an der Universität Göttingen, Rückkehr nach Berlin, um seine Dissertation über Zahlentheorie De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ in 1867.
Während in Berlin Cantor wurde viel mit einem Studenten Mathematische Gesellschaft, als Präsident der Gesellschaft während 1864-65. Er war auch Teil einer kleinen Gruppe junger Mathematiker, die sich wöchentlich in einem Weinhaus trafen. Nach seiner Promotion 1867 unterrichtete Cantor an einer Mädchenschule in Berlin. Dann, im Jahre 1868, trat er dem Schellbach Seminar für Mathematiklehrer. Während dieser Zeit arbeitete er an seiner Habilitation und, unmittelbar nach seiner Berufung nach Halle im Jahre 1869, präsentierte er seine Dissertation, wieder auf Zahlentheorie, und erhielt seine Habilitation.
In Halle die Richtung der Cantor’s Forschung wandte sich weg von der Zahlentheorie und in Richtung Analyse. Dies lag an Heine, einem seiner älteren Kollegen in Halle, der Cantor herausforderte, das offene Problem der Einzigartigkeit der Darstellung einer Funktion als trigonometrische Reihe zu beweisen. Dies war ein schwieriges Problem, das erfolglos angegriffen worden war von vielen Mathematikern, darunter Heine selbst sowie Dirichlet, Lipschitz und Riemann. Cantor löste das Problem der Eindeutigkeit der Darstellung bis April 1870. Er veröffentlichte weitere Papiere zwischen 1870 und 1872 Umgang mit trigonometrischen Reihen und diese alle zeigen den Einfluss von Weierstraß’s Lehre.
Cantor wurde zum Außerordentlichen Professor in Halle im Jahre 1872 und in diesem Jahr begann er eine Freundschaft mit Dedekind, den er getroffen hatte, während im Urlaub in der Schweiz. Cantor veröffentlichte 1872 eine Abhandlung über trigonometrische Reihen, in der er irrationale Zahlen als konvergente Folgen rationaler Zahlen definierte. Dedekind veröffentlichte seine Definition der reellen Zahlen durch „Dedekind cuts“ auch im Jahr 1872 und in diesem Papier Dedekind bezieht sich auf Cantors 1872 Papier, das Cantor ihm geschickt hatte.1873 bewies Cantor, dass die rationalen Zahlen zählbar sind, d.h. sie können in eine Eins-Zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden. Er zeigte auch, dass die algebraischen Zahlen, dh die Zahlen, die Wurzeln von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten sind, zählbar waren. Seine Versuche zu entscheiden, ob die reellen Zahlen zählbar waren, erwiesen sich jedoch als schwieriger. Er hatte bewiesen, dass die reellen Zahlen bis Dezember 1873 nicht zählbar waren, und dies 1874 in einer Arbeit veröffentlicht. In dieser Arbeit erscheint zum ersten Mal die Idee einer Eins-Zu-Eins-Korrespondenz, die jedoch nur in dieser Arbeit enthalten ist.Eine transzendentale Zahl ist eine irrationale Zahl, die keine Wurzel einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Liouville stellte 1851 fest, dass transzendentale Zahlen existieren. Zwanzig Jahre später zeigte Cantor in diesem Werk von 1874, dass in gewissem Sinne ‚fast alle‘ Zahlen transzendental sind, indem er bewies, dass die reellen Zahlen nicht zählbar waren, während er bewiesen hatte, dass die algebraischen Zahlen zählbar waren.Cantor drängte vorwärts und tauschte Briefe mit Dedekind aus. Die nächste Frage, die er sich im Januar 1874 stellte, war, ob das Einheitsquadrat in eine Linie der Einheitslänge mit einer 1: 1-Entsprechung von Punkten auf jedem abgebildet werden könnte. In einem Brief an Dedekind vom 5. Januar 1874 schrieb er :-
Kann eine Fläche (z. B. ein Quadrat, das die Grenze enthält) eindeutig auf eine Linie (z. B. ein gerades Liniensegment, das die Endpunkte enthält) bezogen werden, sodass für jeden Punkt auf der Oberfläche ein entsprechender Punkt der Linie und umgekehrt für jeden Punkt der Linie ein entsprechender Punkt der Oberfläche vorhanden ist? Ich denke, dass die Beantwortung dieser Frage keine leichte Aufgabe wäre, obwohl die Antwort so klar „Nein“ zu sein scheint, dass ein Beweis fast unnötig erscheint.
