Biografia
Il padre di Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, era un commerciante di successo, lavorando come agente all’ingrosso a San Pietroburgo, poi come broker nella Borsa di San Pietroburgo. Georg Waldemar Cantor è nato in Danimarca ed era un uomo con un profondo amore per la cultura e le arti. La madre di Georg, Maria Anna Böhm, era russa e molto musicale. Certamente Georg ha ereditato notevoli talenti musicali e artistici dai suoi genitori essendo un violinista eccezionale. Georg è stato allevato un protestante, questa è la religione di suo padre, mentre la madre di Georg era un cattolico romano.
Dopo la prima educazione a casa da un tutor privato, Cantor frequentato la scuola primaria a San Pietroburgo, poi nel 1856, quando aveva undici anni la famiglia si trasferì in Germania. Tuttavia, Cantor:-
… ha ricordato i suoi primi anni in Russia con grande nostalgia e non si è mai sentito a suo agio in Germania, anche se ha vissuto lì per il resto della sua vita e apparentemente non ha mai scritto in lingua russa, che deve aver conosciuto.
Il padre di Cantor aveva problemi di salute e il trasferimento in Germania era quello di trovare un clima più caldo rispetto ai rigidi inverni di San Pietroburgo. All’inizio vissero a Wiesbaden, dove Cantor frequentò il Ginnasio, poi si trasferirono a Francoforte. Cantor ha studiato alla Realschule di Darmstadt dove ha vissuto come un boarder. Si è laureato nel 1860 con un rapporto eccezionale, che ha menzionato in particolare la sua eccezionale abilità in matematica, in particolare trigonometria. Dopo aver frequentato la Höhere Gewerbeschule di Darmstadt dal 1860 entrò nel Politecnico di Zurigo nel 1862. Il motivo per cui il padre di Cantor scelse di mandarlo alla Höheren Gewerbeschule era che voleva che Cantor diventasse:-
… una stella splendente nel firmamento ingegneristico.
Tuttavia, nel 1862 Cantor aveva cercato il permesso di suo padre per studiare matematica all’università e lui era felicissimo quando alla fine suo padre acconsentì. I suoi studi a Zurigo, tuttavia, sono stati interrotti dalla morte del padre nel giugno 1863. Cantor si trasferì all’Università di Berlino dove divenne amico di Hermann Schwarz che era un compagno di studi. Cantor ha partecipato a conferenze di Weierstrass, Kummer e Kronecker. Trascorse l’estate del 1866 presso l’Università di Gottinga, tornando a Berlino per completare la sua tesi sulla teoria dei numeri De aequationibus secundi gradus indeterminatis in nel 1867.
Mentre a Berlino Cantor è diventato molto coinvolto con uno studente Matematica Società, di essere presidente della Società durante il 1864-65. Egli è stato anche parte di un piccolo gruppo di giovani matematici che si sono incontrati settimanalmente in una casa di vino. Dopo aver ricevuto il dottorato nel 1867, Cantor insegnò in una scuola femminile a Berlino. Poi, nel 1868, ha aderito al Seminario di Schellbach per gli insegnanti di matematica. Durante questo periodo ha lavorato sulla sua abilitazione e, subito dopo essere stato nominato a Halle nel 1869, ha presentato la sua tesi, di nuovo sulla teoria dei numeri, e ha ricevuto la sua abilitazione.
A Halle la direzione della ricerca di Cantor si allontanò dalla teoria dei numeri e verso l’analisi. Ciò è dovuto a Heine, uno dei suoi colleghi più anziani a Halle, che ha sfidato Cantor per dimostrare il problema aperto sulla unicità della rappresentazione di una funzione come una serie trigonometrica. Questo è stato un problema difficile che era stato attaccato senza successo da molti matematici, tra cui Heine stesso e Dirichlet, Lipschitz e Riemann. Cantor risolse il problema dimostrando l’unicità della rappresentazione entro l’aprile 1870. Ha pubblicato ulteriori documenti tra il 1870 e il 1872 che si occupano di serie trigonometrica e questi tutti mostrano l’influenza di Weierstrass’s insegnamento.
