전기
게오르그 칸토어의 아버지,게오르그 Waldemar 칸토어,성공적인 상인,작업으로 도매 에이전트 세인트 피터 스 버그에서,나중에 다음 중개인으로서 상트페테르부르크 증권 거래소도 있습니다. Georg Waldemar Cantor 는 덴마크에서 태어 났으며 문화와 예술에 대한 깊은 사랑을 가진 사람이었습니다. 게오르그의 어머니 마리아 안나 봄은 러시아 사람이었고 매우 음악적이었습니다. 확실히 게오르그는 뛰어난 바이올리니스트 인 부모로부터 상당한 음악적,예술적 재능을 물려 받았습니다. 게오르그는 개신교를 낳았는데,이것은 그의 아버지의 종교 였고 게오르그의 어머니는 로마 카톨릭 신자였습니다.
후 조기교육에서 집에서 개인 교사,칸토어에서 초등학교에 참석했 세인트 피터스 버그,다음 1856 년에 그 때 십 년 동안 가족과 독일로 이동했다. 그러나 Cantor:-
칸토어의 아버지가 가난한 사람의 건강 및 독일로 이동했을 찾아보다 따뜻한 기후 혹독한 겨울의 세인트 피터 스버그. 처음에 그들은 비스 바덴에 살았는데,칸토어가 체육관에 참석 한 후 프랑크푸르트로 이사했습니다. 칸토어는 다름슈타트의 레알슐레에서 하숙인으로 살았던 곳에서 공부했다. 그는 수학,특히 삼각법에서 특히 뛰어난 기술을 언급 한 뛰어난 보고서로 1860 년에 졸업했습니다. 1860 년부터 다름슈타트의 Höhere Gewerbeschule 에 참석 한 후 그는 1862 년 취리히의 폴리 테크닉에 입학했다. 칸토르의 아버지가 그를 Höheren Gewerbeschule 에 보내기로 선택한 이유는 칸토어가 다음과 같이되기를 원했기 때문입니다.-
그러나,에서 1862 년 칸토어 모색했다 그의 아버지의 권한에서 수학을 공부하는 대학과 그가 기뻐했을 때에 결국 그의 아버지는 동의. 그러나 취리히에서의 그의 연구는 1863 년 6 월 아버지의 죽음으로 짧아졌다. 칸토어는 베를린 대학으로 이주하여 동료 학생이었던 헤르만 슈왈츠와 친구가 되었다. 캔터는 Weierstrass,Kummer 및 Kronecker 의 강의에 참석했습니다. 그는 여름을 보낸 용어의 1866 년에서 대학교의 괴팅겐로 돌아,베를린을 완료하는 자신의 논문에 정수론 De aequationibus secundi gradus indeterminatisⓉin1867.
베를린 칸토르에있는 동안 많은 학생 수학 사회와 관련되었다,동안 사회의 대통령 인 1864-65. 그는 또한 와인 하우스에서 매주 만난 젊은 수학자의 작은 그룹의 일원이었습니다. 1867 년 박사 학위를받은 후 칸토어는 베를린의 한 소녀 학교에서 가르쳤다. 그런 다음 1868 년에 수학 교사를위한 Schellbach 세미나에 합류했습니다. 이 기간 동안 그는 일에 그의 habilitation,후 즉시 임명되고 할 1869 년,그는 자신의 논문에 다시,정수론,그리고 자신의 habilitation 받았다.
Halle 에서 Cantor 의 연구 방향은 숫자 이론에서 벗어나 분석으로 향했다. 이 때문에 하이네,그 수석 동료에서 할리,사람 칸토어 도전을 증명에 대한 열 문제의 고유성의 표현으로 기능 삼각 시리즈입니다. 이것은 하이네 자신뿐만 아니라 디리클렛,립시츠,리만 등 많은 수학자들에 의해 실패로 공격당한 어려운 문제였습니다. 칸토어는 1870 년 4 월까지 표현의 고유성을 증명하는 문제를 해결했습니다. 그는 삼각 시리즈를 다루는 1870 년에서 1872 년 사이에 더 많은 논문을 발표했으며이 모든 것이 Weierstrass 의 가르침의 영향을 보여줍니다.
