Biographie
Le père de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, était un marchand prospère, travaillant comme grossiste à Saint-Pétersbourg, puis plus tard comme courtier à la Bourse de Saint-Pétersbourg. Georg Waldemar Cantor est né au Danemark et c’était un homme avec un amour profond de la culture et des arts. La mère de Georg, Maria Anna Böhm, était russe et très musicale. Il est certain que Georg a hérité de ses parents des talents musicaux et artistiques considérables en tant que violoniste exceptionnel. Georg a été élevé protestant, c’est la religion de son père, tandis que la mère de Georg était catholique romaine.
Après une éducation précoce à la maison d’un tuteur privé, Cantor a fréquenté l’école primaire à Saint-Pétersbourg, puis en 1856, à l’âge de onze ans, la famille a déménagé en Allemagne. Cependant, Cantor: –
… se souvenait de ses premières années en Russie avec une grande nostalgie et ne se sentait jamais à l’aise en Allemagne, bien qu’il y ait vécu le reste de sa vie et n’ait apparemment jamais écrit en russe, qu’il devait connaître.
Le père de Cantor avait une mauvaise santé et le déménagement en Allemagne était pour trouver un climat plus chaud que les hivers rigoureux de Saint-Pétersbourg. Au début, ils ont vécu à Wiesbaden, où Cantor a fréquenté le gymnase, puis ils ont déménagé à Francfort. Cantor a étudié à la Realschule de Darmstadt où il a vécu comme pensionnaire. Il a obtenu son diplôme en 1860 avec un rapport exceptionnel, qui mentionnait en particulier ses compétences exceptionnelles en mathématiques, en particulier en trigonométrie. Après avoir fréquenté la Höhere Gewerbeschule de Darmstadt à partir de 1860, il entra à l’École polytechnique de Zürich en 1862. La raison pour laquelle le père de Cantor a choisi de l’envoyer à la Höheren Gewerbeschule était qu’il voulait que Cantor devienne: –
… une étoile brillante dans le firmament de l’ingénierie.
Cependant, en 1862, Cantor avait demandé à son père la permission d’étudier les mathématiques à l’université et il était ravi lorsque finalement son père y consentit. Ses études à Zürich sont cependant écourtées par la mort de son père en juin 1863. Cantor a déménagé à l’Université de Berlin où il est devenu ami avec Hermann Schwarz qui était un condisciple. Cantor a assisté à des conférences de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il passa l’été 1866 à l’Université de Göttingen, retournant à Berlin pour terminer sa thèse sur la théorie des nombres De aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ en 1867.
Pendant son séjour à Berlin, Cantor s’est beaucoup impliqué dans une Société mathématique étudiante, en étant président de la Société en 1864-65. Il faisait également partie d’un petit groupe de jeunes mathématiciens qui se rencontraient chaque semaine dans une maison de vin. Après avoir obtenu son doctorat en 1867, Cantor enseigne dans une école de filles à Berlin. Puis, en 1868, il rejoint le Séminaire de Schellbach pour les professeurs de mathématiques. Pendant ce temps, il a travaillé sur son habilitation et, immédiatement après avoir été nommé à Halle en 1869, il a présenté sa thèse, toujours sur la théorie des nombres, et a reçu son habilitation.
À Halle, la direction de la recherche de Cantor s’est détournée de la théorie des nombres et s’est tournée vers l’analyse. Cela était dû à Heine, l’un de ses collègues principaux à Halle, qui a mis au défi Cantor de prouver le problème ouvert sur l’unicité de la représentation d’une fonction en tant que série trigonométrique. C’était un problème difficile qui avait été attaqué sans succès par de nombreux mathématiciens, y compris Heine lui-même ainsi que Dirichlet, Lipschitz et Riemann. Cantor a résolu le problème prouvant l’unicité de la représentation en avril 1870. Il a publié d’autres articles entre 1870 et 1872 traitant de séries trigonométriques et tous montrent l’influence de l’enseignement de Weierstrass.
