Biografi
Georg Cantors far, Georg Waldemar Cantor, var en vellykket kjøpmann, jobbet som grossistagent I St. Petersburg, senere som megler i St. Petersburg-Børsen. Georg Waldemar Cantor ble født I Danmark og var en mann med en dyp kjærlighet til kultur og kunst. Georgs mor, Maria Anna Bö, var russisk og svært musikalsk. Sikkert Georg arvet betydelige musikalske og kunstneriske talenter fra sine foreldre å være en fremragende fiolinist. Georg vokste Opp Som Protestant, dette var religionen til sin far, Mens Georgs mor Var Romersk-Katolsk.Etter tidlig utdanning hjemme fra en privatlærer, Cantor gikk på barneskolen I St. Petersburg, deretter i 1856 da han var elleve år gammel familien flyttet Til Tyskland. Cantor:-
… husket sine tidlige år I Russland med stor nostalgi og følte seg aldri rolig I Tyskland, selv om han bodde der for resten av livet og tilsynelatende aldri skrev på russisk språk, som han må ha kjent.
Cantors far hadde dårlig helse og flyttingen til Tyskland var å finne et varmere klima enn De harde vintrene I St. Petersburg. Først bodde de I Wiesbaden, Hvor Cantor deltok På Gymnasiet, da flyttet De til Frankfurt. Cantor studerte Ved Realschule I Darmstadt hvor han bodde som en boarder. Han ble uteksaminert i 1860 med en fremragende rapport, som nevnte spesielt hans eksepsjonelle ferdigheter i matematikk, spesielt trigonometri. Etter å ha deltatt På Hö Gewerbeschule I Darmstadt fra 1860 gikk han Inn I Polytechnic Av Zü I 1862. Grunnen Til At Cantors far valgte å sende Ham Til Hö Gewerbeschule var at Han ønsket At Cantor skulle bli: –
… en skinnende stjerne i ingeniørhimmelen.
Men I 1862 Cantor hadde søkt sin fars tillatelse til å studere matematikk ved universitetet, og han var overlykkelig når til slutt hans far samtykket. Hans studier Ved Zürich ble imidlertid kuttet av da hans far døde i juni 1863. Cantor flyttet til Universitetet I Berlin hvor Han ble venner Med Hermann Schwarz som var medstudent. Cantor deltok på forelesninger Av Weierstrass, Kummer Og Kronecker. Han tilbrakte sommeren 1866 ved Universitetet I Gö, tilbake Til Berlin for å fullføre sin avhandling om tallteori de aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ i 1867.
mens I Berlin Cantor ble mye involvert med en Student Matematisk Forening, å være president I Society i 1864-65. Han var også en del av en liten gruppe unge matematikere som møttes ukentlig i et vinhus. Etter å ha mottatt sin doktorgrad i 1867, Lærte Cantor på en jenteskole I Berlin. Så, i 1868, ble han med På Schellbach Seminar for matematikklærere. I løpet av denne tiden arbeidet han med habilitering og, umiddelbart etter å ha blitt utnevnt Til Halle i 1869, presenterte han sin avhandling, igjen på tallteori, og fikk sin habilitering.
