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Planck de direito para o espectro da radiação de corpo negro prevê o deslocamento de Wien lei e pode ser usado para avaliar numericamente a constante relacionadas com a temperatura e o pico de valor de parâmetro para qualquer parametrização. Comumente é usada uma parametrização de comprimento de onda e , nesse caso, a radiância espectral do corpo negro (potência por área emissora por ângulo sólido) é:
u λ ( λ, T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ k t − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}
diferenciar u (λ, T) em relação a λ e definir a derivada igual a zero dá:
λ u λ λ = 2 h c 2 ( h C K T λ 7 e h c / λ K T ( E H c / λ K T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c/λ K T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2HC^{2}\left({HC \over kT\lambda ^{7}}{e^{HC/\lambda kT} \over \left(e^{HC / \Lambda kt}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{HC/\lambda kT}-1}\right)=0,}
que pode ser simplificado para dar:
h c λ K T E h c / λ k t e h c / λ k t − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}
Por definição:
x ≡ h c λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \mais \lambda kT},}
a equação torna-se uma única variável x:
x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over e^{x}-1}-5=0.}
que é equivalente a:
( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5)e^{x}+5=0.}
esta equação é facilmente resolvida numericamente usando o método de Newton produzindo x = 4.965114231744276303… com precisão dupla de ponto flutuante. Resolvendo para o comprimento de onda λ EM milímetros, e usando kelvins para os rendimentos de temperatura:
λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
parametrização por frequência
outra parametrização comum é por frequência. The derivation yielding peak parameter value is similar, but starts with the form of Planck’s law as a function of frequency ν:
u ν ( ν , T ) = 2 h ν 3 C 2 1 e H ν / k t − 1 . {\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}
o processo anterior usando esta equação produz:
− h ν k t e h ν / k t e H ν / k t − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu / kT}-1}+3=0.}
o resultado líquido é:
( x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3)e^{x}+3=0.}
x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
a Solução para ν produz:
vpeak = xkT / h = (0.05878925757646824946… THz K−1) · T.
Maxima diferem de acordo com parameterizationEdit
Observe que, para uma dada temperatura, parametrização por frequência implica um diferente comprimento de onda de máxima de parametrização por comprimento de onda.
Por exemplo, usando T = 6000 K e parametrização pelo comprimento de onda, o comprimento de onda para radiância espectral máxima É λ = 482.962 nm com frequência correspondente ν = 620,737 THz. Para a mesma temperatura, mas Parametrizando por frequência, a frequência para radiância espectral máxima É ν = 352.735 THz com comprimento de onda correspondente λ = 849.907 nm.
estas funções são funções de densidade de radiação, que são funções de densidade de probabilidade dimensionadas para dar unidades de radiância. A função densidade tem diferentes formas para diferentes parametrizações, dependendo do alongamento relativo ou compressão da abcissa, que mede a mudança na densidade de probabilidade em relação a uma mudança linear em um dado parâmetro. Uma vez que o comprimento de onda e a frequência têm uma relação recíproca, eles representam mudanças significativamente não-lineares na densidade de probabilidade em relação um ao outro.
a radiância total é a integral da distribuição sobre todos os valores positivos, e que é invariante para uma dada temperatura sob qualquer parametrização. Além disso, para uma dada temperatura a radiância que consiste de todos os fótons entre dois comprimentos de onda deve ser a mesma independentemente da distribuição que você usa. Ou seja, a integração da distribuição de comprimento de onda de λ1 a λ2 resultará no mesmo valor que a integração da distribuição de frequência entre as duas frequências que correspondem a λ1 e λ2, nomeadamente de c/λ2 A c/λ1. No entanto, a forma da distribuição depende da parametrização, e para uma parametrização diferente a distribuição terá tipicamente uma densidade de pico diferente, como estes cálculos demonstram.
Usando o valor 4 para resolver a equação implícita, obtém-se o pico na função de densidade espectral de radiação expressa no parâmetro radiância por largura de banda proporcional. Esta é talvez uma maneira mais intuitiva de apresentar”comprimento de onda da emissão de pico”. Isso produz x = 3,920690394872886343… com precisão dupla de ponto flutuante.
o ponto importante da lei de Wien, no entanto, é que qualquer marcador de comprimento de onda, incluindo o comprimento de onda mediano (ou, alternativamente, o comprimento de onda abaixo do qual qualquer porcentagem especificada da emissão ocorre) é proporcional à recíproca da temperatura. Ou seja, a forma da distribuição para uma dada escala de parametrização com e se traduz de acordo com a temperatura, e pode ser calculada uma vez para uma temperatura canônica, então adequadamente deslocada e dimensionada para obter a distribuição para outra temperatura. Esta é uma consequência da forte afirmação da lei de Wien.