biografia
ojciec Georga Cantora, Georg Waldemar Cantor, był odnoszącym sukcesy kupcem, pracował jako agent hurtowy w Petersburgu, a następnie jako makler na Giełdzie Papierów Wartościowych w Petersburgu. Georg Waldemar Cantor urodził się w Danii i był człowiekiem z głęboką miłością do kultury i sztuki. Matka Georga, Maria Anna Böhm, była Rosjanką i bardzo muzykalna. Z pewnością Georg odziedziczył po swoich rodzicach znaczne talenty muzyczne i artystyczne, będąc wybitnym skrzypkiem. Georg został wychowany jako Protestant, był to wyznanie ojca, podczas gdy matka Georg była katoliczką.
po wczesnej edukacji w domu od prywatnego nauczyciela, Cantor uczęszczał do szkoły podstawowej w Petersburgu, po czym w 1856 roku, gdy miał jedenaście lat, rodzina przeniosła się do Niemiec. Jednak: –
… pamiętał swoje wczesne lata w Rosji z wielką nostalgią i nigdy nie czuł się swobodnie w Niemczech, chociaż mieszkał tam do końca życia i pozornie nigdy nie pisał w języku rosyjskim, który musiał znać.
ojciec Cantora miał słabe zdrowie, a przeprowadzka do Niemiec miała na celu znalezienie cieplejszego klimatu niż surowe zimy w Petersburgu. Początkowo mieszkali w Wiesbaden, gdzie Cantor uczęszczał do Gimnazjum, następnie przenieśli się do Frankfurtu. Cantor studiował w Realschule w Darmstadt, gdzie mieszkał jako boarder. Studia ukończył w 1860 roku z wybitnym sprawozdaniem, w którym wymienił w szczególności jego wyjątkowe umiejętności z matematyki, w szczególności trygonometrii. Po ukończeniu Höhere Gewerbeschule w Darmstadt od 1860 r.wstąpił w 1862 r. na Politechnikę w Zurychu. Powodem, dla którego ojciec Cantora zdecydował się wysłać go do Höheren Gewerbeschule, było to, że chciał, aby Cantor został:-
… świecąca gwiazda na firmamencie maszynowym.
jednak w 1862 Cantor poprosił ojca o zgodę na studia matematyczne na uniwersytecie i był zachwycony, gdy ostatecznie jego ojciec wyraził na to zgodę. Studia w Zurychu przerwała jednak śmierć ojca w czerwcu 1863 roku. Cantor przeniósł się na Uniwersytet w Berlinie, gdzie zaprzyjaźnił się z Hermannem Schwarzem, który był studentem. Cantor uczestniczył w wykładach Weierstrassa, Kummera i Kroneckera. Semestr letni 1866 spędził na Uniwersytecie w Getyndze, po czym powrócił do Berlina, gdzie w 1867 ukończył pracę doktorską na temat teorii liczb De aequationibus secundi Gradus indeterminatis.
podczas pobytu w Berlinie Cantor zaangażował się w działalność Studenckiego Towarzystwa Matematycznego, będąc jego prezesem w latach 1864-65. Należał również do małej grupy młodych matematyków, którzy spotykali się co tydzień w winiarni. Po otrzymaniu doktoratu w 1867 r. Cantor nauczał w szkole żeńskiej w Berlinie. Następnie, w 1868 roku, wstąpił do seminarium w Schellbach dla nauczycieli matematyki. W tym czasie pracował nad habilitacją, a zaraz po powołaniu do Halle w 1869 roku przedstawił pracę doktorską, ponownie poświęconą teorii liczb i uzyskał habilitację.
w Halle kierunek badań Cantora odwrócił się od teorii liczb i ku analizie. Stało się to za sprawą Heine ’ a, jednego z jego starszych kolegów z Halle, który zakwestionował Cantora, aby udowodnić otwarty problem wyjątkowości reprezentacji funkcji jako szeregów trygonometrycznych. Był to trudny problem, który został bezskutecznie zaatakowany przez wielu matematyków, w tym samego Heinego, a także Dirichleta, Lipschitza i Riemanna. Cantor rozwiązał problem udowodnienia wyjątkowości reprezentacji do kwietnia 1870 roku. W latach 1870-1872 opublikował kolejne prace dotyczące serii trygonometrycznych, wszystkie te wskazują na wpływ nauczania Weierstrassa.