Cantor a été promu Professeur extraordinaire à Halle en 1872 et cette année-là, il a commencé une amitié avec Dedekind qu’il avait rencontré pendant ses vacances en Suisse. Cantor a publié un article sur les séries trigonométriques en 1872 dans lequel il définissait les nombres irrationnels en termes de séquences convergentes de nombres rationnels. Dedekind a publié sa définition des nombres réels par « coupes de Dedekind » également en 1872 et dans cet article, Dedekind se réfère à l’article de Cantor de 1872 que Cantor lui avait envoyé.
En 1873, Cantor a prouvé les nombres rationnels dénombrables, c’est-à-dire qu’ils peuvent être placés en correspondance un-un avec les nombres naturels. Il a également montré que les nombres algébriques, c’est-à-dire les nombres qui sont des racines d’équations polynomiales à coefficients entiers, étaient dénombrables. Cependant, ses tentatives pour décider si les nombres réels étaient dénombrables se sont avérées plus difficiles. Il avait prouvé que les nombres réels n’étaient pas dénombrables en décembre 1873 et l’avait publié dans un article en 1874. C’est dans cet article que l’idée d’une correspondance un-un apparaît pour la première fois, mais elle n’est qu’implicite dans cet ouvrage.
Un nombre transcendantal est un nombre irrationnel qui n’est la racine d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Liouville établit en 1851 que les nombres transcendantaux existent. Vingt ans plus tard, dans cet ouvrage de 1874, Cantor a montré que, dans un certain sens, « presque tous » les nombres sont transcendantaux en prouvant que les nombres réels n’étaient pas dénombrables alors qu’il avait prouvé que les nombres algébriques étaient dénombrables.
Cantor avança, échangeant des lettres avec Dedekind. La question suivante qu’il se posa lui-même, en janvier 1874, était de savoir si le carré unitaire pouvait être cartographié en une ligne de longueur unitaire avec une correspondance de 1 à 1 points sur chacun. Dans une lettre à Dedekind datée du 5 janvier 1874, il écrit :-
Une surface (disons un carré qui inclut la limite) peut-elle être référée de manière unique à une ligne (disons un segment de ligne droite qui inclut les points finaux) de sorte que pour chaque point de la surface il y ait un point correspondant de la ligne et, inversement, pour chaque point de la ligne il y a un point correspondant de la surface? Je pense que répondre à cette question ne serait pas une tâche facile, malgré le fait que la réponse semble si clairement être « non » que la preuve semble presque inutile.
L’année 1874 fut une année importante dans la vie personnelle de Cantor. Il s’est fiancé à Vally Guttmann, une amie de sa sœur, au printemps de la même année. Ils se sont mariés le 9 août 1874 et ont passé leur lune de miel à Interlaken en Suisse où Cantor a passé beaucoup de temps dans des discussions mathématiques avec Dedekind.
Cantor a continué à correspondre avec Dedekind, partageant ses idées et cherchant les opinions de Dedekind, et il a écrit à Dedekind en 1877 pour prouver qu’il y avait une correspondance de points 1-1 sur l’intervalle et les points dans l’espace de dimension ppp. Cantor a été surpris de sa propre découverte et a écrit: –
Je le vois, mais je n’y crois pas!
Bien sûr, cela avait des implications pour la géométrie et la notion de dimension d’un espace. Un article important sur la dimension que Cantor soumit au Journal de Crelle en 1877 fut traité avec suspicion par Kronecker, et publié seulement après que Dedekind intervint au nom de Cantor. Cantor en voulait beaucoup à l’opposition de Kronecker à son travail et n’a jamais soumis d’autres articles au journal de Crelle.
L’article sur la dimension paru dans le Journal de Crelle en 1878 rend précis les concepts de correspondance 1-1. L’article traite des ensembles dénumérables, c’est-à-dire ceux qui sont en correspondance 1-1 avec les nombres naturels. Il étudie les ensembles de puissance égale, c’est-à-dire les ensembles qui sont en correspondance 1-1 les uns avec les autres. Cantor a également discuté du concept de dimension et a souligné le fait que sa correspondance entre l’intervalle et le carré unitaire n’était pas une carte continue.