Cantor è stato promosso a Professore straordinario a Halle nel 1872 e in quell’anno ha iniziato un rapporto di amicizia con Dedekind che aveva incontrato durante una vacanza in Svizzera. Cantor ha pubblicato un documento sulla serie trigonometrica nel 1872 in cui ha definito i numeri irrazionali in termini di sequenze convergenti di numeri razionali. Dedekind pubblicato la sua definizione dei numeri reali da” Dedekind tagli ” anche nel 1872 e in questo documento Dedekind si riferisce a Cantor del 1872 carta che Cantor aveva inviato lui.
Nel 1873 Cantor dimostrato i numeri razionali numerabili, vale a dire che possono essere collocati in uno-uno corrispondenza con i numeri naturali. Egli ha anche dimostrato che i numeri algebrici, cioè i numeri che sono radici di equazioni polinomiali con coefficienti interi, erano numerabili. Tuttavia i suoi tentativi di decidere se i numeri reali erano numerabili dimostrato più difficile. Egli aveva dimostrato che i numeri reali non erano numerabili entro il dicembre 1873 e pubblicato questo in un documento nel 1874. È in questo articolo che l’idea di una corrispondenza uno-uno appare per la prima volta, ma è solo implicita in questo lavoro.
Un numero trascendentale è un numero irrazionale che non è una radice di qualsiasi equazione polinomiale con coefficienti interi. Liouville stabilito nel 1851 che esistono numeri trascendentali. Venti anni più tardi, in questo lavoro del 1874, Cantor ha dimostrato che in un certo senso ‘quasi tutti’ i numeri sono trascendentali dimostrando che i numeri reali non erano numerabili, mentre aveva dimostrato che i numeri algebrici erano numerabili.
Cantor premette in avanti, scambiando lettere con Dedekind. La prossima domanda che si poneva, nel gennaio 1874, era se il quadrato unitario potesse essere mappato in una linea di lunghezza unitaria con una corrispondenza 1-1 di punti su ciascuno. In una lettera a Dedekind datata 5 gennaio 1874 scrisse :-
Una superficie (diciamo un quadrato che include il confine) può essere riferita univocamente a una linea (diciamo un segmento di linea retta che include i punti finali) in modo che per ogni punto sulla superficie ci sia un punto corrispondente della linea e, viceversa, per ogni punto della linea c’è un punto corrispondente della superficie? Penso che rispondere a questa domanda non sarebbe un lavoro facile, nonostante il fatto che la risposta sembri così chiaramente “no” che la prova sembra quasi inutile.
L’anno 1874 fu importante nella vita personale di Cantor. Si fidanzò con Vally Guttmann, un amico di sua sorella, nella primavera dello stesso anno. Si sono sposati il 9 agosto 1874 e ha trascorso la loro luna di miele a Interlaken in Svizzera, dove Cantor trascorso molto tempo in discussioni matematiche con Dedekind.
Cantor continuò a corrispondere con Dedekind, condividendo le sue idee e cercando le opinioni di Dedekind, e scrisse a Dedekind nel 1877 dimostrando che c’era una corrispondenza 1-1 di punti sull’intervallo e punti nello spazio ppp-dimensionale. Cantor fu sorpreso dalla sua scoperta e scrisse:-
Lo vedo, ma non ci credo!
Naturalmente questo ha avuto implicazioni per la geometria e la nozione di dimensione di uno spazio. Un importante documento sulla dimensione che Cantor ha presentato al Giornale di Crelle nel 1877 è stato trattato con sospetto da Kronecker, e pubblicato solo dopo Dedekind intervenuto per conto di Cantor. Cantor si risentì molto dell’opposizione di Kronecker al suo lavoro e non presentò mai ulteriori documenti al Diario di Crelle.
La carta sulla dimensione che è apparso nel Crelle Journal nel 1878 rende i concetti di 1-1 corrispondenza precisa. Il documento discute set denumerabili, cioè quelli che sono in corrispondenza 1-1 con i numeri naturali. Studia insiemi di uguale potenza, cioè quegli insiemi che sono in corrispondenza 1-1 l’uno con l’altro. Cantor ha anche discusso il concetto di dimensione e ha sottolineato il fatto che la sua corrispondenza tra l’intervallo e il quadrato unitario non era una mappa continua.