Das Jahr 1874 war ein wichtiges Jahr in Cantors Privatleben. Im Frühjahr desselben Jahres verlobte er sich mit Vally Guttmann, einer Freundin seiner Schwester. Sie heirateten am 9. August 1874 und verbrachten Ihre Flitterwochen in Interlaken in der Schweiz, wo Cantor verbrachte viel Zeit in mathematischen Diskussionen mit Dedekind.Cantor korrespondierte weiterhin mit Dedekind, teilte seine Ideen mit und suchte nach Dedekinds Meinungen, und er schrieb 1877 an Dedekind, um zu beweisen, dass es eine 1: 1-Entsprechung von Punkten im Intervall und Punkten im ppp-dimensionalen Raum gab. Cantor war überrascht über seine eigene Entdeckung und schrieb: –
Ich sehe es, aber ich glaube es nicht!
Natürlich hatte dies Auswirkungen auf die Geometrie und den Begriff der Dimension eines Raumes. Ein wichtiges Papier über die Dimension, die Cantor vorgelegt Crelle’s Journal im Jahr 1877 wurde mit Argwohn behandelt von Kronecker, und nur veröffentlicht, nachdem Dedekind intervenierte auf Cantor’s Namen. Cantor ärgerte sich sehr über Kroneckers Widerstand gegen seine Arbeit und legte Crelle’s Journal nie weitere Arbeiten vor.Das Papier über die Dimension, das 1878 in Crelle’s Journal erschien, macht die Konzepte der 1-1-Korrespondenz präzise. Das Papier diskutiert zählbare Mengen, d.h. diejenigen, die in 1-1 Übereinstimmung mit den natürlichen Zahlen sind. Es untersucht Sätze gleicher Potenz, d.h. jene Sätze, die in 1-1 Korrespondenz miteinander stehen. Cantor diskutierte auch das Konzept der Dimension und betonte die Tatsache, dass seine Korrespondenz zwischen dem Intervall und dem Einheitsquadrat keine kontinuierliche Karte war.Zwischen 1879 und 1884 Cantor veröffentlichte eine Reihe von sechs Papieren in Mathematische Annalen entwickelt, um eine grundlegende Einführung in die Mengenlehre. Klein hat möglicherweise einen großen Einfluss auf mit Mathematische Annalen veröffentlicht. In diesen Jahren gab es jedoch eine Reihe von Problemen, die sich für Cantor als schwierig erwiesen. Obwohl er 1879 auf Heines Empfehlung zum ordentlichen Professor befördert worden war, hatte Cantor auf einen Lehrstuhl an einer angeseheneren Universität gehofft. Seine langjährige Korrespondenz mit Schwarz endete 1880, als der Widerstand gegen Cantors Ideen weiter zunahm und Schwarz die Richtung von Cantors Arbeit nicht mehr unterstützte. Dann im Oktober 1881 starb Heine und ein Ersatz wurde benötigt, um den Stuhl in Halle zu füllen.