Entre 1879 et 1884, Cantor publie une série de six articles dans Mathematische Annalen destinés à fournir une introduction de base à la théorie des ensembles. Klein a peut-être eu une influence majeure dans la publication de Mathematische Annalen. Cependant, il y avait un certain nombre de problèmes qui se sont produits pendant ces années qui se sont avérés difficiles pour Cantor. Bien qu’il ait été promu professeur titulaire en 1879 sur la recommandation de Heine, Cantor espérait une chaire dans une université plus prestigieuse. Sa correspondance de longue date avec Schwarz a pris fin en 1880 alors que l’opposition aux idées de Cantor continuait de croître et que Schwarz ne soutenait plus la direction dans laquelle allait le travail de Cantor. Puis, en octobre 1881, Heine mourut et un remplaçant fut nécessaire pour occuper la chaire à Halle.
Cantor a dressé une liste de trois mathématiciens pour remplir la chaire de Heine et la liste a été approuvée. Il a placé Dedekind à la première place, suivi de Heinrich Weber et enfin Mertens. Ce fut certainement un coup dur pour Cantor lorsque Dedekind déclina l’offre au début de 1882, et le coup ne fit qu’empirer par Heinrich Weber puis Mertens déclinant également. Après qu’une nouvelle liste eut été établie, Wangerin fut nommé, mais il ne forma jamais de relation étroite avec Cantor. La riche correspondance mathématique entre Cantor et Dedekind a pris fin plus tard en 1882.
Presque en même temps que la correspondance Cantor-Dedekind se terminait, Cantor entamait une autre correspondance importante avec Mittag-Leffler. Bientôt Cantor publiait dans la revue de Mittag-Leffler Acta Mathematica, mais son importante série de six articles dans Mathematische Annalen continuait également à paraître. Le cinquième article de cette série Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ a également été publié en tant que monographie distincte et était particulièrement important pour un certain nombre de raisons. Tout d’abord, Cantor s’est rendu compte que sa théorie des ensembles ne trouvait pas l’acceptation qu’il espérait et le Grundlagen a été conçu pour répondre aux critiques. Deuxièmement : –
La principale réalisation du Grundlagen a été sa présentation des nombres transfinites comme une extension autonome et systématique des nombres naturels.
Cantor lui-même déclare très clairement dans le document qu’il réalise la force de l’opposition à ses idées: –
… Je me rends compte que dans cette entreprise, je me place dans une certaine opposition aux vues largement répandues sur l’infini mathématique et aux opinions fréquemment défendues sur la nature des nombres.
À la fin de mai 1884, Cantor a eu la première crise de dépression enregistrée. Il s’est rétabli après quelques semaines, mais semblait maintenant moins confiant. Il a écrit à Mittag-Leffler fin juin : –
… Je ne sais pas quand je reviendrai à la suite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien en faire, et me limiter au devoir le plus nécessaire de mes conférences; combien je serais plus heureux d’être scientifiquement actif, si seulement j’avais la fraîcheur mentale nécessaire.
À un moment donné, on pensait que sa dépression était causée par des soucis mathématiques et en raison des difficultés de sa relation avec Kronecker en particulier. Récemment, cependant, une meilleure compréhension de la maladie mentale a fait que nous pouvons maintenant être certains que les soucis mathématiques de Cantor et ses relations difficiles ont été grandement amplifiés par sa dépression mais n’en étaient pas la cause (voir par exemple et). Après cette maladie mentale de 1884 : –
… il a pris des vacances dans ses montagnes préférées du Harz et, pour une raison quelconque, a décidé d’essayer de se réconcilier avec Kronecker. Kronecker accepta le geste, mais il devait être difficile pour eux deux d’oublier leurs inimitiés et les désaccords philosophiques entre eux n’en restèrent pas affectés.