Tra il 1879 e il 1884 Cantor ha pubblicato una serie di sei documenti in Mathematische Annalen progettato per fornire una base introduzione alla teoria degli insiemi. Klein potrebbe aver avuto una grande influenza in avere Mathematische Annalen pubblicato loro. Tuttavia ci sono stati una serie di problemi che si sono verificati durante questi anni che si è rivelato difficile per Cantor. Anche se era stato promosso a professore ordinario nel 1879 su raccomandazione di Heine, Cantor aveva sperato in una cattedra in un’università più prestigiosa. La sua lunga corrispondenza con Schwarz si è conclusa nel 1880 come opposizione alle idee di Cantor ha continuato a crescere e Schwarz non ha più sostenuto la direzione che il lavoro di Cantor stava andando. Poi nel mese di ottobre 1881 Heine morì e una sostituzione è stata necessaria per riempire la sedia a Halle.
Cantor ha redatto un elenco di tre matematici per riempire Heine’s sedia e la lista è stata approvata. Ha piazzato Dedekind al primo posto, seguito da Heinrich Weber e infine Mertens. E ‘ stato certamente un duro colpo per Cantor quando Dedekind declinò l’offerta nei primi mesi del 1882, e il colpo è stato solo aggravato da Heinrich Weber e poi Mertens declino troppo. Dopo una nuova lista era stata redatta, Wangerin è stato nominato, ma non ha mai formato uno stretto rapporto con Cantor. La ricca corrispondenza matematica tra Cantor e Dedekind si è conclusa più tardi nel 1882.
Quasi contemporaneamente alla fine della corrispondenza Cantor-Dedekind, Cantor iniziò un’altra importante corrispondenza con Mittag-Leffler. Presto Cantor è stato pubblicato in Mittag-Leffler’s journal Acta Mathematica, ma la sua importante serie di sei documenti in Mathematische Annalen anche continuato ad apparire. Il quinto documento di questa serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ è stato anche pubblicato come una monografia separata ed è stato particolarmente importante per una serie di motivi. In primo luogo Cantor si rese conto che la sua teoria degli insiemi non stava trovando l’accettazione che aveva sperato e il Grundlagen è stato progettato per rispondere alle critiche. In secondo luogo: –
Il principale risultato del Grundlagen fu la sua presentazione dei numeri transfiniti come estensione autonoma e sistematica dei numeri naturali.
Cantor stesso afferma abbastanza chiaramente nel documento che si rende conto della forza dell’opposizione alle sue idee:-
… Mi rendo conto che in questa impresa mi pongo in una certa opposizione alle opinioni ampiamente tenute riguardo all’infinito matematico e alle opinioni spesso difese sulla natura dei numeri.
Alla fine di maggio 1884 Cantor ebbe il primo attacco di depressione registrato. Si riprese dopo poche settimane, ma ora sembrava meno fiducioso. Ha scritto a Mittag-Leffler alla fine di giugno:-
… Non lo so quando tornerò alla continuazione del mio lavoro scientifico. Al momento non posso farci assolutamente nulla, e limitarmi al dovere più necessario delle mie lezioni; quanto sarei più felice di essere scientificamente attivo, se solo avessi la necessaria freschezza mentale.
Un tempo si pensava che la sua depressione fosse causata da preoccupazioni matematiche e in conseguenza delle difficoltà del suo rapporto con Kronecker in particolare. Recentemente, tuttavia, una migliore comprensione della malattia mentale ha fatto sì che ora possiamo essere certi che le preoccupazioni matematiche di Cantor e le sue relazioni difficili sono state notevolmente amplificate dalla sua depressione, ma non ne sono state la causa (vedi per esempio e ). Dopo questa malattia mentale del 1884: –
… ha preso una vacanza nelle sue montagne preferite Harz e per qualche motivo ha deciso di cercare di riconciliarsi con Kronecker. Kronecker accettò il gesto, ma doveva essere difficile per entrambi dimenticare le loro inimicizie e i disaccordi filosofici tra di loro rimasero inalterati.