På Halle retningen Av Cantor forskning vendt seg bort fra tallteori og mot analyse. Dette skyldtes Heine, En av hans eldre kolleger I Halle, som utfordret Cantor til å bevise det åpne problemet på det unike ved representasjon av en funksjon som en trigonometrisk serie. Dette var et vanskelig problem som hadde blitt uten hell angrepet av Mange matematikere, inkludert Heine selv Samt Dirichlet, Lipschitz Og Riemann. Cantor løste problemet beviser unikhet av representasjon av April 1870. Han publiserte flere artikler mellom 1870 og 1872 arbeider med trigonometriske serien og alle disse viser påvirkning Av weierstrass undervisning.Cantor ble forfremmet Til Ekstraordinær Professor Ved Halle i 1872, og i det året begynte Han et vennskap Med Dedekind som han hadde møtt mens han var på ferie i Sveits. Cantor publiserte en artikkel om trigonometriske serier i 1872 der han definerte irrasjonelle tall i form av konvergente sekvenser av rasjonale tall. Dedekind publiserte sin definisjon av de reelle tallene ved» Dedekind cuts » også i 1872, Og I dette papiret Refererer Dedekind Til Cantors 1872-papir Som Cantor hadde sendt ham.I 1873 Beviste Cantor at de rasjonelle tallene kunne telles, det vil si at de kan plasseres i en-en korrespondanse med de naturlige tallene. Han viste også at de algebraiske tallene, dvs. tallene som er røtter av polynomligninger med heltallskoeffisienter, var tellbare. Men hans forsøk på å avgjøre om de reelle tallene var tellbare viste seg vanskeligere. Han hadde bevist at de reelle tallene ikke kunne telles i desember 1873 og publiserte dette i et papir i 1874. Det er i dette papiret at ideen om en en-en korrespondanse vises for første gang, men det er bare implisitt i dette arbeidet.et transcendentalt tall er et irrasjonelt tall som ikke er en rot av noen polynomligning med heltallskoeffisienter. Liouville etablert i 1851 at transcendentale tall eksisterer. Tjue år senere, i dette 1874-arbeidet, Viste Cantor at i en viss forstand ‘nesten alle’ tall er transcendentale ved å bevise at de reelle tallene ikke var tellbare mens Han hadde bevist at de algebraiske tallene var tellbare.
Cantor presset fremover, utveksle brev hele Med Dedekind. Det neste spørsmålet han stilte seg, i januar 1874, var om enhetsfirkanten kunne kartlegges i en linje med enhetslengde med en 1-1 korrespondanse av poeng på hver. I Et brev til Dedekind datert 5. januar 1874 skrev Han :-
kan en overflate (si en firkant som inkluderer grensen) unikt henvises til en linje (si et rettlinjesegment som inkluderer endepunktene) slik at for hvert punkt på overflaten er det et tilsvarende punkt på linjen og omvendt, for hvert punkt på linjen er det et tilsvarende punkt på overflaten? Jeg tror at å svare på dette spørsmålet ville være ingen enkel jobb, til tross for at svaret virker så klart å være «nei» at beviset virker nesten unødvendig.
Året 1874 var et viktig år I Cantors personlige liv. Han ble forlovet Med Vally Guttmann, en venn av sin søster, våren det året. De giftet seg på 9 August 1874 og tilbrakte sin bryllupsreise I Interlaken I Sveits hvor Cantor tilbrakte mye tid i matematiske diskusjoner Med Dedekind.Cantor fortsatte å korrespondere Med Dedekind, dele sine ideer og søke Dedekinds meninger, og han skrev Til Dedekind i 1877 og viste at det var en 1-1 korrespondanse av poeng på intervallet og poeng i ppp-dimensjonalt rom. Cantor ble overrasket over sin egen oppdagelse og skrev: –
jeg ser det, men jeg tror det ikke!