Les soucis mathématiques ont commencé à déranger Cantor à ce moment-là, en particulier il a commencé à s’inquiéter de ne pas pouvoir prouver l’hypothèse du continuum, à savoir que l’ordre de l’infini des nombres réels était le suivant après celui des nombres naturels. En fait, il pensait l’avoir prouvé faux, puis le lendemain a trouvé son erreur. Encore une fois, il pensait qu’il n’avait prouvé la vérité que pour trouver rapidement son erreur.
Tout ne se passait pas bien d’une autre manière aussi, car en 1885 Mittag-Leffler persuada Cantor de retirer un de ses papiers d’Acta Mathematica quand il avait atteint le stade de la preuve parce qu’il le pensait « … cent ans trop tôt « . Cantor plaisantait à ce sujet mais était clairement blessé: –
Si Mittag-Leffler avait fait son chemin, je devrais attendre l’année 1984, ce qui me semblait une trop grande demande! … Mais bien sûr, je ne veux plus jamais rien savoir d’Acta Mathematica.
Mittag-Leffler voulait dire cela comme une gentillesse, mais cela montre un manque d’appréciation de l’importance du travail de Cantor. La correspondance entre Mittag-Leffler et Cantor s’est presque arrêtée peu de temps après cet événement et le flot de nouvelles idées qui avait conduit au développement rapide de la théorie des ensembles par Cantor pendant environ 12 ans semble avoir presque cessé.
En 1886, Cantor acheta une belle maison neuve sur la Händelstrasse, une rue nommée d’après le compositeur allemand Haendel. Avant la fin de l’année, un fils est né, complétant sa famille de six enfants. Il se tourna du développement mathématique de la théorie des ensembles vers deux nouvelles directions, d’une part en discutant des aspects philosophiques de sa théorie avec de nombreux philosophes (il publia ces lettres en 1888) et d’autre part en reprenant après la mort de Clebsch son idée de fonder la Deutsche Mathematiker-Vereinigung qu’il réalisa en 1890. Cantor présida la première réunion de l’Association à Halle en septembre 1891, et malgré l’antagonisme amer entre lui et Kronecker, Cantor invita Kronecker à s’adresser à la première réunion.
Kronecker n’a cependant jamais pris la parole, car sa femme a été grièvement blessée dans un accident d’escalade à la fin de l’été et est décédée peu de temps après. Cantor a été élu président de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung lors de la première réunion et a occupé ce poste jusqu’en 1893. Il aida à organiser la réunion de l’Association tenue à Munich en septembre 1893, mais il tomba de nouveau malade avant la réunion et ne put y assister.
Cantor a publié un article assez étrange en 1894 qui énumérait la façon dont tous les nombres pairs jusqu’à 1000 pouvaient être écrits comme la somme de deux nombres premiers. Comme une vérification de la conjecture de Goldbach jusqu’à 10000 avait été effectuée 40 ans auparavant, il est probable que cet étrange article en dit plus sur l’état d’esprit de Cantor que sur la conjecture de Goldbach.
Ses derniers articles importants sur la théorie des ensembles parurent en 1895 et 1897, toujours dans Mathematische Annalen sous la direction de Klein, et sont de belles enquêtes sur l’arithmétique transfinite. L’écart assez long entre les deux articles est dû au fait que, bien que Cantor ait fini d’écrire la deuxième partie six mois après la publication de la première partie, il espérait inclure une preuve de l’hypothèse du continuum dans la deuxième partie. Cependant, ce ne devait pas être le cas, mais le deuxième article décrit sa théorie des ensembles bien ordonnés et des nombres ordinaux.
En 1897 Cantor a assisté au premier Congrès International des Mathématiciens à Zürich. Dans leurs conférences au Congrès: –
… Hurwitz exprima ouvertement sa grande admiration pour Cantor et le proclama comme celui par qui la théorie des fonctions s’est enrichie. Jacques Hadamard a exprimé son opinion que les notions de la théorie des ensembles étaient des instruments connus et indispensables.
