Biography
Georg Cantorの父、Georg Waldemar Cantorは、サンクトペテルブルクで卸売代理店として働いていた成功した商人であり、その後サンクトペテルブルク証券取引所のブローカーとして働いていました。 Georg Waldemar Cantorはデンマークで生まれ、彼は文化と芸術の深い愛を持つ男でした。 ゲオルクの母マリア-アンナ-ベームはロシア人であり、非常に音楽的であった。 確かにゲオルクは、優れたヴァイオリニストである彼の両親からかなりの音楽的、芸術的才能を継承しました。 ゲオルクはプロテスタントで育ったが、これは父親の宗教であり、ゲオルクの母親はローマ-カトリックだった。
家庭教師から家庭で早期教育を受けた後、カントールはサンクトペテルブルクの小学校に通い、1856年に11歳のときに家族はドイツに移住しました。 ただし、Cantor:-
カントールの父親は健康が悪く、ドイツへの移動はサンクトペテルブルクの厳しい冬よりも暖かい気候を見つけることでした。 最初はヴィースバーデンに住んでいましたが、カントールは体育館に出席し、その後フランクフルトに移りました。 カントールはダルムシュタットのRealschuleで学び、そこでは寄宿生として住んでいました。 彼は1860年に数学の彼の例外的なスキル、特に三角法で特に言及した優れたレポートを卒業しました。 1860年からダルムシュタットのHöhere Gewerbeschuleに参加した後、1862年にチューリッヒ工科大学に入学した。 カントールの父親が彼をHöheren Gewerbeschuleに送ることを選んだ理由は、彼がカントールになることを望んでいたからです：-
しかし、1862年にカントールは、大学で数学を勉強する彼の父の許可を求めていたし、最終的に彼の父が同意したとき、彼は大喜びしました。 しかし、チューリッヒでの彼の研究は、1863年6月に彼の父の死によって短くカットされました。 カントールはベルリン大学に移り、同僚のヘルマン・シュヴァルツと友達になった。 カントールはワイエルシュトラス、クンマー、クロネッカーの講義に出席した。 彼は1866年の夏の学期をゲッティンゲン大学で過ごし、1867年に数論De aequationibus secundi gradus indeterminatisòに関する論文を完成させるためにベルリンに戻った。
ベルリンでカントールは多くの学生の数学の社会に関与するようになったが、1864年から65年の間に社会の会長である。 彼はまた、ワインハウスで毎週会った若い数学者の小さなグループの一部であった。 1867年に博士号を取得した後、カントールはベルリンの女子学校で教えた。 その後、1868年に、彼は数学教師のためのSchellbachセミナーに参加しました。 この時間の間に彼は彼のhabilitationに取り組んで、すぐに1869年にハレに任命された後、彼は数論に再び、彼の論文を発表し、彼のhabilitationを受けた。
ハレでは、カントールの研究の方向性は数論から離れ、分析に向かっていました。 これはハイネ、三角級数としての関数の表現の一意性にオープンな問題を証明するためにカントールに挑戦ハレ、で彼の先輩の同僚の一人によるもので これは失敗したハイネ自身だけでなく、ディリクレ、リプシッツとリーマンを含む多くの数学者によって攻撃されていた困難な問題だった。 カントールは1870年4月までに表現の一意性を証明する問題を解決した。 彼は1870年から1872年の間にさらに論文を発表し、三角シリーズを扱っており、これらはすべてワイエルシュトラスの教えの影響を示しています。
カントールは1872年にハレの臨時教授に昇進し、その年にスイスで休暇中に会ったデデキントと友情を始めた。 カントールは、彼が有理数の収束シーケンスの観点から無理数を定義した1872年に三角シリーズに関する論文を発表しました。 デデキントは1872年にも”デデキントカット”によって実数の彼の定義を発表し、この論文ではデデキントはカントールが彼を送っていたカントールの1872年の論文を参照している。
