biografi
Georg Cantors far, Georg Waldemar Cantor, var en framgångsrik köpman och arbetade som grossistagent i St Petersburg, senare som mäklare på St Petersburg-börsen. Georg Waldemar Cantor föddes i Danmark och han var en man med en djup kärlek till kultur och konst. Georgs mor, Maria Anna B. A., var rysk och mycket musikalisk. Visst ärvde Georg betydande musikaliska och konstnärliga talanger från att hans föräldrar var en enastående violinist. Georg uppfostrades som Protestant, detta var hans faders religion, medan Georgs mor var romersk-katolsk.
efter tidig utbildning hemma från en privatlärare deltog Cantor i grundskolan i St Petersburg, sedan 1856 när han var elva år flyttade familjen till Tyskland. Cantor :-
… mindes hans tidiga år i Ryssland med stor nostalgi och kände sig aldrig lugn i Tyskland, även om han bodde där resten av sitt liv och till synes aldrig skrev på ryska språket, vilket han måste ha känt.
Cantors far hade dålig hälsa och flytten till Tyskland var att hitta ett varmare klimat än de hårda vintrarna i St Petersburg. Först bodde de i Wiesbaden, där Cantor deltog i gymnasiet, sedan flyttade de till Frankfurt. Cantor studerade vid Realschule i Darmstadt där han bodde som boarder. Han tog examen 1860 med en enastående rapport, som särskilt nämnde hans exceptionella färdigheter i matematik, särskilt trigonometri. Efter att ha deltagit i H Jacobhere Gewerbeschule i Darmstadt från 1860 gick han in i Polytechnic of Z Jacobrich 1862. Anledningen till att Cantors far valde att skicka honom till H Bisexheren Gewerbeschule var att han ville att Cantor skulle bli:-
… en lysande stjärna i ingenjörsfirman.
Cantor hade emellertid 1862 sökt sin fars tillstånd att studera matematik vid universitetet och han var överlycklig när så småningom hans far samtyckte. Hans studier vid Z Jacobrich avbröts dock av sin fars död i juni 1863. Cantor flyttade till Universitetet i Berlin där han blev vän med Hermann Schwarz som var medstudent. Cantor deltog i föreläsningar av Weierstrass, Kummer och Kronecker. Han tillbringade sommarperioden 1866 vid universitetet i G Jacobttingen och återvände till Berlin för att slutföra sin avhandling om talteori de aequationibus secundi gradus indeterminatis 1867.
medan i Berlin blev Cantor mycket involverad i ett student Mathematical Society, som ordförande för samhället under 1864-65. Han var också en del av en liten grupp unga matematiker som träffades varje vecka i ett vinhus. Efter att ha fått sin doktorsexamen 1867 undervisade Cantor på en flickskola i Berlin. Sedan 1868 gick han med i Schellbach-seminariet för matematiklärare. Under denna tid arbetade han med sin habilitering och omedelbart efter att ha utsetts till Halle 1869 presenterade han sin avhandling, igen om talteori, och fick sin habilitering.
vid Halle vände riktningen för Cantors forskning bort från talteori och mot analys. Detta berodde på Heine, en av hans seniorkollegor på Halle, som utmanade Cantor att bevisa det öppna problemet med den unika representationen av en funktion som en trigonometrisk serie. Detta var ett svårt problem som utan framgång hade attackerats av många matematiker, inklusive Heine själv samt Dirichlet, Lipschitz och Riemann. Cantor löste problemet som visade att representationen var unik i April 1870. Han publicerade ytterligare artiklar mellan 1870 och 1872 som handlar om trigonometriska serier och dessa visar alla påverkan av Weierstrass undervisning.
Cantor befordrades till extraordinär Professor vid Halle 1872 och det året började han en vänskap med Dedekind som han hade träffat på semester i Schweiz. Cantor publicerade en uppsats om trigonometriska serier 1872 där han definierade irrationella tal i termer av konvergerande sekvenser av rationella tal. Dedekind publicerade sin definition av de reella siffrorna med ”Dedekind cuts” också 1872 och i detta papper hänvisar Dedekind till Cantors 1872-papper som Cantor hade skickat honom.1873 bevisade Cantor de rationella talen som kan räknas, dvs. de kan placeras i en-en korrespondens med de naturliga talen. Han visade också att de algebraiska siffrorna, dvs siffrorna som är rötter av polynomekvationer med heltalskoefficienter, var räknbara. Men hans försök att avgöra om de reella siffrorna var räknbara visade sig hårdare. Han hade bevisat att de reella siffrorna inte kunde räknas i December 1873 och publicerade detta i ett papper 1874. Det är i detta dokument att tanken på en en-en-korrespondens framträder för första gången, men det är bara implicit i detta arbete.
ett transcendentalt tal är ett irrationellt tal som inte är en rot till någon polynomekvation med heltalskoefficienter. Liouville etablerade 1851 att transcendentala siffror finns. Tjugo år senare, i detta arbete från 1874, visade Cantor att i en viss mening är ’nästan alla’ siffror transcendentala genom att bevisa att de reella siffrorna inte kunde räknas medan han hade bevisat att de algebraiska siffrorna var räknbara.