Le preoccupazioni matematiche cominciarono a turbare Cantor in questo momento, in particolare iniziò a preoccuparsi di non poter dimostrare l’ipotesi del continuum, vale a dire che l’ordine dell’infinito dei numeri reali era il successivo dopo quello dei numeri naturali. Infatti pensava di averlo dimostrato falso, poi il giorno dopo ha trovato il suo errore. Di nuovo pensò di averlo dimostrato vero solo di nuovo per trovare rapidamente il suo errore.
Tutto non stava andando bene in altri modi troppo, per nel 1885 Mittag-Leffler convinto Cantor a ritirare uno dei suoi documenti da Acta Mathematica quando aveva raggiunto la prova di fase perché ha pensato che “… circa cento anni troppo presto”. Cantor ci ha scherzato ma era chiaramente ferito: –
Se Mittag-Leffler avesse avuto la sua strada, avrei dovuto aspettare fino all’anno 1984, che mi sembrava una richiesta troppo grande! … Ma naturalmente non voglio mai sapere nulla di nuovo su Acta Mathematica.
Mittag-Leffler intendeva questo come una gentilezza, ma mostra una mancanza di apprezzamento dell’importanza del lavoro di Cantor. La corrispondenza tra Mittag-Leffler e Cantor tutti, ma si fermò poco dopo questo evento e il diluvio di nuove idee che aveva portato a Cantor rapido sviluppo della teoria degli insiemi nel corso di circa 12 anni sembra aver quasi fermato.
Nel 1886 Cantor acquistò una bella casa nuova in Händelstrasse, una strada che prende il nome dal compositore tedesco Handel. Prima della fine dell’anno è nato un figlio, completando la sua famiglia di sei figli. Si voltò dalla matematica allo sviluppo della teoria degli insiemi verso due nuove direzioni, in primo luogo discutere gli aspetti filosofici della sua teoria con molti filosofi (ha pubblicato queste lettere nel 1888) e in secondo luogo, dopo Clebsch alla sua idea di fondare la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, che ha realizzato nel 1890. Cantor presiedette la prima riunione dell’Associazione ad Halle nel settembre del 1891, e nonostante l’aspro antagonismo tra lui e Kronecker, Cantor invitò Kronecker ad affrontare la prima riunione.
Kronecker non ha mai affrontato l’incontro, tuttavia, poiché sua moglie è stata gravemente ferita in un incidente di arrampicata a fine estate e morì poco dopo. Cantor è stato eletto presidente della Deutsche Mathematiker-Vereinigung alla prima riunione e ha ricoperto questo incarico fino al 1893. Egli ha contribuito a organizzare la riunione della Associazione tenutasi a Monaco di Baviera nel settembre 1893, ma si ammalò di nuovo prima della riunione e non poteva partecipare.
Cantor ha pubblicato un piuttosto strano documento nel 1894 che ha elencato il modo in cui tutti i numeri pari fino a 1000 potrebbe essere scritto come la somma di due numeri primi. Poiché una verifica della congettura di Goldbach fino a 10000 era stata fatta 40 anni prima, è probabile che questo strano documento dica di più sullo stato mentale di Cantor rispetto alla congettura di Goldbach.
I suoi ultimi importanti documenti sulla teoria degli insiemi è apparso nel 1895 e 1897, ancora una volta in Mathematische Annalen sotto Klein’s editoriale, e sono belle indagini di transfinite aritmetica. Il divario piuttosto lungo tra i due documenti è dovuto al fatto che, anche se Cantor finito di scrivere la seconda parte sei mesi dopo la prima parte è stata pubblicata, sperava di includere una prova del continuum ipotesi nella seconda parte. Tuttavia, non doveva essere, ma il secondo documento descrive la sua teoria di insiemi ben ordinati e numeri ordinali.
Nel 1897 Cantor ha partecipato al primo Congresso Internazionale di Matematici a Zurigo. Nelle loro lezioni al Congresso:-
… Hurwitz espresse apertamente la sua grande ammirazione per Cantor e lo proclamò come uno da cui la teoria delle funzioni è stata arricchita. Jacques Hadamard ha espresso la sua opinione che le nozioni della teoria degli insiemi erano strumenti noti e indispensabili.