1873年にカントールは有理数可算、すなわち自然数と一対一の対応に置くことができることを証明した。 彼はまた、代数的数、すなわち整数係数を持つ多項式の根である数が可算であることを示した。 しかし、実数が可算であるかどうかを決定しようとする彼の試みは、より困難であった。 彼は1873年12月までに実数が数えられないことを証明し、1874年に論文でこれを発表した。 この論文では、一対一の対応のアイデアが初めて現れますが、この作業では暗黙のうちにしかありません。
超越数は、整数係数を持つ多項式の根ではない無理数です。 リウヴィルは1851年に超越数が存在することを確立した。 二十年後、この1874年の作品では、カンターは、彼が代数的数が可算であったことを証明していた間、実数が可算ではなかったことを証明することによって、
カントールは前に押し込み、デデキントと手紙を交換した。 彼が1874年1月に自分自身に尋ねた次の質問は、単位正方形がそれぞれの点の1対1の対応を持つ単位長の線にマッピングできるかどうかでした。 1874年1月5日付のデデキントへの手紙の中で彼は書いた :-
1874年はカンターの個人的な生活の中で重要なものでした。 彼はその年の春に、妹の友人であるVally Guttmannと婚約しました。 彼らは1874年8月9日に結婚し、スイスのインターラーケンで新婚旅行を過ごし、そこでカントールはデデキントとの数学的な議論に多くの時間を費やした。
カントールはデデキントとの対応を続け、彼の考えを共有し、デデキントの意見を求め、1877年にデデキントに手紙を書き、区間上の点とppp-次元空間上の点の1対1対応があることを証明した。 Cantorは彼自身の発見に驚き、次のように書いています：-
もちろん、これは幾何学と空間の次元の概念に影響を与えました。 カントールが1877年にクレルのジャーナルに提出した寸法に関する主要な論文は、クロネッカーによって疑惑を受けて扱われ、デデキントがカントールのために介入した後にのみ出版された。 カントールはクロネッカーの作品への反対に大いに憤慨し、それ以上の論文をクレレのジャーナルに提出したことはなかった。
1878年にクレルのジャーナルに掲載された次元に関する論文は、1-1対応の概念を正確にしている。 この論文では、denumerable setsについて説明します。 自然数と1対1の対応関係にあるもの。 それは等しい力の集合、すなわち互いに1-1対応している集合を研究する。 カントールは次元の概念についても議論し、区間と単位平方の間の彼の対応が連続写像ではないという事実を強調した。
1879年から1884年の間にカントールは、集合論への基本的な紹介を提供するために設計されたMathematische Annalenに六つの論文のシリーズを発表しました。 KleinはMathematische Annalenがそれらを出版したことに大きな影響を与えたかもしれません。 しかし、これらの年の間に起こった多くの問題があり、カントールにとっては困難であった。 彼はハイネの推薦で1879年に完全な教授に昇進していたが、カントールは、より権威のある大学で椅子を望んでいた。 シュヴァルツとの長年のやりとりは、1880年にカントールのアイデアに対する反対が高まり続け、シュヴァルツはもはやカントールの仕事が進んでいた方向性を支持しなかったために終わった。 その後、1881年10月にハイネが死亡し、ハレの椅子を埋めるために交換が必要になりました。
カントールはハイネの椅子を埋めるために三人の数学者のリストを作成し、リストが承認されました。 デデキントを第一位に、ハインリヒ-ウェーバーを第二位に、メルテンスを第三位に置いた。 デデキントが1882年初頭に申し出を拒否したとき、それは確かにカントールにとって深刻な打撃であり、打撃はハインリヒ-ウェーバーとメルテンスによって悪化させられただけであった。 新しいリストが作成された後、Wangerinは任命されましたが、彼はCantorと密接な関係を形成することはありませんでした。 カントールとデデキントの間の豊富な数学的対応は、1882年の後半に終わった。