Cantor tryckt framåt, utbyta bokstäver hela med Dedekind. Nästa fråga han ställde sig i januari 1874 var om enhetstorget kunde kartläggas i en rad enhetslängd med en 1-1 korrespondens av punkter på vardera. I ett brev till Dedekind daterat den 5 januari 1874 skrev han :-
kan en yta (säg en kvadrat som innehåller gränsen) unikt hänvisas till en linje (säg ett raklinjesegment som innehåller slutpunkterna) så att för varje punkt på ytan finns en motsvarande punkt på linjen och omvänt för varje punkt på linjen finns en motsvarande punkt på ytan? Jag tror att svara på denna fråga skulle vara något enkelt jobb, trots att svaret verkar så tydligt vara ”nej” att bevis verkar nästan onödigt.
året 1874 var ett viktigt år i Cantors personliga liv. Han förlovade sig med Vally Guttmann, en vän till sin syster, våren samma år. De gifte sig den 9 augusti 1874 och tillbringade sin smekmånad i Interlaken i Schweiz där Cantor tillbringade mycket tid i matematiska diskussioner med Dedekind.
Cantor fortsatte att korrespondera med Dedekind, dela sina tankar och söka dedekinds åsikter, och han skrev till Dedekind 1877 som bevisade att det fanns en 1-1 korrespondens av punkter på intervallet och punkter i ppp-dimensionellt utrymme. Cantor blev förvånad över sin egen upptäckt och skrev: –
jag ser det, men jag tror inte på det!
naturligtvis hade detta konsekvenser för geometri och begreppet dimension av ett utrymme. Ett stort dokument om dimension som Cantor lämnade in till Crelle ’ s Journal 1877 behandlades med misstankar av Kronecker och publicerades först efter att Dedekind ingripit på Cantors vägnar. Cantor tyckte mycket om Kroneckers motstånd mot sitt arbete och lämnade aldrig in några ytterligare papper till Crelle ’ s Journal.
papperet om dimension som dök upp i Crelle ’ s Journal 1878 gör begreppen 1-1 korrespondens exakt. Uppsatsen diskuterar denumerabla uppsättningar, dvs. de som är i 1-1 korrespondens med de naturliga siffrorna. Den studerar uppsättningar med lika kraft, dvs de uppsättningar som är i 1-1 korrespondens med varandra. Cantor diskuterade också begreppet dimension och betonade det faktum att hans korrespondens mellan intervallet och enhetstorget inte var en kontinuerlig karta.
mellan 1879 och 1884 publicerade Cantor en serie med sex artiklar i Mathematische Annalen utformad för att ge en grundläggande introduktion till uppsättningsteori. Klein kan ha haft ett stort inflytande i att ha Mathematische Annalen publicerade dem. Det fanns dock ett antal problem som uppstod under dessa år som visade sig vara svåra för Cantor. Även om han hade befordrats till en fullständig professor 1879 på Heines rekommendation, hade Cantor hoppats på en stol vid ett mer prestigefyllt universitet. Hans långvariga korrespondens med Schwarz slutade 1880 då motståndet mot Cantors ideer fortsatte att växa och Schwarz stödde inte längre den riktning som Cantors arbete gick. Sedan i oktober 1881 dog Heine och en ersättare behövdes för att fylla stolen i Halle.
Cantor utarbetade en lista över tre matematiker för att fylla Heines stol och listan godkändes. Det placerade Dedekind på första plats, följt av Heinrich Weber och slutligen Mertens. Det var verkligen ett hårt slag mot Cantor när Dedekind avböjde erbjudandet i början av 1882, och slaget förvärrades bara av Heinrich Weber och sedan Mertens minskade också. Efter att en ny lista hade upprättats utsågs Wangerin men han bildade aldrig en nära relation med Cantor. Den rika matematiska korrespondensen mellan Cantor och Dedekind slutade senare 1882.
nästan samtidigt som Cantor-Dedekind-korrespondensen slutade började Cantor en annan viktig korrespondens med Mittag-Leffler. Snart publicerade Cantor i Mittag-Lefflers tidskrift Acta Mathematica men hans viktiga serie med sex artiklar i Mathematische Annalen fortsatte också att dyka upp. Den femte uppsatsen i denna serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre kub publicerades också som en separat monografi och var särskilt viktig av flera skäl. För det första insåg Cantor att hans teori om uppsättningar inte hittade den acceptans som han hade hoppats och Grundlagen var utformad för att svara på kritiken. För det andra: –
grundlagens stora prestation var dess presentation av de transfinitiska siffrorna som en autonom och systematisk förlängning av de naturliga siffrorna.