Al Congresso Cantor incontrò Dedekind e rinnovarono la loro amicizia. Al momento del Congresso, tuttavia, Cantor aveva scoperto il primo dei paradossi nella teoria degli insiemi. Scoprì i paradossi mentre lavorava ai suoi documenti di indagine del 1895 e del 1897 e scrisse a Hilbert nel 1896 spiegando il paradosso a lui. Burali-Forti scoprì il paradosso in modo indipendente e lo pubblicò nel 1897. Cantor iniziò una corrispondenza con Dedekind per cercare di capire come risolvere i problemi, ma gli attacchi ricorrenti della sua malattia mentale lo costrinsero a smettere di scrivere a Dedekind nel 1899.
Ogni volta che Cantor soffriva di periodi di depressione tendeva a allontanarsi dalla matematica e girare verso la filosofia e il suo grande interesse letterario che era una convinzione che Francis Bacon ha scritto opere di Shakespeare. Per esempio, nella sua malattia del 1884 egli aveva chiesto che egli essere permesso di lezione sulla filosofia, invece di matematica e aveva iniziato il suo intenso studio della letteratura elisabettiana nel tentativo di dimostrare la sua teoria Bacon-Shakespeare. Iniziò a pubblicare opuscoli sulla questione letteraria nel 1896 e nel 1897. Lo stress supplementare è stato messo su Cantor con la morte di sua madre nell’ottobre 1896 e la morte di suo fratello minore nel gennaio 1899.
Nel mese di ottobre 1899 Cantor domanda, ed è stato concesso, congedo dall’insegnamento per il semestre invernale del 1899-1900. Poi il 16 dicembre 1899 il figlio più giovane di Cantor morì. Da questo momento fino alla fine della sua vita ha combattuto contro la malattia mentale della depressione. Egli ha continuato a insegnare, ma ha anche dovuto prendere congedo dal suo insegnamento per un certo numero di semestri invernali, quelli di 1902-03, 1904-05 e 1907-08. Cantor trascorse anche qualche tempo in sanatori, nei momenti dei peggiori attacchi della sua malattia mentale, dal 1899 in poi. Egli ha continuato a lavorare e pubblicare sulla sua teoria Bacon-Shakespeare e certamente non ha rinunciato matematica completamente. Ha tenuto conferenze sui paradossi della teoria degli insiemi ad una riunione della Deutsche Mathematiker-Vereinigung nel settembre 1903 e ha partecipato al Congresso Internazionale dei matematici a Heidelberg nel mese di agosto 1904.
Nel 1905 Cantor ha scritto un lavoro religioso dopo il ritorno a casa da un incantesimo in ospedale. Ha anche corrispondeva con Jourdain sulla storia della teoria degli insiemi e il suo tratto religioso. Dopo aver preso congedo per gran parte del 1909 per motivi di salute ha svolto i suoi compiti universitari per il 1910 e il 1911. E ‘ stato in quell’anno che è stato lieto di ricevere un invito da parte dell’Università di St Andrews in Scozia per partecipare al 500 ° anniversario della fondazione dell’Università come un illustre studioso straniero. Le celebrazioni furono 12-15 settembre 1911 ma :-
Durante la visita ha apparentemente iniziato a comportarsi in modo eccentrico, parlando a lungo sulla questione Bacon-Shakespeare; poi si è recato a Londra per alcuni giorni.
Cantor sperava di incontrare Russell che aveva appena pubblicato i Principia Mathematica. Tuttavia la cattiva salute e la notizia che suo figlio si era ammalato fecero tornare Cantor in Germania senza vedere Russell. L’anno successivo Cantor è stato insignito della laurea honoris causa di Dottore in Legge da parte dell’Università di St Andrews, ma era troppo malato per ricevere la laurea in persona.
Cantor in pensione nel 1913 e ha trascorso i suoi ultimi anni malato con poco cibo a causa delle condizioni di guerra in Germania. Un grande evento programmato ad Halle per celebrare il 70 ° compleanno di Cantor nel 1915 dovette essere cancellato a causa della guerra, ma un evento più piccolo si tenne nella sua casa. Nel giugno 1917 entrò per l’ultima volta in un sanatorio e scrisse continuamente a sua moglie chiedendo di poter tornare a casa. E ‘ morto di infarto.
Hilbert descrisse il lavoro di Cantor come:-
…il miglior prodotto del genio matematico e una delle conquiste supreme dell’attività umana puramente intellettuale.