selvfølgelig hadde dette implikasjoner for geometri og begrepet dimensjon av et rom. Et stort papir om dimensjon Som Cantor sendte Til Crelles Journal i 1877 ble behandlet med mistanke Av Kronecker, og kun publisert etter At Dedekind grep Inn på Cantors vegne. Cantor sterkt mislikte Kronecker motstand mot sitt arbeid og aldri sendt inn noen ytterligere papirer Til Crelles Journal.papiret om dimensjon som dukket opp I Crelles Journal i 1878, gjør konseptene 1-1 korrespondanse presis. Papiret diskuterer denumerable sett, dvs. de som er i 1-1 korrespondanse med de naturlige tallene. Den studerer sett med lik kraft, dvs. de settene som er i 1-1 korrespondanse med hverandre. Cantor diskuterte også begrepet dimensjon og understreket det faktum at korrespondansen mellom intervallet og enhetens firkant ikke var et kontinuerlig kart.Mellom 1879 og 1884 Utga Cantor en serie på seks artikler i Mathematische Annalen som skulle gi en grunnleggende innføring i mengdelære. Klein kan ha hatt stor innflytelse i Å ha Mathematische Annalen publisert dem. Men det var en rekke problemer som oppstod i løpet av disse årene som viste seg vanskelig For Cantor. Selv Om Han hadde blitt forfremmet til professor i 1879 På Heines anbefaling, Hadde Cantor håpet på en stol ved et mer prestisjetunge universitet. Hans langvarige korrespondanse med Schwarz endte i 1880 da motstanden mot Cantors ideer fortsatte å vokse, Og Schwarz støttet ikke Lenger Retningen Som Cantors arbeid gikk. Så i oktober 1881 Døde Heine og en erstatning var nødvendig for å fylle stolen På Halle.Cantor utarbeidet en liste over tre matematikere for å fylle Heines stol og listen ble godkjent. Den plasserte Dedekind på første plass, etterfulgt Av Heinrich Weber og til Slutt Mertens. Det var absolutt et alvorlig slag Mot Cantor da Dedekind avslo tilbudet tidlig i 1882, og slaget ble bare gjort verre Av Heinrich Weber og Deretter falt Mertens også. Etter at En ny liste hadde blitt utarbeidet, ble Wangerin utnevnt, men han dannet aldri et nært forhold til Cantor. Den rike matematiske korrespondansen Mellom Cantor Og Dedekind endte senere i 1882.Nesten Samme tid Som Cantor-Dedekind-korrespondansen endte, Begynte Cantor en annen viktig korrespondanse med Mittag-Leffler. Snart Cantor ble publisert I mittag-Leffler journal Acta Mathematica men hans viktige serie på seks artikler I Mathematische Annalen også fortsatte å dukke opp. Den femte papir i denne serien Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ ble også publisert som en egen monografi og var spesielt viktig for en rekke årsaker. For Det første Innså Cantor at hans teori om sett ikke fant den aksept han hadde håpet, Og Grundlagen var designet for å svare på kritikken. For det andre :-
Grundlagens store prestasjon var dens presentasjon av transfinittnumrene som en autonom og systematisk forlengelse av de naturlige tallene.
Cantor selv sier ganske klart i avisen at han innser styrken av opposisjonen til hans ideer:-
… Jeg innser at i dette foretaket jeg plasserer meg selv i en viss opposisjon til synspunkter allment holdt om matematisk uendelig og meninger ofte forsvart på natur tall.
I slutten Av Mai 1884 Hadde Cantor det første registrerte angrepet av depresjon. Han kom seg etter noen uker, men nå virket mindre trygg. Han skrev Til Mittag-Leffler i slutten av juni:-
… Jeg vet ikke når jeg skal gå tilbake til fortsettelsen av mitt vitenskapelige arbeid. For øyeblikket kan jeg gjøre absolutt ingenting med det, og begrense meg til den mest nødvendige plikt til mine forelesninger; hvor mye lykkeligere ville jeg være å være vitenskapelig aktiv, hvis jeg bare hadde den nødvendige mentale friskheten.
på en gang ble det antatt at hans depresjon var forårsaket av matematiske bekymringer og som følge av vanskeligheter i hans forhold Til Kronecker spesielt. Nylig har imidlertid en bedre forståelse av psykisk lidelse betydd at Vi nå kan være sikre på At Cantors matematiske bekymringer og hans vanskelige forhold ble sterkt forstørret av depresjonen, men ikke var årsaken (se for eksempel og ). Etter denne psykiske sykdommen i 1884 :-
… han tok en ferie i sine favoritt harz-fjell og av en eller annen grunn bestemte seg for å forsøke å forene Seg Med Kronecker. Kronecker aksepterte bevegelsen, men det må ha vært vanskelig for dem begge å glemme deres fiendskap, og de filosofiske uenighetene mellom dem forblir upåvirket.