カントール-デデキント通信が終了したのとほぼ同じ時期に、カントールはMittag-Lefflerとの別の重要な通信を開始しました。 すぐにカンターはMittag-LefflerのジャーナルActa Mathematicaに出版されたが、Mathematische Annalenの六つの論文の彼の重要なシリーズも表示され続けた。 このシリーズの第五の論文Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehreßはまた、別のモノグラフとして出版され、多くの理由のために特に重要でした。 まず、カントールは、セットの彼の理論は、彼が望んでいた受け入れを見つけていなかったことに気づき、Grundlagenは批判に返信するように設計されました。 第二に：-
1884年の終わりに、カントールはうつ病の最初の記録された攻撃を受けました。 彼は数週間後に回復したが、今は自信がなかったようだった。 彼は6月末にMittag-Lefflerに次のように書いています。-
数学的な心配は、この時点でカントールを悩ませ始めた、特に彼は彼が連続体仮説を証明できなかったこと、すなわち実数の無限大の順序が自然数の次であることを心配し始めた。 実際、彼はそれが偽であることを証明したと思った後、次の日に彼の間違いを見つけました。 再び彼はすぐに彼のエラーを見つけるために再びそれが真実であることを証明したと思った。
1885年にMittag-LefflerがCantorにActa Mathematicaから論文の一つを撤回するよう説得したため、彼はそれを考えたので、それが証明段階に達したときに、他の方法でもうまくいっていませんでした。.. 約百年も早すぎる”と述べている。 Cantorはそれについて冗談を言ったが、明らかに傷ついた：-
Mittag-Lefflerが彼の方法を持っていた、私は私にはあまりにも偉大な需要に見えた1984年まで待たなけ … しかし、もちろん、私はActa Mathematicaについて再び何も知りたくありません。
Mittag-Lefflerはこれを優しさとして意味しましたが、Cantorの仕事の重要性に対する感謝の欠如を示しています。 Mittag-LefflerとCantorの間の対応は、この出来事と約12年間にわたるCantorの集合論の急速な発展につながった新しいアイデアの洪水の直後に停止しましたが、ほとん
1886年、カントールはドイツの作曲家ヘンデルにちなんで名付けられた通り、ヘンデルシュトラーセに新しい家を購入した。 年の終わりの前に息子が生まれ、6人の子供の彼の家族を完了しました。 彼は2つの新しい方向に向けて集合論の数学的発展から、まず多くの哲学者（彼は1888年にこれらの手紙を出版）と彼の理論の哲学的側面を議論し、第二にクレブシュの死の後に彼が1890年に達成したDeutsche Mathematiker-Vereinigungを設立するという彼のアイデアを引き継いだ。 カントールは1891年9月にハレでの協会の最初の会合の議長を務め、自身とクロネッカーの間の激しい対立にもかかわらず、クロネッカーに最初の会合に演説するよう招待した。
クロネッカーは、しかし、彼の妻は夏の終わりに登山事故で重傷を負い、その直後に死亡したため、会議に対処しませんでした。 カントールは最初の会議でドイツ数学者-Vereinigungの会長に選出され、1893年までこのポストを開催しました。 彼は1893年9月にミュンヘンで開催された協会の会議を組織するのを助けましたが、会議の前に再び病気になり、出席できませんでした。
カントールは1894年に奇妙な論文を発表し、1000までのすべての偶数を二つの素数の合計として書くことができる方法を記載しました。 10000までのGoldbachの予想の検証は40年前に行われていたので、この奇妙な論文はGoldbachの予想よりもCantorの心の状態についての詳細を述べている可能性が高い。