Cantor został awansowany na profesora nadzwyczajnego w Halle w 1872 roku i w tym samym roku nawiązał przyjaźń z Dedekindem, którego poznał podczas wakacji w Szwajcarii. Cantor opublikował w 1872 roku pracę o serii trygonometrycznej, w której zdefiniował liczby irracjonalne w kategoriach zbieżnych ciągów liczb racjonalnych. Dedekind opublikował swoją definicję liczb rzeczywistych przez „cięcia Dedekinda” również w 1872 roku i w tej pracy Dedekind odwołuje się do pracy Cantora z 1872 roku, którą Cantor mu przesłał.
w 1873 Cantor udowodnił, że liczby wymierne są policzalne, tzn. mogą być umieszczone w jednej-jednej korespondencji z liczbami naturalnymi. Wykazał również, że liczby algebraiczne, czyli liczby będące pierwiastkami równań wielomianowych o współczynnikach całkowitych, są policzalne. Jednak jego próby decydowania o tym, czy liczby rzeczywiste są policzalne, okazały się trudniejsze. Udowodnił, że liczby rzeczywiste nie są policzalne do grudnia 1873 i opublikował to w gazecie w 1874. To właśnie w tej pracy po raz pierwszy pojawia się idea korespondencji jednej-jednej, ale jest ona tylko ukryta w tej pracy.
Liczba transcendentalna jest liczbą irracjonalną, która nie jest pierwiastkiem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych. Liouville ustalił w 1851, że istnieją liczby transcendentalne. Dwadzieścia lat później, w pracy z 1874 roku, Cantor pokazał, że w pewnym sensie 'prawie wszystkie’ liczby są transcendentalne, udowadniając, że liczby rzeczywiste nie były policzalne, podczas gdy on udowodnił, że liczby algebraiczne były policzalne.
Cantor wcisnął się do przodu, wymieniając listy z Dedekindem. Kolejnym pytaniem, jakie sobie zadał, w styczniu 1874, było to, czy kwadrat jednostki może być odwzorowany w linię długości jednostki z 1-1 zgodnością punktów na każdym. W liście do Dedekinda z 5 stycznia 1874 napisał :-
czy powierzchnia (powiedzmy kwadrat, który zawiera granicę) może być jednoznacznie odnoszona do linii (powiedzmy segmentu linii prostej, który zawiera punkty końcowe) tak, że dla każdego punktu na powierzchni istnieje odpowiedni punkt linii i odwrotnie, dla każdego punktu linii jest odpowiedni punkt powierzchni? Myślę, że odpowiedź na to pytanie nie byłaby łatwą pracą, pomimo tego, że odpowiedź wydaje się tak wyraźnie „nie”, że dowód wydaje się niemal niepotrzebny.
rok 1874 był ważnym w życiu osobistym Cantora. Wiosną tego roku zaręczył się z Vallym Guttmannem, przyjacielem swojej siostry. Pobrali się 9 sierpnia 1874 roku i spędzili miesiąc miodowy w Interlaken w Szwajcarii, gdzie Cantor spędził dużo czasu na dyskusjach matematycznych z Dedekindem.
Cantor kontynuował korespondencję z Dedekindem, dzieląc się swoimi pomysłami i szukając opinii Dedekinda, i napisał do Dedekinda w 1877 roku dowodząc, że istnieje 1-1 korespondencja punktów na przedziale i punktów w przestrzeni ppp-wymiarowej. Cantor był zaskoczony własnym odkryciem i napisał: –
widzę, ale nie wierzę!
oczywiście miało to wpływ na geometrię i pojęcie wymiaru przestrzeni. Główna praca na temat wymiaru, którą Cantor przesłał do dziennika Crelle ’ a w 1877 roku, została potraktowana z podejrzliwością przez Kroneckera i opublikowana dopiero po interwencji Dedekinda w imieniu Cantora. Cantor bardzo zrażał się sprzeciwem Kroneckera wobec jego prac i nigdy nie przedłożył żadnych dalszych prac do dziennika Crelle ’ a.
praca o wymiarze, która ukazała się w czasopiśmie Crelle ’ a w 1878 roku, precyzuje pojęcia korespondencji 1-1. W artykule omówiono zbiory denumeratywne, tj. te, które są w 1-1 korespondują z liczbami naturalnymi. Bada zbiory o jednakowej mocy, tj. te zbiory, które są w 1-1 korespondencji ze sobą. Cantor omówił również pojęcie wymiaru i podkreślił fakt, że jego korespondencja między interwałem a kwadratem jednostkowym nie jest ciągłą mapą.