Cantor 는 1872 년 Halle 의 특별한 교수로 승진했으며 그 해에 그는 스위스에서 휴가를 보내면서 만난 Dedekind 와 우정을 시작했습니다. 칸토어에서 종이로 출판하는 삼각에서 시리즈 1872 년에 그가 정의된 불합리한 번호의 측면에서 집중 시퀀스의 합리적인 숫자입니다. 데데킨트에 게시된 자신의 정의 실수에 의해”데데킨트”상처에도 1872 및 이 논문에서 데데킨트를 참조 칸토어의 1872 종이 칸토어 그를 보냈다.
에서 1873 칸토어는 셀 수있는 합리적인 숫자를 증명,즉 그들은 자연 번호와 하나 개의 대응에 배치 될 수있다. 그는 또한 대수 숫자,즉 정수 계수를 가진 다항식 방정식의 뿌리 인 숫자가 셀 수 있음을 보여주었습니다. 그러나 실제 숫자가 셀 수 있는지 여부를 결정하려는 그의 시도는 더 열심히 입증되었습니다. 그는 1873 년 12 월까지 실제 숫자가 셀 수 없다는 것을 증명했으며 1874 년에 이것을 논문에 발표했다. 이 논문에서는 1-1 서신에 대한 아이디어가 처음으로 나타나지만,이 작품에서는 암시 적 일뿐입니다.
초월수는 정수 계수를 가진 다항식 방정식의 루트가 아닌 불합리한 숫자입니다. Liouville 은 초월적인 숫자가 존재한다는 것을 1851 년에 설립했습니다. 십 년 후,이 1874 작업,칸토어 보이는 그 어떤 의미에서’거의 모든 숫자는 탁월을 증명하는 실제로 번지 가산하는 동안 그가 입증했는 대수적 숫자 셀됐다.
Cantor 는 dedekind 와 함께 편지를 교환하면서 앞으로 나아갔습니다. 다음 질문에 그는 자신을 묻 월 1874,었는 단위 사각형 여부를 매핑될 수 있으로 라인의 단위 길이 1-1 대응 포인트의 각. 1874 년 1 월 5 일자 Dedekind 에게 보낸 편지에서 그는 다음과 같이 썼다 :-
할 수 있는 표면(예를 들어 광장을 포함하는 경계)유일하게 불리는 라인(말레인 세그먼트는 포함된 최종 점)도록에 대한 모든 지점에서 표면 거기에 해당하는 포인트가 줄의하고,반대로,모든 지점에 대한 라인의 해당 시점의 표면? 내가 생각하는 이 질문에 대답 없을 것이 쉬운 일이라는 사실에도 불구하고,답을 보이도록 명확하게”no”는 증거가 거의 불필요합니다.
1874 년은 칸토어의 개인적인 삶에서 중요한 것이 었습니다. 그는 그해 봄에 여동생의 친구 인 발리 구트 만(Vally Guttmann)과 약혼했습니다. 그들은 결혼을에서 9 월 1874 년을 보냈 자신의 신혼 여행에서 인터라켄에서 스위스 칸토어에서 많은 시간을 소비하는 수학적 논의 데데킨트와.
칸토어에 해당하는 데데킨트와 공유하고,자신의 아이디어를 찾고 데데킨트의 의견을 소중하게 생각하며,그는 그가 쓴 데데킨트 1877 년에는 것을 증명하는이 있었 1-1 의 대응에 포인트 간격이 포인트에서 ppp 차원 공간입니다. 칸토어에서 자신의 발견과 쓴:-
물론 이것은 기하학과 공간의 차원 개념에 영향을 미쳤습니다. Cantor 가 1877 년 Crelle 의 저널에 제출 한 dimension 의 주요 논문은 Kronecker 에 의해 의심으로 취급되었으며 Dedekind 가 Cantor 를 대신하여 개입 한 후에 만 출판되었습니다. 칸토어는 크로네 커의 작품에 대한 반대에 크게 분개했으며 크렐 저널에 더 이상의 논문을 제출하지 않았다.
1878 년 Crelle 의 저널에 등장한 dimension 의 논문은 1-1 대응의 개념을 정확하게 만듭니다. 이 논문은 예외적 인 집합에 대해 설명합니다. 자연수와 1-1 대응에있는 것들. 그것은 동등한 힘의 세트,즉 서로 1-1 대응에있는 세트를 연구합니다. 칸토어는 또한 차원의 개념을 논의하고 간격과 단위 광장 사이의 그의 대응이 연속지도가 아니라는 사실을 강조했다.