Au Congrès Cantor a rencontré Dedekind et ils ont renouvelé leur amitié. Au moment du Congrès, cependant, Cantor avait découvert le premier des paradoxes de la théorie des ensembles. Il a découvert les paradoxes en travaillant sur ses articles d’enquête de 1895 et 1897 et il a écrit à Hilbert en 1896 pour lui expliquer le paradoxe. Burali-Forti a découvert le paradoxe indépendamment et l’a publié en 1897. Cantor entame une correspondance avec Dedekind pour essayer de comprendre comment résoudre les problèmes, mais des épisodes récurrents de sa maladie mentale l’obligent à cesser d’écrire à Dedekind en 1899.
Chaque fois que Cantor souffrait de périodes de dépression, il avait tendance à se détourner des mathématiques et à se tourner vers la philosophie et son grand intérêt littéraire qui était une croyance que Francis Bacon écrivait les pièces de Shakespeare. Par exemple, dans sa maladie de 1884, il avait demandé qu’il soit autorisé à donner des conférences sur la philosophie au lieu des mathématiques et il avait commencé son intense étude de la littérature élisabéthaine pour tenter de prouver sa théorie Bacon-Shakespeare. Il commence à publier des brochures sur la question littéraire en 1896 et 1897. La mort de sa mère en octobre 1896 et la mort de son frère cadet en janvier 1899 accentuèrent la pression sur Cantor.
En octobre 1899, Cantor demanda et obtint un congé d’enseignement pour le semestre d’hiver de 1899-1900. Puis, le 16 décembre 1899, le plus jeune fils de Cantor mourut. À partir de ce moment et jusqu’à la fin de sa vie, il s’est battu contre la maladie mentale de la dépression. Il continua à enseigner mais dut également prendre congé de son enseignement pour plusieurs semestres d’hiver, ceux de 1902-03, 1904-05 et 1907-08. Cantor a également passé un certain temps dans des sanatoriums, au moment des pires crises de sa maladie mentale, à partir de 1899. Il a continué à travailler et à publier sur sa théorie Bacon-Shakespeare et n’a certainement pas abandonné complètement les mathématiques. Il a donné des conférences sur les paradoxes de la théorie des ensembles à une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en septembre 1903 et il a assisté au Congrès international des Mathématiciens à Heidelberg en août 1904.
En 1905, Cantor écrit une œuvre religieuse après son retour à la maison après un séjour à l’hôpital. Il a également correspondu avec Jourdain sur l’histoire de la théorie des ensembles et son tract religieux. Après avoir pris congé pendant une grande partie de l’année 1909 en raison de sa mauvaise santé, il remplit ses fonctions universitaires en 1910 et 1911. C’est cette année-là qu’il fut ravi de recevoir une invitation de l’Université de St Andrews en Écosse pour assister au 500e anniversaire de la fondation de l’Université en tant que chercheur étranger distingué. Les célébrations ont eu lieu du 12 au 15 septembre 1911 mais :-
Pendant la visite, il a apparemment commencé à se comporter de manière excentrique, parlant longuement de la question Bacon-Shakespeare; puis il est descendu à Londres pour quelques jours.
Cantor espérait rencontrer Russell qui venait de publier les Principia Mathematica. Cependant, la mauvaise santé et la nouvelle que son fils était tombé malade obligèrent Cantor à retourner en Allemagne sans voir Russell. L’année suivante, Cantor reçut le titre honorifique de Docteur en droit de l’Université de St Andrews, mais il était trop malade pour recevoir le diplôme en personne.
Cantor prend sa retraite en 1913 et passe ses dernières années malades avec peu de nourriture à cause des conditions de guerre en Allemagne. Un événement majeur prévu à Halle pour marquer le 70e anniversaire de Cantor en 1915 a dû être annulé à cause de la guerre, mais un événement plus petit a eu lieu chez lui. En juin 1917, il entra pour la dernière fois dans un sanatorium et écrivit continuellement à sa femme pour lui demander d’être autorisé à rentrer chez lui. Il est mort d’une crise cardiaque.
Hilbert décrit le travail de Cantor comme suit: –
…le plus beau produit du génie mathématique et l’une des réalisations suprêmes de l’activité humaine purement intellectuelle.