Matematiske bekymringer begynte Å plage Cantor på dette tidspunktet, spesielt begynte Han å bekymre seg for at han ikke kunne bevise kontinuumhypotesen, nemlig at uendelig rekkefølge av de reelle tallene var den neste etter de naturlige tallene. Faktisk trodde han at han hadde bevist det falske, så neste dag fant sin feil. Igjen trodde han at han hadde bevist det sant bare igjen for raskt å finne sin feil.
Alt gikk ikke bra på andre måter også, for I 1885 mittag-Leffler overtalte Cantor å trekke en av sine papirer Fra Acta Mathematica når det hadde nådd bevis scenen fordi han trodde det «… hundre år for tidlig.» Cantor spøkte om det, men var tydelig skadet:-
Hadde Mittag-Leffler hatt sin vei, jeg måtte vente til året 1984, som for meg virket for stor etterspørsel! … Men selvfølgelig vil jeg aldri vite noe igjen om Acta Mathematica.
Mittag-Leffler mente dette som en vennlighet, men det viser en mangel på forståelse av Betydningen Av Cantors arbeid. Korrespondansen Mellom Mittag-Leffler og Cantor stoppet nesten kort tid etter denne hendelsen, og flommen av nye ideer som hadde ført Til Cantors raske utvikling av settteori over 12 år synes å ha nesten stoppet.
I 1886 Kjøpte Cantor et fint nytt hus På H@ndelstrasse, en gate oppkalt etter den tyske komponisten Handel. Før årets slutt ble en sønn født, og fullførte sin familie på seks barn. Han snudde seg fra den matematiske utviklingen av mengdelære mot to nye retninger, først diskutere filosofiske aspekter av hans teori med mange filosofer (han publiserte disse brevene i 1888) og for det andre tar over etter Clebschs død hans ide om å grunnlegge Deutsche Mathematiker-Vereinigung som han oppnådde i 1890. Cantor ledet Foreningens første Møte I Halle i September 1891, og Til tross for den bitre motsetningen mellom Seg Selv Og Kronecker, Inviterte Cantor Kronecker til å tale til det første møtet.Kronecker adresserte imidlertid aldri møtet, siden hans kone ble alvorlig skadet i en klatreulykke på sensommeren og døde kort tid etterpå. Cantor ble valgt til President For Deutsche Mathematiker-Vereinigung på det første møtet og holdt dette innlegget til 1893. Han bidro til å organisere Møtet I Foreningen holdt i Munchen i September 1893, men han ble syk igjen før møtet og kunne ikke delta.Cantor publiserte et ganske merkelig papir i 1894 som oppførte måten at alle like tall opp til 1000 kunne skrives som summen av to primtall. Siden En bekreftelse av Goldbachs formodning opp til 10000 hadde blitt gjort 40 år før, er det sannsynlig at dette merkelige papiret sier mer om Cantors sinnstilstand enn Det gjør Om Goldbachs formodning.hans siste store artikler om mengdelære dukket opp i 1895 og 1897, igjen i Mathematische Annalen under kleins redaksjon, og er fine undersøkelser av transfinite aritmetikk. Det ganske lange gapet mellom de to papirene skyldes det faktum At Selv Om Cantor ferdig med å skrive den andre delen seks måneder etter at den første delen ble publisert, håpet han å inkludere et bevis på kontinuumhypotesen i den andre delen. Det var imidlertid ikke å være, men det andre papiret beskriver hans teori om velordnede sett og ordinære tall.
I 1897 Cantor deltok på den Første Internasjonale Kongressen For Matematikere I Zü. I sine forelesninger På Kongressen :-
… Hurwitz åpenlyst uttrykte sin store beundring For Cantor og proklamerte ham som en av hvem teorien om funksjoner har blitt beriket. Jacques Hadamard uttrykte sin oppfatning at begrepene i teorien om sett var kjente og uunnværlige instrumenter.