Cantor zog eine Liste von drei Mathematiker zu füllen Heine’s Stuhl und die Liste wurde genehmigt. Es platzierte Dedekind auf dem ersten Platz, gefolgt von Heinrich Weber und schließlich Mertens. Es war sicherlich ein schwerer Schlag für Cantor, als Dedekind das Angebot Anfang 1882 ablehnte, und der Schlag wurde durch Heinrich Weber und dann auch Mertens nur noch schlimmer. Nachdem eine neue Liste aufgestellt worden war, wurde Wangerin ernannt, aber er bildete nie eine nahe Beziehung mit Kantor. Die reiche mathematische Korrespondenz zwischen Cantor und Dedekind endete später im Jahre 1882.Fast zur gleichen Zeit, als die Korrespondenz zwischen Cantor und Dedekind endete, begann Cantor eine weitere wichtige Korrespondenz mit Mittag-Leffler. Bald Cantor wurde die Veröffentlichung in Mittag-Leffler’s Journal Acta Mathematica aber seine wichtige Reihe von sechs Papieren in Mathematische Annalen auch weiterhin erscheinen. Das fünfte Papier in dieser Reihe Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ wurde ebenfalls als separate Monographie veröffentlicht und war aus mehreren Gründen besonders wichtig. Zunächst erkannte Cantor, dass seine Mengenlehre nicht die erhoffte Akzeptanz fand, und die Grundlagen sollten auf die Kritik antworten. Zweitens :-
Die Hauptleistung der Grundlagen war die Darstellung der transfiniten Zahlen als autonome und systematische Erweiterung der natürlichen Zahlen.
Cantor selbst stellt in dem Papier ganz klar fest, dass er die Stärke der Opposition gegen seine Ideen erkennt:-
… Ich erkenne, daß ich mich in diesem Bestreben in einen gewissen Gegensatz zu den weit verbreiteten Ansichten über das mathematische Unendliche und zu den häufig vertretenen Meinungen über die Natur der Zahlen versetze.
Ende Mai 1884 hatte Cantor den ersten aufgezeichneten Anfall von Depressionen. Er erholte sich nach ein paar Wochen, aber jetzt schien weniger zuversichtlich. Er schrieb Mittag-Leffler Ende Juni:-
… Ich weiß nicht, wann ich zur Fortsetzung meiner wissenschaftlichen Arbeit zurückkehren werde. Im Augenblick kann ich damit gar nichts anfangen und beschränke mich auf die notwendigste Pflicht meiner Vorlesungen; wie viel glücklicher wäre ich, wissenschaftlich tätig zu sein, wenn ich nur die nötige geistige Frische hätte.
Zu einer Zeit wurde angenommen, dass seine Depression durch mathematische Sorgen und insbesondere durch Schwierigkeiten seiner Beziehung zu Kronecker verursacht wurde. In letzter Zeit hat jedoch ein besseres Verständnis von psychischen Erkrankungen dazu geführt, dass wir jetzt sicher sein können, dass Cantors mathematische Sorgen und seine schwierigen Beziehungen durch seine Depression stark vergrößert wurden, aber nicht ihre Ursache waren (siehe zum Beispiel und ). Nach dieser Geisteskrankheit von 1884 :-
… er machte Urlaub in seinem Lieblingsharz und beschloss aus irgendeinem Grund, sich mit Kronecker zu versöhnen. Kronecker akzeptierte die Geste, aber es muss für beide schwierig gewesen sein, ihre Feindschaften zu vergessen, und die philosophischen Meinungsverschiedenheiten zwischen ihnen blieben unberührt.
Mathematische Sorgen begannen Cantor zu dieser Zeit zu beunruhigen, insbesondere begann er sich Sorgen zu machen, dass er die Kontinuumshypothese nicht beweisen konnte, nämlich dass die Reihenfolge der Unendlichkeit der reellen Zahlen die nächste nach der der natürlichen Zahlen war. Tatsächlich dachte er, er hätte es falsch bewiesen, dann fand er am nächsten Tag seinen Fehler. Wieder dachte er, er hätte es nur wieder bewiesen, um schnell seinen Fehler zu finden.Alles war nicht gut auf andere Weise auch, denn im Jahre 1885 Mittag-Leffler überredet Cantor zurückziehen eines seiner Papiere aus Acta Mathematica, wenn es erreicht hatte, der Beweis Bühne, weil er dachte, es „… etwa hundert Jahre zu früh“. Cantor scherzte darüber, war aber deutlich verletzt:-
Hätte Mittag-Leffler seinen Weg gehabt, müsste ich bis zum Jahr 1984 warten, was mir eine zu große Nachfrage erschien! … Aber natürlich möchte ich nie wieder etwas über Acta Mathematica wissen.