W latach 1879-1884 Cantor opublikował serię sześciu prac w Mathematische Annalen, które miały stanowić podstawowe wprowadzenie do teorii mnogości. Klein mógł mieć duży wpływ na publikację Mathematische Annalen. W ciągu tych lat pojawiło się jednak wiele problemów, które okazały się trudne dla Cantora. Mimo że w 1879 r. z rekomendacji Heinego został awansowany na profesora zwyczajnego, Cantor miał nadzieję na katedrę na bardziej prestiżowym uniwersytecie. Jego długoletnia korespondencja ze Schwarzem zakończyła się w 1880, gdy opozycja wobec idei Cantora nadal rosła, a Schwarz nie popierał już kierunku, w którym podążała twórczość Cantora. Następnie w październiku 1881 zmarł Heine i potrzebna była wymiana, aby wypełnić fotel w Halle.
Cantor sporządził listę trzech matematyków do obsadzenia fotela Heinego i lista została zatwierdzona. Na pierwszym miejscu uplasował się Dedekind, następnie Heinrich Weber i ostatecznie Mertens. Był to z pewnością ciężki cios dla Cantora, gdy Dedekind odrzucił ofertę na początku 1882 roku, a cios został tylko pogorszony przez Heinricha Webera, a następnie Mertensa. Po sporządzeniu nowej listy Wangerin został mianowany, ale nigdy nie nawiązał bliskich relacji z Kantorem. Bogata matematyczna korespondencja Cantora i Dedekinda zakończyła się później w 1882 roku.
niemal w tym samym czasie, w którym zakończyła się korespondencja Cantora-Dedekinda, Cantor rozpoczął kolejną ważną korespondencję z Mittag-Leffler. Wkrótce Cantor publikował w Mittag-Leffler ’ s journal Acta Mathematica, ale jego ważna seria sześciu prac w Mathematische Annalen również nadal się ukazywała. Piąta praca z tej serii Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ została również opublikowana jako osobna monografia i była szczególnie ważna z wielu powodów. Po pierwsze Cantor zdał sobie sprawę, że jego teoria zbiorów nie znalazła akceptacji, na którą miał nadzieję, a Grundlagen został zaprojektowany, aby odpowiedzieć na krytykę. Po drugie: –
głównym osiągnięciem Grundlagena było przedstawienie liczb transfinitowych jako autonomicznego i systematycznego rozszerzenia liczb naturalnych.
Sam Cantor wyraźnie stwierdza w artykule, że zdaje sobie sprawę z siły sprzeciwu wobec swoich pomysłów:-
… Zdaję sobie sprawę, że w tym przedsięwzięciu stawiam się w pewnej opozycji do powszechnie panujących poglądów na temat nieskończoności matematycznej oraz do często bronionych opinii na temat natury liczb.
pod koniec maja 1884 roku Cantor miał pierwszy odnotowany atak depresji. Wyzdrowiał po kilku tygodniach, ale teraz wydawał się mniej pewny siebie. Pod koniec czerwca napisał do Mittag-Leffler : –
… Nie wiem, kiedy wrócę do kontynuacji pracy naukowej. W tej chwili nie mogę nic z tym zrobić i ograniczam się do najpotrzebniejszego obowiązku moich wykładów; o ile szczęśliwszy byłbym będąc aktywnym naukowo, gdybym tylko miał niezbędną świeżość umysłową.
kiedyś uważano, że jego depresja była spowodowana problemami matematycznymi, a w szczególności trudnościami w związku z Kroneckerem. Ostatnio jednak lepsze zrozumienie choroby psychicznej oznaczało, że teraz możemy być pewni, że matematyczne obawy Cantora i jego trudne relacje zostały znacznie powiększone przez jego depresję, ale nie były jej przyczyną (patrz na przykład i ). Po tej chorobie psychicznej z 1884: –
… wybrał się na wakacje w swoich ulubionych górach Harz i z jakiegoś powodu postanowił spróbować pogodzić się z Kroneckerem. Kronecker zaakceptował ten gest, ale musiało być im trudno zapomnieć o wrogości, a filozoficzne spory między nimi pozostały nienaruszone.