På Kongressen Cantor møtte Dedekind og de fornyet deres vennskap. På Kongressens tid hadde Cantor imidlertid oppdaget det første av paradoksene i teorien om sett. Han oppdaget paradoksene mens han arbeidet med sine undersøkelsesdokumenter fra 1895 og 1897, og han skrev Til Hilbert i 1896 og forklarte paradokset for Ham. Burali-Forti oppdaget paradokset uavhengig og publiserte det i 1897. Cantor begynte en korrespondanse med Dedekind for å prøve å forstå hvordan han skulle løse problemene, men gjentatte anfall av hans psykiske lidelse tvang Ham til å slutte å skrive Til Dedekind i 1899.Når Cantor led av perioder med depresjon han tendens til å vende seg bort fra matematikk og slå mot filosofi og hans store litterære interesse som var en tro På At Francis Bacon skrev Shakespeares skuespill. For eksempel i sin sykdom i 1884 hadde han bedt om at han få lov til å forelese om filosofi i stedet for matematikk og han hadde begynt sin intense studier Av Elisabethansk litteratur i forsøk på å bevise Sin Bacon-Shakespeare teori. Han begynte å utgi hefter om det litterære spørsmålet i 1896 og 1897. Ekstra stress ble satt På Cantor med morens død i oktober 1896 og hans yngre brors død i januar 1899.
I oktober 1899 Cantor søkt om, og ble innvilget, permisjon fra undervisning for vinteren semester av 1899-1900. 16.desember 1899 Døde Cantors yngste sønn. Fra denne tiden til slutten av livet kjempet han mot depresjonens psykiske lidelse. Han fortsatte å undervise, men måtte også ta permisjon fra sin undervisning for en rekke vintersemestre, de av 1902-03, 1904-05 og 1907-08. Cantor tilbrakte også litt tid i sanatorier, på tider med de verste angrepene av hans psykiske lidelse, fra 1899 og utover. Han fortsatte å arbeide og publisere på Hans Bacon-Shakespeare teori og absolutt ikke gi opp matematikk helt. Han foreleste om paradokser sett teori til et møte I Deutsche Mathematiker-Vereinigung i September 1903 og han deltok På International Congress Of Mathematicians I Heidelberg i August 1904.I 1905 Skrev Cantor et religiøst arbeid etter å ha kommet hjem fra en stave på sykehus. Han korresponderte også Med Jourdain på historien om mengdelære og hans religiøse skrift. Etter å ha tatt permisjon for mye av 1909 på grunn av sin dårlige helse utførte han sine universitetsoppgaver for 1910 og 1911. Det var i det året at han var glad for å motta en invitasjon fra University Of St Andrews I Skottland for å delta på 500-årsjubileet for grunnleggelsen Av Universitetet som en fremstående utenlandsk lærd. Feiringen var 12-15 September 1911, men :-
under besøket begynte han tilsynelatende å oppføre seg eksentrisk, og snakket lenge om Bacon-Shakespeare-spørsmålet; så reiste han ned Til London for noen dager.
Cantor hadde håpet å møte Russell som nettopp hadde publisert Principia Mathematica. Men dårlig helse og nyheten om at hans sønn hadde blitt syk gjorde Cantor tilbake til Tyskland uten Å se Russell. Året Etter Cantor ble tildelt honorary degree Of Doctor Of Laws Ved University Of St Andrews, men han var for syk til å motta graden i person.Cantor pensjonerte seg i 1913 og tilbrakte sine siste år syk med lite mat på grunn av krigsforholdene I Tyskland. En stor begivenhet planlagt i Halle for Å markere Cantors 70-årsdag i 1915 måtte avlyses på grunn av krigen, men en mindre begivenhet ble holdt i hans hjem. I juni 1917 gikk han inn i et sanatorium for siste gang og skrev kontinuerlig til sin kone og ba om å få lov til å reise hjem. Han døde av et hjerteinfarkt.
Hilbert beskrev Cantors arbeid som: –
…det fineste produktet av matematisk geni og en av de øverste prestasjonene av rent intellektuell menneskelig aktivitet.