Legea deplasării lui Wien

legea lui Planck pentru spectrul radiației corpului negru prezice legea deplasării Wien și poate fi utilizată pentru a evalua numeric temperatura constantă de legătură și valoarea parametrului de vârf pentru orice Parametrizare particulară. În mod obișnuit se folosește o Parametrizare a lungimii de undă și , în acest caz, strălucirea spectrală a corpului negru (puterea pe suprafață emițătoare pe unghi solid) este:

u hectolitri ( XC ) = 2 h x 2 XC 5 1 e h x / xcktivi k T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda ,T) = {2HC^{2} \ peste \ lambda ^{5}}{1 \peste e^{hc / \ lambda kT}-1}.}

diferențierea u(XV, T)în raport cu XV și stabilirea derivatului egal cu zero dă:

∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T ( e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\parțială u \terminat \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \peste kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \terminat \la stânga(e^{hc/\lambda kT}-1\dreapta)^{2}}-{1 \peste \lambda ^{6}}{5 \e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}

care pot fi simplificate pentru a da:

H C XC / XC / XC / XC / XC − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {hc \ over \ lambda kt}{e^{hc / \ lambda kt} \ over e^{hc / \ lambda kt}-1}-5=0.}

prin definirea:

x x x C x x t , {\displaystyle x\equiv {HC \over \lambda kt},}

ecuația devine una în variabila unică x:

X e X e x-1-5 = 0. {\displaystyle {xe^{X} \ peste e ^ {x}-1}-5 = 0.}

care este echivalent cu:

( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5=0.}

această ecuație este ușor de rezolvat numeric folosind metoda lui Newton obținându-se x = 4.965114231744276303… pentru precizie dublă precizie în virgulă mobilă. Rezolvarea pentru lungimea de undă în milimetri, și utilizarea kelvins pentru randamentele de temperatură:

xktpeak = HC / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.

parametrizarea prin frecvențăedit

o altă Parametrizare comună este prin frecvență. Derivarea care produce valoarea maximă a parametrului este similară, dar pornește de la forma legii lui Planck în funcție de frecvența:

u . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu ,T) = {2h \ nu ^{3} \ peste C ^ {2}}{1 \ peste e^{h \ nu / kT}-1}.}

procedeul precedent care utilizează această ecuație produce:

− h. {\displaystyle – {h\nu \peste kT}{e^{h\nu / kT} \ peste E^{h \ nu / kT}-1}+3 = 0.}

rezultatul net este:

( x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3=0.}

Acest lucru este rezolvat în mod similar cu metoda lui Newton care dă x = 2.821439372122078893… pentru precizie dublă precizie în virgulă mobilă. O soluție analitică poate fi obținută cu funcția Lambert W

x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}

rezolvarea pentru XKT/h = (0.05878925757646824946… THz K-1) * T.

maximele diferă în funcție de parametrizare

observați că pentru o temperatură dată, parametrizarea prin frecvență implică o lungime de undă maximă diferită de parametrizarea prin lungime de undă.

de exemplu, folosind T = 6000 K și parametrizarea prin lungime de undă, lungimea de undă pentru strălucirea spectrală maximă este de 482,962 nm cu frecvența corespunzătoare de 620,737 THz. Pentru aceeași temperatură, dar parametrizându-se după frecvență, frecvența pentru radianța spectrală maximă este de 352.735 THz, cu lungimea de undă corespunzătoare de 849.907 nm.

aceste funcții sunt funcții de densitate radiantă, care sunt funcții de densitate de probabilitate scalate pentru a da unități de strălucire. Funcția de densitate are forme diferite pentru diferite parametrizări, în funcție de întinderea relativă sau compresia abscisei, care măsoară modificarea densității de probabilitate în raport cu o modificare liniară a unui parametru dat. Deoarece lungimea de undă și frecvența au o relație reciprocă, ele reprezintă schimbări semnificativ neliniare ale densității de probabilitate una față de cealaltă.

strălucirea totală este integrala distribuției peste toate valorile pozitive și aceasta este invariantă pentru o temperatură dată sub orice Parametrizare. În plus, pentru o anumită temperatură, strălucirea constând din toți fotonii între două lungimi de undă trebuie să fie aceeași, indiferent de distribuția pe care o utilizați. Asta este de a spune, integrarea lungime de undă de distribuție de la λ1 să λ2 va duce la aceeași valoare ca și integrarea distribuției de frecvență între cele două frecvențe care corespund λ1 și λ2, și anume de la c/λ2 c/λ1. Cu toate acestea, forma de distribuție depinde de parametrizare, iar pentru o Parametrizare diferită distribuția va avea de obicei o densitate de vârf diferită, așa cum demonstrează aceste calcule.

folosind valoarea 4 pentru a rezolva ecuația implicită, se obține vârful în funcția de densitate a radianței spectrale exprimată în parametrul radiance per lățime de bandă proporțională. Acesta este probabil un mod mai intuitiv de a prezenta „lungimea de undă a emisiilor de vârf”. Asta produce x = 3.920690394872886343… pentru precizie dublă precizie în virgulă mobilă.cu toate acestea, punctul important al legii lui Wien este că orice astfel de marker de lungime de undă, inclusiv lungimea de undă mediană (sau, alternativ, lungimea de undă sub care are loc orice procent specificat de emisie) este proporțională cu reciproca temperaturii. Adică, forma distribuției pentru o anumită scară de parametrizare cu și se traduce în funcție de temperatură și poate fi calculată o dată pentru o temperatură canonică, apoi deplasată și scalată corespunzător pentru a obține distribuția pentru o altă temperatură. Aceasta este o consecință a declarației puternice a legii lui Wien.