사이 1879 및 1884 년 칸토어 출판의 논문에 저장 부분은 좀 논란이 에피소를 제공하도록 설계되었는 기본적인 소개를 설정하는 이론입니다. Klein 은 Mathematische Annalen 이 출판 한 데 큰 영향을 미쳤을 수 있습니다. 그러나 칸토어에 대한 어려운 입증이 년 동안 발생한 문제의 숫자가 있었다. 1879 년 하이네의 추천으로 전교수로 승진했지만,칸토어는 더 명문대 의장직을 바라고 있었다. 그의 오랜 대응 슈왈츠에 끝났으로 1880 년에 반대하는 칸토어의 아이디어를 지속적으로 성장하고 Schwarz 더 이상 지원되는 방향으로는 칸토어의 작동이었다. 그런 다음 1881 년 10 월 하이네가 사망하고 할레에서 의자를 채우기 위해 교체가 필요했습니다.
Cantor 는 Heine 의 의자를 채우기 위해 세 명의 수학자 목록을 작성했으며 목록이 승인되었습니다. 그것은 dedekind 를 1 위,하인리히 웨버(Heinrich Weber)와 마침내 Mertens 가 뒤를이었다. 그것은 확실히 심각한 타격을 Cantor 때 데데킨트 제안을 거절했 초기에 1882 년,그리고 불만 더 만들에 의해 하인리히 베버리고 그런 다음 Mertens 감소하고 너무입니다. 새로운 명단을 작성한 후 왕게린이 임명되었지만 칸토르와 긴밀한 관계를 맺지 못했습니다. Cantor 와 Dedekind 사이의 풍부한 수학적 대응은 나중에 1882 년에 끝났습니다.
Cantor-Dedekind 서신이 끝난 것과 거의 같은 시간에 Cantor 는 Mittag-Leffler 와의 또 다른 중요한 서신을 시작했습니다. 곧 Cantor 는 Mittag-Leffler 의 Acta Mathematica 저널에 출간되었지만 Mathematische Annalen 에서 6 개의 중요한 논문 시리즈도 계속 나타났습니다. 다섯 번째 종이 이 시리즈에서 Grundlagen 게 되었습니다.allgemeinen MannigfaltigkeitslehreⓉ출판되었으로 별도의 논문과 특히 중요한 이유는 다음과 같습니다. 첫째로 칸토어 깨달았다는 자신의 이론을 설정되었을 찾지 못한 수용과 기대했던 Grundlagen 하도록 설계되었 답변을 비판. 둘째:-
Grundlagen 의 주요 업적은 transfinite 번호를 자연수의 자율적이고 체계적인 확장으로 제시 한 것입니다.
1884 년 5 월 말에 Cantor 는 우울증의 첫 번째 기록 된 공격을했습니다. 그는 몇 주 후에 회복했지만 지금은 자신감이 떨어지는 것처럼 보였습니다. 그는 6 월 말에 Mittag-Leffler 에게 다음과 같이 썼습니다.-
에서 한 시간이었다고 생각하는 자신의 우울증에 의해 발생했을 수학적 고민과 결과적으로 어려움의와의 관계에 맞췄습니다. 최근에,그러나,더 나은 이해의 정신 질환이 있는 의미는 우리가 할 수 있습 특정 지금 Cantor 의 수학적 걱정과 그의 어려운 관계가 크게 확대하여 자신의 우울증은 없습니다 그 원인을(예를 들어 볼 수 있고). 1884 년이 정신 질환 후:-
… 그는 자신이 좋아하는 하르 츠 산에서 휴가를 보냈고 어떤 이유로 크로네 커와 자신을 화해 시키려고하기로 결정했습니다. 맞췄 제스처를 허용하지만,그것은 어려운 그들 모두 잊고 그들의 enmities 과 철학 사이에 불화들은 여전히 영향을 받지 않습니다.
수학 걱정하기 시작했 문제 칸토어에서 이 시간에서,특히 그는 걱정하기 시작했다는 그는 것을 증명할 수있 답,즉 순서의 무한대의 실수였는 다음 후에는 자연의 숫자입니다. 사실 그는 그가 그것을 거짓으로 증명했다고 생각했고,그 다음날 그의 실수를 발견했습니다. 다시 그는 자신의 오류를 빨리 찾기 위해 다시 만 사실임을 입증했다고 생각했습니다.
