Wiens forskyvningslov

Plancks lov for spekteret av svart kroppsstråling forutsier Wien-forskyvningsloven og kan brukes til å numerisk evaluere konstant relatert temperatur og toppparameterverdien for en bestemt parameterisering. Vanligvis brukes en bølgelengdeparameterisering, og i så fall er den svarte kroppens spektrale utstråling (effekt per emitterende område per solid vinkel):

u λ ( λ , t) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda} (\lambda ,T)={2hc^{2} \over \ lambda ^{5}}{1 \ over e^{hc / \lambda kT}-1}.}

Differensiering av u (λ, T) med hensyn til λ og innstilling av derivatet lik null gir:

∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T ( e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\delvis u \over \delvis \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\rett)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}

som kan forenkles til å gi:

h c λ k t e h c / λ k t e h c / λ k t − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {hc \ over \ lambda kt}{e^{hc / \ lambda kT} \ over e^{hc / \ lambda kT}-1}-5 = 0.}

ved å definere:

x ≡ h c λ k T, {\displaystyle x\equiv {hc \ over \ lambda kt},}

ligningen blir en i den enkle variabelen x:

x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over e^{x}-1}-5 = 0.}

som tilsvarer:

(x − 5) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5 = 0.}

denne ligningen løses lett numerisk ved Hjelp Av Newtons metode som gir x = 4.965114231744276303… å doble presisjon flyttall nøyaktighet. Løsning for bølgelengden λ i milimetre, og bruk av kelvins for temperaturutbyttet:

λ = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.

Parameterisering ved frekvensrediger

En annen vanlig parameterisering er ved frekvens. Avledningen som gir toppparameterverdi er lik, men starter med Plancks lov som en funksjon av frekvens ν:

u ν (ν, T) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T-1 . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu ,T)={2h \ nu ^{3} \ over c^{2}}{1 \ over e^{h \ nu / kT}-1}.}

den foregående prosessen ved hjelp av denne ligningen gir:

– h ν k t e h ν / k t e h ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1} + 3 = 0.}

nettoresultatet er:

( x − 3) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3 = 0.}

dette løses på samme måte med Newtons metode som gir x = 2.821439372122078893… å doble presisjon flyttall nøyaktighet. En analytisk løsning kan oppnås med Lambert w − funksjonen

x = 3 + W ( 0, − 3 e-3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}

Løsning for ν produserer:

vpeak = xkT / h = (0,05878925757646824946… Thz K−1) · t.

Maksima varierer i henhold til parameteriseringrediger

Legg Merke til at for en gitt temperatur innebærer parameterisering med frekvens en annen maksimal bølgelengde enn parameterisering med bølgelengde.

for Eksempel, Ved Bruk Av T = 6000 K og parameterisering ved bølgelengde, er bølgelengden for maksimal spektral utstråling λ = 482.962 nm med tilsvarende frekvens ν = 620.737 THz. For samme temperatur, men parameterisert etter frekvens, er frekvensen for maksimal spektral utstråling ν = 352.735 THz med tilsvarende bølgelengde λ = 849.907 nm.

disse funksjonene er radiance density funksjoner, som er sannsynlighet tetthet funksjoner skalert for å gi enheter av utstråling. Tetthetsfunksjonen har forskjellige former for forskjellige parameteriseringer, avhengig av relativ strekking eller komprimering av abscissen, som måler endringen i sannsynlighetstetthet i forhold til en lineær endring i en gitt parameter. Siden bølgelengde og frekvens har en gjensidig relasjon, representerer de signifikant ikke-lineære skift i sannsynlighetstetthet i forhold til hverandre.

total utstråling er integralet av fordelingen over alle positive verdier, og det er invariant for en gitt temperatur under enhver parameterisering. I tillegg, for en gitt temperatur må utstrålingen som består av alle fotoner mellom to bølgelengder, være den samme uansett hvilken fordeling du bruker. Det vil si, å integrere bølgelengde distribusjon fra λ1 å λ2 vil resultere i den samme verdi som å integrere frekvens fordeling mellom de to frekvensene som svarer til λ1 og λ2, nemlig fra c/λ2 c/λ1. Fordelingsformen avhenger imidlertid av parameteriseringen, og for en annen parameterisering vil fordelingen typisk ha en annen topptetthet, som disse beregningene viser.

Bruk av verdien 4 for å løse den implisitte ligningen gir toppen i spektral radiance density-funksjonen uttrykt i parameteren radiance per proporsjonal båndbredde. Dette er kanskje en mer intuitiv måte å presentere «bølgelengde av topputslipp». Det gir x = 3.920690394872886343… å doble presisjon flyttall nøyaktighet.Det viktige punktet I Wiens lov er imidlertid at en slik bølgelengdemarkør, inkludert median bølgelengde (eller alternativt bølgelengden under hvilken en spesifisert prosentandel av utslipp oppstår) er proporsjonal med den gjensidige temperaturen. Det vil si, formen av fordelingen for en gitt parameterisering skalaer med og oversetter i henhold til temperatur, og kan beregnes en gang for en kanonisk temperatur, deretter hensiktsmessig forskjøvet og skalert for å oppnå fordelingen for en annen temperatur. Dette er en konsekvens av Den sterke uttalelsen Av Wiens lov.