bronnen zoeken: “Wien’ s displacement law – – news * newspapers * books * scholar * JSTOR (October 2019) (Learn how and when to remove this template message)
Planck ‘ s law for the spectrum of black body radiation predicts the Wien displacement law and may be used to numerically evaluate the constant relating temperature and the peak parameter value for any particular parameterization. Gewoonlijk wordt een golflengteparameterisatie gebruikt en in dat geval is de spectrale straling van het zwarte lichaam (vermogen per emitterend gebied per ruimtehoek):
U λ ( λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda, T) = {2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}
U(λ,T) differentiëren ten opzichte van λ en het afgeleide gelijk stellen aan nul geeft:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 h c k T λ 7 e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \meer dan \lambda ^{6}}{5 \e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}
die kan worden vereenvoudigd om te geven:
h C λ k T e H c / λ k T e H c / λ k T-1-5 = 0. {\displaystyle {hc \over\lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \ over e^{hc / \ lambda kt}-1}-5=0.}
door te definiëren:
x ≡ h C λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}
de vergelijking wordt één in de enkele variabele x:
X e X e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over e^{x}-1}-5 = 0.}
wat overeenkomt met:
(x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5=0.}
deze vergelijking kan gemakkelijk numeriek worden opgelost met behulp van de methode van Newton die x = 4,965114231744276303 oplevert… tot dubbele precisie floating point nauwkeurigheid. Het oplossen van de golflengte λ in millimeters en het gebruik van Kelvin voor de temperatuuropbrengst:
λpeak = hc / xkT =(2.897771955185172661… mm K) / T.
parametrering door frequentieedit
een andere veel voorkomende parametrering is Frequentie. De afleiding die piekparameterwaarde oplevert is vergelijkbaar, maar begint met de vorm van de wet van Planck als functie van frequentie ν:
U ν (ν, T) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 . {\displaystyle u_ {\nu} (\nu, T) = {2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}
het voorgaande proces met behulp van deze vergelijking levert:
− h ν k T e h ν / k T e h ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {H \ nu\over kT}{e^{h \ nu / kT} \over e^{h\nu / kT}-1}+3=0.}
het nettoresultaat is:
(x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3=0.}
Dit wordt ook opgelost met Newton ‘ s methode die x = 2.821439372122078893 oplevert… tot dubbele precisie floating point nauwkeurigheid. Een analytische oplossing kan worden verkregen met de Lambert W − functie
x = 3 + W ( 0, − 3 e-3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
oplossen voor ν produceert:
vpeak = xkT / h = (0,05878925757646824946… THz K-1) * T.
Maxima verschillen afhankelijk van de parameterizationEdit
merk op dat Voor een bepaalde temperatuur parametrering door frequentie een andere maximale golflengte impliceert dan parametrering door golflengte.
bijvoorbeeld bij gebruik van T = 6000 K en parametrering per golflengte is de golflengte voor maximale spectrale straling λ = 482,962 nm met bijbehorende frequentie ν = 620,737 THz. Voor dezelfde temperatuur, maar parametrerend door frequentie, is de frequentie voor maximale spectrale straling ν = 352.735 THz met overeenkomstige golflengte λ = 849.907 nm.
Deze functies zijn stralingsdichtheidsfuncties, dit zijn waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties die zijn geschaald om stralingseenheden te geven. De dichtheidsfunctie heeft verschillende vormen voor verschillende parameterisaties, afhankelijk van relatieve uitrekken of compressie van de abscis, die de verandering in waarschijnlijkheidsdichtheid ten opzichte van een lineaire verandering in een gegeven parameter meet. Aangezien golflengte en frequentie een wederkerige relatie hebben, vertegenwoordigen zij significant niet-lineaire verschuivingen in waarschijnlijkheidsdichtheid ten opzichte van elkaar.
de totale straling is de integraal van de verdeling over alle positieve waarden, en dat is invariant voor een bepaalde temperatuur onder elke parametrering. Bovendien moet voor een bepaalde temperatuur de straling die bestaat uit alle fotonen tussen twee golflengten hetzelfde zijn, ongeacht welke verdeling je gebruikt. Dat wil zeggen, het integreren van de golflengteverdeling van λ1 naar λ2 zal resulteren in dezelfde waarde als het integreren van de frequentieverdeling tussen de twee frequenties die overeenkomen met λ1 en λ2, namelijk van C/λ2 naar c/λ1. De distributievorm hangt echter af van de parametrering, en voor een andere parametrering zal de distributie typisch een andere piekdichtheid hebben, zoals deze berekeningen aantonen.
wanneer de waarde 4 wordt gebruikt om de impliciete vergelijking op te lossen, wordt de piek in de functie spectrale stralingsdichtheid uitgedrukt in de parameter radiantie per proportionele bandbreedte. Dit is misschien een meer intuïtieve manier om “golflengte van piekemissie”te presenteren. Dat levert x = 3.920690394872886343 op… tot dubbele precisie floating point nauwkeurigheid.
het belangrijke punt van de wet van Wien is echter dat elke golflength marker, met inbegrip van de mediane golflengte (Of, alternatief, de golflengte waaronder een bepaald percentage van de emissie optreedt) evenredig is met de wederkerigheid van de temperatuur. Dat wil zeggen, de vorm van de verdeling voor een bepaalde parametrering schalen met en vertaalt volgens temperatuur, en kan eenmaal worden berekend voor een canonieke temperatuur, dan adequaat verschoven en geschaald om de verdeling voor een andere temperatuur te verkrijgen. Dit is een gevolg van de sterke uitspraak van de wet van Wien.