problemy matematyczne zaczęły niepokoić Cantora w tym czasie, w szczególności zaczął się martwić, że nie może udowodnić hipotezy continuum, a mianowicie, że kolejność nieskończoności liczb rzeczywistych jest następna po liczbie naturalnej. W rzeczywistości myślał, że udowodnił to fałszywie, a następnego dnia znalazł swój błąd. Znowu myślał, że udowodnił to tylko ponownie, aby szybko znaleźć swój błąd.
nie wszystko szło dobrze również w inny sposób, ponieważ w 1885 Mittag-Leffler przekonał Cantora, aby wycofał jedną ze swoich prac z Acta Mathematica, gdy doszła do etapu dowodowego, ponieważ tak myślał „… o sto lat za wcześnie”. Cantor żartował, ale wyraźnie ucierpiał: –
miał Mittag-Leffler miał swoją drogę, powinienem poczekać do roku 1984, który dla mnie wydawał się zbyt dużym zapotrzebowaniem! … Ale oczywiście nigdy więcej nie chcę wiedzieć nic o Acta Mathematica.
Mittag-Leffler miał to na myśli jako życzliwość, ale świadczy to o braku uznania dla znaczenia pracy Cantora. Korespondencja między Mittag-Leffler i Cantor wszystko, ale zatrzymał się wkrótce po tym wydarzeniu i Zalew nowych pomysłów, które doprowadziły do szybkiego rozwoju teorii mnogości Cantora przez około 12 lat wydaje się prawie zatrzymał.
w 1886 Cantor kupił nowy dom przy Händelstrasse, ulicy nazwanej na cześć niemieckiego kompozytora Händla. Pod koniec roku urodził się syn, który miał sześcioro dzieci. Odwrócił się od matematycznego rozwoju teorii mnogości w kierunku dwóch nowych kierunków, po pierwsze omawiając filozoficzne aspekty swojej teorii z wieloma filozofami (opublikował te listy w 1888 roku), a po drugie przejmując po śmierci Clebscha jego pomysł założenia Deutsche Mathematiker-Vereinigung, który osiągnął w 1890 roku. Cantor poprowadził pierwsze spotkanie Stowarzyszenia w Halle we wrześniu 1891 roku i pomimo gorzkiego antagonizmu między nim a Kroneckerem, Cantor zaprosił Kroneckera do wygłoszenia pierwszego spotkania.
Kronecker nigdy jednak nie wystąpił na spotkaniu, gdyż jego żona została ciężko ranna w wypadku wspinaczkowym późnym latem i wkrótce potem zmarła. Cantor został wybrany na prezesa Deutsche Mathematiker-Vereinigung na pierwszym posiedzeniu i pełnił tę funkcję do 1893 roku. Przyczynił się do zorganizowania spotkania Stowarzyszenia, które odbyło się w Monachium we wrześniu 1893 roku, ale zachorował ponownie przed spotkaniem i nie mógł uczestniczyć.
Cantor opublikował w 1894 dość dziwną pracę, w której wymienił sposób, w jaki wszystkie liczby parzyste do 1000 Można zapisać jako sumę dwóch liczb pierwszych. Ponieważ weryfikacja przypuszczeń Goldbacha do 10000 została przeprowadzona 40 lat wcześniej, jest prawdopodobne, że ten dziwny papier mówi więcej o stanie umysłu Cantora niż o przypuszczeniach Goldbacha.
jego ostatnie ważniejsze prace na temat teorii mnogości ukazały się w 1895 i 1897 roku, ponownie w Mathematische Annalen pod redakcją Kleina, i są fine surveys of transfinite arytmetyka. Dość długa przerwa między tymi dwoma artykułami wynika z faktu, że chociaż Cantor skończył pisać drugą część sześć miesięcy po opublikowaniu pierwszej części, miał nadzieję dołączyć dowód hipotezy continuum w drugiej części. Jednak nie miało być, ale druga praca opisuje jego teorię uporządkowanych zbiorów i liczb porządkowych.
w 1897 Cantor wziął udział w pierwszym Międzynarodowym Kongresie matematyków w Zurychu. W swoich wykładach na Kongresie: –
… Hurwitz otwarcie wyrażał swój wielki podziw dla Kantora i głosił go jako tego, przez którego Teoria funkcji została wzbogacona. Jacques Hadamard wyraził opinię, że pojęcia teorii zbiorów są znanymi i niezbędnymi instrumentami.