セット理論上の彼の最後の主要な論文は、クラインの編集の下でMathematische Annalenで再び、1895年と1897年に登場し、超小数算術の細かい調査です。 2つの論文の間のかなり長いギャップは、カントールが最初の部分が出版された6ヶ月後に第二部を書き終えたが、彼は第二部に連続体仮説の証明を含めることを望んでいたという事実によるものである。 しかし、それはそうではありませんでしたが、第二の論文は、順序付けられた集合と順序数の彼の理論を説明しています。
1897年、カントールはチューリッヒで最初の国際数学者会議に出席した。 議会での彼らの講義では：-
議会でカントールはデデキントに会い、彼らは友情を更新しました。 しかし、議会の時までに、カントールはセットの理論におけるパラドックスの最初のものを発見しました。 1895年と1897年の彼の調査論文に取り組んでいる間、彼はパラドックスを発見し、彼は彼にパラドックスを説明する1896年にヒルベルトに書いた。 ブラリ＝フォルティはこのパラドックスを独立して発見し、1897年に出版した。 カントールは、問題を解決する方法を理解しようとするデデキントとの通信を始めたが、彼の精神疾患の繰り返しの発作は、1899年にデデキントへの書き込みを停止するために彼を余儀なくされた。
カンターがうつ病の期間に苦しんだときはいつでも、彼は数学から離れ、哲学とフランシス-ベーコンがシェイクスピアの戯曲を書いたという信念であった彼の大きな文学的関心に向かって回る傾向があった。 例えば、1884年の彼の病気で彼は彼が数学の代わりに哲学の講義を許可されることを要求していたし、彼は彼のベーコン-シェイクスピア理論を証明しようとすると、エリザベス朝文学の彼の強烈な研究を始めていた。 彼は1896年と1897年に文学的な質問に関するパンフレットを出版し始めた。 カントールは1896年10月に母親が亡くなり、1899年1月に弟が亡くなったことでさらにストレスを感じていた。
1899年10月、カントールは1899年から1900年の冬学期のための教育からの休暇を申請し、許可されました。 その後、1899年12月16日にカントールの末子が死去した。 この時から彼の人生の終わりまで、彼はうつ病の精神疾患と戦った。 彼は教えることを続けただけでなく、冬の学期、1902-03、1904-05、1907-08のいくつかのために彼の教えから休暇を取らなければならなかった。 カントールはまた、1899年以降、彼の精神疾患の最悪の攻撃の時に、療養所でいくつかの時間を過ごしました。 彼は仕事を続け、彼のベーコン-シェイクスピア理論に公開し、確かに数学を完全にあきらめていませんでした。 彼は1903年9月にDeutsche Mathematiker-Vereinigungの会議に集合論のパラドックスについて講義し、1904年8月にハイデルベルクで国際数学者会議に出席した。
1905年、カントールは病院での呪文から帰国した後、宗教的な作品を書いた。 彼はまた、集合論の歴史と彼の宗教的な道にJourdainと対応していました。 彼の病気を理由に1909年の多くのために休暇を取った後、彼は1910年と1911年のために彼の大学の職務を行った。 それは彼が著名な外国人学者として大学の創立500周年に出席するためにスコットランドのセントアンドリュース大学からの招待を受けることを喜 お祝いは1911年9月12-15日でしたが :-
CantorはちょうどPrincipia Mathematicaを出版したラッセルと会うことを望んでいました。 しかし、病気と彼の息子が病気にかかっていたというニュースは、カントールをラッセルに会わずにドイツに帰国させた。 翌年、カンターはセント-アンドリュース大学から法学博士の名誉学位を授与されたが、彼は個人的に学位を受け取るにはあまりにも病気だった。
カントールは1913年に引退し、ドイツでの戦争状況のために食べ物がほとんどない状態で晩年を過ごした。 カントールの70歳の誕生日を記念して1915年にハレで計画された主要なイベントは、戦争のためにキャンセルされなければならなかったが、彼の家で小規模なイベントが開催された。 1917年、彼は最後の療養所に入り、妻に家に帰ることを求めて続けて手紙を書いた。 彼は心臓発作で死亡した。
ヒルベルトは、カンターの作品を次のように説明しました。-