Mittag-Leffler meinte dies als Freundlichkeit, aber es zeigt einen Mangel an Wertschätzung für die Bedeutung von Kantors Arbeit. Die Korrespondenz zwischen Mittag-Leffler und Cantor hörte kurz nach diesem Ereignis auf und die Flut neuer Ideen, die zu Cantors rascher Entwicklung der Mengenlehre über etwa 12 Jahre geführt hatte, scheint fast aufgehört zu haben.
1886 kaufte Cantor ein schönes neues Haus in der Händelstraße, einer Straße, die nach dem deutschen Komponisten Händel benannt ist. Vor Ende des Jahres wurde ein Sohn geboren, der seine Familie mit sechs Kindern vervollständigte. Er wandte sich von der mathematischen Entwicklung der Mengenlehre in Richtung zwei neue Richtungen, erstens diskutieren die philosophischen Aspekte seiner Theorie mit vielen Philosophen (er veröffentlichte diese Briefe im Jahre 1888) und zweitens die Übernahme nach Clebsch ’s Tod seine Idee der Gründung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die er erreicht im Jahre 1890. Cantor leitete die erste Sitzung des Vereins in Halle im September 1891, und trotz des erbitterten Antagonismus zwischen ihm und Kronecker lud Cantor Kronecker ein, bei der ersten Sitzung zu sprechen.
Kronecker sprach das Treffen jedoch nie an, da seine Frau im Spätsommer bei einem Kletterunfall schwer verletzt wurde und kurz darauf starb. Cantor wurde zum Präsidenten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in der ersten Sitzung und hielt dieses Amt bis 1893. Er half bei der Organisation der Versammlung des Vereins in München im September 1893, aber er erkrankte wieder vor der Sitzung und konnte nicht teilnehmen.Cantor veröffentlichte 1894 ein ziemlich seltsames Papier, in dem die Art und Weise aufgelistet wurde, wie alle geraden Zahlen bis 1000 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden konnten. Da eine Verifikation von Goldbachs Vermutung bis zu 10000 40 Jahre zuvor durchgeführt worden war, ist es wahrscheinlich, dass dieses seltsame Papier mehr über Cantors Geisteszustand aussagt als über Goldbachs Vermutung.Seine letzten großen Arbeiten über Mengenlehre erschien 1895 und 1897, wieder in Mathematische Annalen unter Klein ’s Redaktion, und sind feine Erhebungen der transfinite Arithmetik. Die ziemlich lange Lücke zwischen den beiden Papieren ist darauf zurückzuführen, dass Cantor, obwohl er den zweiten Teil sechs Monate nach der Veröffentlichung des ersten Teils fertig geschrieben hatte, hoffte, einen Beweis für die Kontinuumshypothese in den zweiten Teil aufzunehmen. Es sollte jedoch nicht sein, aber das zweite Papier beschreibt seine Theorie der geordneten Mengen und Ordnungszahlen.1897 nahm Cantor am ersten Internationalen Mathematikerkongress in Zürich teil. In ihren Vorträgen auf dem Kongress :-
… Hurwitz drückte offen seine große Bewunderung für Cantor aus und proklamierte ihn als einen, durch den die Theorie der Funktionen bereichert wurde. Jacques Hadamard äußerte seine Meinung, dass die Begriffe der Mengenlehre bekannte und unverzichtbare Instrumente seien.