모두가 잘되지 않은 다른 방법으로도 1885 년에 Mittag-Leffler 설득 칸토어를 철회 중 하나의 자신의 논문에서는 스페인 Mathematica 때 그것은 도달했을 증명 단계라고 생각했기 때문에 그것은”… 약 100 년이 너무 빨리”. 칸토어 농담 그것에 대해 명확하게 상처:-
Mittag-Leffler 했고 자신의 방법으로,나는 때까지 기다려야 하는 1984 년,나에게는 듯 너무 큰 수요! … 그러나 물론 나는 Acta Mathematica 에 대해 다시는 아무것도 알고 싶지 않습니다.
Mittag-Leffler 는 이것을 친절로 의미했지만 Cantor 의 작품의 중요성에 대한 감사가 부족하다는 것을 보여줍니다. 사이 통신 Mittag-Leffler 칸토어와 모든지 중지 후 이벤트 및 홍수의 새로운 아이디어를 주도했던 캔터의 급속한 발전의 이론에 대한 이상 12 년이 보인다 거의 중지되었습니다.
1886 년 Cantor 는 독일 작곡가 Handel 의 이름을 딴 거리 인 Händelstrasse 에서 훌륭한 새 집을 구입했습니다. 아들이 태어나 기 전에 6 명의 자녀로 구성된 가족을 완성했습니다. 그는 돌에서 수학적 개발의 이론을 설정으로 두 개의 새로운 방향으로,먼저 논의의 철학적 측면을 자신의 이론과 함께 많은 철학자들(그는 게시된 이 편지에서 1888 년)그리고 둘째로 복용 후 Clebsch 의 죽음은 그의 아이디어의 창립 Deutsche 장-vereinigung 된 그는 달성에 1890. Cantor 의장은 첫 번째 회의가 협회에서는 할레에는 1891 년,그리고에도 불구하고 적개심 사이에 자신과 맞췄,칸토어 초청을 맞췄을 주는 첫 모임입니다.
맞췄지 않을 해결 회의를,그러나,이후 그의 아내가 심각한 부상을 방지하는 등반 사고에서 늦은 여름 사망했습니다. Cantor 는 첫 번째 회의에서 Deutsche Mathematiker-Vereinigung 의 회장으로 선출되었으며 1893 년까지이 게시물을 가졌습니다. 그는 그를 정리하는 데 도움이 협회의 회의에서 개최 뮌헨에서 1893 년,하지만 그는 병이 다시기 전에 회의 참석 없습니다.
칸토어 출판 오히려 이상한 종이 1894 년에는 나열하는 방식으로 모든 짝수를 최대 1000 작성할 수 있습니의 합으로 두 개 소수. 이후의 검증 Goldbach 의 추측하 10000 수행하고 있었다는 40 년 전,그것을 가능성이 있는 이상한 종이에 대한 자세한 칸의 마음의 상태에 대한 언급보다 Goldbach 의 추측.
그의 마지막 주요 논문에 이론을 설정 등에서 1895 1897 년에 다시 저장 부분은 좀 논란이 에피소에서 클라인 편집장고,미세 조사의 transfinite 참조하시기 바랍니다. 오히려 오래 사이의 간격은 두 개의 논문은 사실이지만 칸토어에 두 번째 부분은 여섯 달 후에 첫 번째 부분에 출판되었다,그는 희망을 포함하는 증명을 연속체의 가설에서 두 번째 부분입니다. 그러나 그럴 필요는 없었지만 두 번째 논문은 잘 정렬 된 세트와 서수에 대한 그의 이론을 설명합니다.
1897 년 Cantor 는 취리히에서 수학자 최초의 국제 회의에 참석했습니다. 의회에서 그들의 강의에서:-
… Hurwitz 는 공개적으로 칸토어에 대한 그의 큰 감탄을 표명하고 그를 기능 이론이 풍성해진 사람으로 선포했습니다. 자크 하다마드(Jacques Hadamard)는 세트 이론의 개념이 알려지고 필수 불가결 한 도구라는 의견을 표명했다.