Cantor själv säger ganska tydligt i tidningen att han inser styrkan i motståndet mot sina tankar:-
… Jag inser att jag i detta åtagande ställer mig i ett visst motstånd mot åsikter som allmänt hålls om det matematiska oändliga och till åsikter som ofta försvaras om siffrornas natur.
I slutet av maj 1884 hade Cantor den första registrerade attacken av depression. Han återhämtade sig efter några veckor men verkade nu mindre självsäker. Han skrev till Mittag-Leffler i slutet av juni :-
… Jag vet inte när jag ska återvända till fortsättningen av mitt vetenskapliga arbete. För tillfället kan jag absolut ingenting göra med det och begränsa mig till den mest nödvändiga plikten för mina föreläsningar; hur mycket lyckligare skulle jag vara att vara vetenskapligt aktiv, om jag bara hade den nödvändiga mentala friskheten.
på en gång trodde man att hans depression orsakades av matematiska bekymmer och som ett resultat av svårigheter i hans förhållande till Kronecker i synnerhet. Nyligen har dock en bättre förståelse för psykisk sjukdom inneburit att vi nu kan vara säkra på att Cantors matematiska bekymmer och hans svåra relationer förstorades kraftigt av hans depression men inte var orsaken (se till exempel och ). Efter denna psykiska sjukdom 1884: –
… han tog en semester i sina favorit Harzbergen och bestämde sig av någon anledning för att försöka förena sig med Kronecker. Kronecker accepterade gesten, men det måste ha varit svårt för dem båda att glömma sina fiendskap och de filosofiska meningsskiljaktigheterna mellan dem förblev opåverkade.
matematiska bekymmer började besvära Cantor vid denna tidpunkt, särskilt började han oroa sig för att han inte kunde bevisa kontinuumhypotesen, nämligen att infinitetsordningen för de reella talen var nästa efter de naturliga talen. I själva verket trodde han att han hade bevisat det falskt, sedan nästa dag fann sitt misstag. Återigen trodde han att han hade bevisat det sant bara igen för att snabbt hitta sitt fel.
allt gick inte bra på andra sätt också, för 1885 övertalade Mittag-Leffler Cantor att dra tillbaka ett av sina papper från Acta Mathematica när det hade nått bevisstadiet eftersom han trodde det ”… cirka hundra år för tidigt”. Cantor skämtade om det men blev tydligt skadad:-
hade Mittag-Leffler haft sin väg, jag borde behöva vänta till år 1984, vilket för mig verkade för stort krav! … Men naturligtvis vill jag aldrig veta någonting igen om Acta Mathematica.
Mittag-Leffler menade detta som en vänlighet men det visar en brist på uppskattning av vikten av Cantors arbete. Korrespondensen mellan Mittag-Leffler och Cantor stannade helt kort efter denna händelse och översvämningen av nya ideer som hade lett till Cantors snabba utveckling av setteori under cirka 12 år verkar nästan ha slutat.
år 1886 köpte Cantor ett fint nytt hus på H Ubigndelstrasse, en gata uppkallad efter den tyska kompositören Handel. Före årets slut föddes en son och fullbordade sin familj med sex barn. Han vände sig från den matematiska utvecklingen av uppsättningsteori mot två nya riktningar, först diskuterade de filosofiska aspekterna av hans teori med många filosofer (han publicerade dessa brev 1888) och för det andra tog över efter Clebschs död sin uppfattning om att grunda Deutsche Mathematiker-Vereinigung som han uppnådde 1890. Cantor var ordförande för föreningens första möte i Halle i September 1891, och trots den bittra motsättningen mellan sig själv och Kronecker bjöd Cantor in Kronecker att ta itu med det första mötet.
Kronecker tog dock aldrig upp mötet, eftersom hans fru skadades allvarligt i en klättringsolycka på sensommaren och dog kort därefter. Cantor valdes till president för Deutsche Mathematiker-Vereinigung vid det första mötet och höll detta inlägg fram till 1893. Han hjälpte till att organisera föreningens möte i Munich i September 1893, men han blev sjuk igen före mötet och kunde inte delta.