Auf dem Kongress traf Cantor Dedekind und sie erneuerten ihre Freundschaft. Zum Zeitpunkt des Kongresses hatte Cantor jedoch das erste der Paradoxe in der Mengenlehre entdeckt. Er entdeckte die Paradoxien während der Arbeit an seinen Umfragearbeiten von 1895 und 1897 und schrieb 1896 an Hilbert, um ihm das Paradoxon zu erklären. Burali-Forti entdeckte das Paradoxon unabhängig und veröffentlichte es 1897. Cantor begann eine Korrespondenz mit Dedekind, um zu versuchen zu verstehen, wie man die Probleme löst, aber wiederkehrende Anfälle seiner Geisteskrankheit zwangen ihn, 1899 aufzuhören, an Dedekind zu schreiben.Wann immer Cantor an Depressionen litt, neigte er dazu, sich von der Mathematik abzuwenden und sich der Philosophie und seinem großen literarischen Interesse zuzuwenden, das ein Glaube war, dass Francis Bacon Shakespeares Stücke schrieb. Zum Beispiel in seiner Krankheit von 1884 hatte er darum gebeten, dass er erlaubt sein Vortrag über Philosophie statt Mathematik und er hatte begonnen, seine intensive Studium der elisabethanischen Literatur bei dem Versuch, zu beweisen, seine Speck-Shakespeare-Theorie. Er begann 1896 und 1897, Broschüren über die literarische Frage zu veröffentlichen. Zusätzlicher Stress wurde Cantor mit dem Tod seiner Mutter im Oktober 1896 und dem Tod seines jüngeren Bruders im Januar 1899 auferlegt.
Im Oktober 1899 bewarb sich Cantor für das Wintersemester 1899-1900 um Lehrbefreiung. Am 16.Dezember 1899 starb Cantors jüngster Sohn. Von dieser Zeit an bis zu seinem Lebensende kämpfte er gegen die Geisteskrankheit Depression. Er lehrte zwar weiter, musste sich aber für einige Wintersemester, die 1902-03, 1904-05 und 1907-08 dauerten, beurlauben lassen. Cantor verbrachte ab 1899 auch einige Zeit in Sanatorien, zu Zeiten der schlimmsten Anfälle seiner Geisteskrankheit. Er fuhr fort zu arbeiten und zu veröffentlichen auf seinem Speck-Shakespeare-Theorie und schon gar nicht aufgeben Mathematik vollständig. Er lehrte über die Paradoxien der Mengenlehre zu einem Treffen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung im September 1903 und er besuchte den Internationalen Kongress der Mathematiker in Heidelberg im August 1904.
1905 schrieb Cantor ein religiöses Werk, nachdem er von einem Krankenhausaufenthalt nach Hause zurückgekehrt war. Er korrespondierte auch mit Jourdain über die Geschichte der Mengenlehre und seinen religiösen Traktat. Nachdem er 1909 aus gesundheitlichen Gründen beurlaubt worden war, übte er 1910 und 1911 seine Universitätsaufgaben aus. In diesem Jahr freute er sich über eine Einladung der University of St Andrews in Schottland, als angesehener ausländischer Gelehrter am 500. Die Feierlichkeiten fanden vom 12. bis 15.September 1911 statt. :-
Während des Besuchs begann er sich anscheinend exzentrisch zu verhalten und sprach ausführlich über die Speck-Shakespeare-Frage; dann reiste er für ein paar Tage nach London.
Cantor hatte gehofft, Russell zu treffen, der gerade die Principia Mathematica veröffentlicht hatte. Doch die schlechte Gesundheit und die Nachricht, dass sein Sohn krank geworden war, ließen Cantor nach Deutschland zurückkehren, ohne Russell zu sehen. Im folgenden Jahr erhielt Cantor den Ehrentitel des Doktors der Rechtswissenschaften von der University of St. Andrews, aber er war zu krank, um den Abschluss persönlich zu erhalten.
Cantor ging 1913 in den Ruhestand und verbrachte seine letzten Lebensjahre wegen der Kriegsbedingungen in Deutschland mit wenig Nahrung. Eine in Halle geplante Großveranstaltung zum 70.Geburtstag Cantors im Jahr 1915 musste wegen des Krieges abgesagt werden, eine kleinere Veranstaltung fand jedoch in seinem Haus statt. Im Juni 1917 betrat er zum letzten Mal ein Sanatorium und bat seine Frau immer wieder schriftlich, nach Hause gehen zu dürfen. Er starb an einem Herzinfarkt.
Hilbert beschrieb Cantors Arbeit als:-
…das beste Produkt mathematischen Genies und eine der höchsten Errungenschaften rein intellektueller menschlicher Aktivität.