의회에서 칸토어는 Dedekind 를 만나 우정을 새롭게했습니다. 그러나 의회가 끝날 무렵 칸토르는 집합 이론에서 역설의 첫 번째를 발견했다. 그는 1895 년과 1897 년의 조사 논문에서 일하면서 역설을 발견했으며 1896 년 힐버트에게 그에게 역설을 설명하면서 썼다. Burali-Forti 는 역설을 독자적으로 발견하고 1897 년에 출판했습니다. 칸토어를 시작했 대응 데데킨트하는 방법을 이해하려고 노력하는 문제를 해결하기 위해 그러나 반복적 관찰 그의 정신적 질병이 그를 강제로 중지에 쓰기를 데데킨트에 1899.
때마다 캔 고통에서 우울증의 기간 그는 경향이에서 돌아서라는 수학과 돌로 철학 그리고 그의 큰 문학의 관심사였다는 신념은 프랜시스 베이컨을 썼다는 셰익스피어의 재생됩니다. 예를 들어에서 자신의 질병의 1884 년 그는 그가 그 강의를 사용할 수 철학에 대 수학과 시작했다는 그 강렬한 연구의 엘리자베 문헌에서 시도하는 증명의 베이컨-셰익스피어는 이론이다. 그는 1896 년과 1897 년에 문학적 질문에 대한 팜플렛을 출판하기 시작했습니다. 1896 년 10 월 그의 어머니의 죽음과 1899 년 1 월 그의 남동생의 죽음으로 칸토어에 여분의 스트레스가 가해졌습니다.
1899 년 10 월 Cantor 는 1899-1900 년 겨울 학기 동안 가르침에서 휴가를 신청하고 부여 받았다. 그런 다음 1899 년 12 월 16 일 칸토어의 막내 아들이 사망했습니다. 이 때부터 그의 인생이 끝날 때까지 그는 우울증의 정신 질환에 맞서 싸웠다. 그는 계속해서 가르쳐 않았지만 또한 가을 떠나서는 그의 교육에 대한 다수의 겨울 학기,그 1902-03,1904-05 및 1907-08. 칸토어는 또한 1899 년 이후 정신 질환의 최악의 공격의시기에 요양원에서 약간의 시간을 보냈습니다. 그는 자신의 베이컨-셰익스피어 이론에 계속 일하고 출판했으며 확실히 수학을 완전히 포기하지 않았습니다. 그의 강의에서 모순의 이론을 설정하는 회의의 도장-vereinigung 된 월 1903 고 그가 참석하는 국제 대회에서 수학자 하이델베르크에서 August1904.
1905 년 칸토르는 병원에서 주문으로 집으로 돌아온 후 종교 작품을 썼다. 그는 또한 세트 이론의 역사와 그의 종교 기관에 대한 Jourdain 과 대응했다. 그의 건강이 좋지 않다는 이유로 1909 의 많은 부분에 대한 휴가를 취한 후 그는 1910 과 1911 에 대한 대학 직무를 수행했습니다. 그것은 그 해에는 그는 기뻐했을 받을 초대 대학에서의 세인트 앤드루스에 스코틀랜드에 참석하는 500 번째 창립 기념일의 대학으로 저명한 해외 학자입니다. 축하 행사는 1911 년 9 월 12-15 일 이었지만 :-
Cantor 는 방금 Principia Mathematica 를 출판 한 Russell 과 만나기를 희망했습니다. 그러나 병든 건강과 그의 아들이 병에 걸렸다는 소식은 칸토어가 러셀을 보지 않고 독일로 돌아 가게했다. 다음과 같은 올해 칸토어 명예 박사 학위를 수여했다는 의사의 법률에 의해 대학의 세인트 앤드류스 그러나 그는 너무 아픈을 받을 정도다.
칸토르는 1913 년에 은퇴하고 독일의 전쟁 상황 때문에 식량이 거의없는 마지막 해를 보냈다. 주요 이벤트 계획에서 할리를 마크 칸토어의 70 세 생일 1915 년에 취소되기 때문에 전쟁,그러나 더 작은 이벤트에서 개최되었다. 1917 년 6 월 그는 마지막으로 요양소에 들어갔고 계속해서 아내에게 집에 갈 수 있도록 요청했습니다. 그는 심장 마비로 사망했습니다.
Hilbert 는 Cantor 의 작업을 다음과 같이 설명했습니다.-
…수학적 천재의 가장 훌륭한 산물이자 순전히 지적 인간 활동의 최고 업적 중 하나입니다.나는 이것을 할 수 없다.