na Kongresie Cantor spotkał Dedekinda i odnowił swoją przyjaźń. Do czasu Kongresu Cantor odkrył jednak pierwszy z paradoksów w teorii zbiorów. Odkrył paradoksy podczas pracy nad swoimi pracami badawczymi z 1895 i 1897, a w 1896 napisał do Hilberta wyjaśniając mu paradoks. Burali-Forti odkrył paradoks niezależnie i opublikował go w 1897 roku. Cantor rozpoczął korespondencję z Dedekindem, aby spróbować zrozumieć, jak rozwiązać problemy, ale powtarzające się ataki jego choroby psychicznej zmusiły go do zaprzestania pisania do Dedekinda w 1899 roku.
ilekroć Cantor cierpiał na okresy depresji, miał tendencję do odwracania się od matematyki i zwracania się w kierunku filozofii i jego dużego zainteresowania Literackiego, którym było przekonanie, że Francis Bacon napisał sztuki Szekspira. Na przykład w swojej chorobie w 1884 r. poprosił o pozwolenie mu na wykładanie filozofii zamiast matematyki i rozpoczął intensywne studia nad literaturą Elżbietańską, próbując udowodnić swoją teorię Bacona-Szekspira. W 1896 i 1897 zaczął publikować pamflety o tematyce literackiej. W październiku 1896 r.zmarł jego matka, a w styczniu 1899 r. jego młodszy brat.
w październiku 1899 Cantor złożył wniosek o urlop dydaktyczny na semestr zimowy 1899-1900. 16 grudnia 1899 zmarł najmłodszy syn Cantora. Od tego czasu aż do końca życia walczył z chorobą psychiczną w postaci depresji. Kontynuował naukę, ale musiał też wziąć urlop na kilka semestrów zimowych, w latach 1902-1903, 1904-1905 i 1907-1908. Cantor spędził też jakiś czas w sanatoriach, w czasie najgorszych ataków swojej choroby psychicznej, począwszy od 1899 roku. Nadal pracował i publikował nad swoją teorią Bacona-Szekspira i z pewnością nie zrezygnował całkowicie z matematyki. Wykładał paradoksy teorii mnogości na spotkaniu Deutsche Mathematiker-Vereinigung we wrześniu 1903 i uczestniczył w Międzynarodowym Kongresie matematyków w Heidelbergu w sierpniu 1904.
w 1905 Cantor napisał pracę religijną po powrocie do domu z zaklęcia w szpitalu. Korespondował również z Jourdainem na temat historii teorii mnogości i jego traktatów religijnych. Po urlopie w 1909 ze względu na zły stan zdrowia pełnił obowiązki uniwersyteckie na lata 1910 i 1911. To było w tym roku, że był zachwycony, aby otrzymać zaproszenie od University of St Andrews w Szkocji, aby wziąć udział w 500.rocznicę założenia uniwersytetu jako wybitny uczony zagranicznych. Uroczystości odbyły się w dniach 12-15 września 1911 r., ale :-
podczas wizyty najwyraźniej zaczął zachowywać się ekscentrycznie, rozmawiając długo na temat Bacona-Szekspira; następnie udał się na kilka dni do Londynu.
Cantor miał nadzieję spotkać się z Russellem, który właśnie opublikował Principia Mathematica. Jednak zły stan zdrowia i wiadomość, że jego syn zachorował, sprawiły, że Cantor wrócił do Niemiec, nie widząc Russella. W następnym roku Cantor otrzymał honorowy stopień doktora praw Uniwersytetu w St Andrews, ale był zbyt chory, aby otrzymać stopień osobiście.
Cantor przeszedł na emeryturę w 1913 roku i ostatnie lata życia spędził chory z powodu braku żywności z powodu warunków wojennych w Niemczech. Wielkie wydarzenie zaplanowane w Halle z okazji 70. urodzin Cantora w 1915 roku musiało zostać odwołane z powodu wojny, ale mniejsza impreza odbyła się w jego domu. W czerwcu 1917 r.po raz ostatni trafił do sanatorium i nieustannie pisał do żony z prośbą o pozwolenie na powrót do domu. Zmarł na atak serca.
Hilbert opisał pracę Cantora jako:-
…najwspanialszy wytwór matematycznego geniuszu i jedno z najwyższych osiągnięć czysto intelektualnej działalności człowieka.