Cantor publicerade ett ganska konstigt papper 1894 som listade hur alla jämna siffror upp till 1000 kunde skrivas som summan av två primtal. Eftersom en verifiering av Goldbachs gissning upp till 10000 hade gjorts 40 år tidigare, är det troligt att detta konstiga papper säger mer om Cantors sinnestillstånd än om Goldbachs gissning.
hans sista stora artiklar om uppsättningsteori dök upp 1895 och 1897, igen i Mathematische Annalen under Kleins redaktion, och är fina undersökningar av transfinitisk aritmetik. Den ganska långa klyftan mellan de två tidningarna beror på det faktum att även om Cantor slutade skriva den andra delen sex månader efter att den första delen publicerades, hoppades han att inkludera ett bevis på kontinuumhypotesen i den andra delen. Det var dock inte att vara, men det andra papperet beskriver hans teori om välordnade uppsättningar och ordinära tal.
år 1897 deltog Cantor i den första internationella kongressen för matematiker i Z. I sina föreläsningar på kongressen: –
… Hurwitz uttryckte öppet sin stora beundran för Cantor och proklamerade honom som en av vilken funktionsteorin har berikats. Jacques Hadamard uttryckte sin åsikt att begreppen om teorin om uppsättningar var kända och oumbärliga instrument.
på kongressen träffade Cantor Dedekind och de förnyade sin vänskap. Vid kongressens tid hade Cantor dock upptäckt den första av paradoxerna i teorin om uppsättningar. Han upptäckte paradoxerna när han arbetade med sina undersökningspapper från 1895 och 1897 och han skrev till Hilbert 1896 och förklarade paradoxen för honom. Burali-Forti upptäckte paradoxen självständigt och publicerade den 1897. Cantor inledde en korrespondens med Dedekind för att försöka förstå hur man löser problemen men återkommande anfall av hans psykiska sjukdom tvingade honom att sluta skriva till Dedekind 1899.
När Cantor led av perioder av depression tenderade han att vända sig bort från matematik och vända sig mot filosofi och hans stora litterära intresse som var en tro på att Francis Bacon skrev Shakespeares pjäser. Till exempel i sin sjukdom 1884 hade han begärt att han skulle få föreläsa om filosofi istället för matematik och han hade börjat sin intensiva studie av Elisabetansk litteratur för att försöka bevisa sin Bacon-Shakespeare-teori. Han började publicera broschyrer om den litterära frågan 1896 och 1897. Extra stress sattes på Cantor med sin mors död i oktober 1896 och hans yngre brors död i januari 1899.
i oktober 1899 ansökte Cantor om och beviljades ledighet från undervisning för vinterterminen 1899-1900. Den 16 December 1899 Dog Cantors yngste son. Från denna tid till slutet av sitt liv kämpade han mot depressionens psykiska sjukdom. Han fortsatte att undervisa men var också tvungen att ta ledigt från sin undervisning under ett antal vintersemestrar, de 1902-03, 1904-05 och 1907-08. Cantor tillbringade också tid i sanatorier, vid de värsta attackerna av hans psykiska sjukdom, från 1899 och framåt. Han fortsatte att arbeta och publicera på sin Bacon-Shakespeare-teori och gav verkligen inte upp matematiken helt. Han föreläste om paradoxer set teori till ett möte i Deutsche Mathematiker-Vereinigung i September 1903 och han deltog i den internationella kongressen för matematiker i Heidelberg i augusti 1904.
1905 skrev Cantor ett religiöst arbete efter att ha återvänt hem från en stavning på sjukhus. Han korresponderade också med Jourdain om uppsättningsteorins historia och hans religiösa kanal. Efter att ha tagit ledighet under mycket av 1909 på grund av sin ohälsa utförde han sina universitetsuppgifter för 1910 och 1911. Det var det året som han var glad över att få en inbjudan från University of St Andrews i Skottland att delta i 500-årsjubileet för grundandet av universitetet som en framstående utländsk forskare. Firandet var 12-15 September 1911 men :-
under besöket började han tydligen bete sig excentriskt och pratade mycket länge på Bacon-Shakespeare-frågan; sedan reste han ner till London i några dagar.
Cantor hade hoppats att träffa Russell som just hade publicerat Principia Mathematica. Men ohälsa och nyheten om att hans son hade blivit sjuk fick Cantor att återvända till Tyskland utan att se Russell. Året därpå tilldelades Cantor hedersexamen av doktor i lagar av University of St Andrews men han var för sjuk för att få examen personligen.
Cantor gick i pension 1913 och tillbringade sina sista år sjuk med lite mat på grund av krigsförhållandena i Tyskland. Ett större evenemang som planerades i Halle för att markera Cantors 70-årsdag 1915 måste avbrytas på grund av kriget, men ett mindre evenemang hölls i hans hem. I juni 1917 gick han in i ett sanatorium för sista gången och skrev kontinuerligt till sin fru och bad om att få åka hem. Han dog av en hjärtattack.Hilbert beskrev Cantors arbete som: –
…den finaste produkten av matematiskt geni och en av de högsta prestationerna av rent intellektuell mänsklig aktivitet.