Legge di spostamento di Wien

La legge di Planck per lo spettro della radiazione del corpo nero predice la legge di spostamento di Wien e può essere utilizzata per valutare numericamente la temperatura costante relativa e il valore del parametro di picco per una particolare parametrizzazione. Comunemente viene utilizzata una parametrizzazione della lunghezza d’onda e in tal caso la radianza spettrale del corpo nero (potenza per area di emissione per angolo solido) è:

u λ ( λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. in questo caso ,è possibile utilizzare il modulo di richiesta per l’invio di un messaggio di posta elettronica.

Differenziando u (λ, T) rispetto a λ e impostando la derivata uguale a zero si ottiene:

∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \oltre \lambda ^{6}}{5 \e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}

che può essere semplificato per dare:

h c λ k T e h c / λ k T e h c / λ k T-1-5 = 0. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Da definire:

x ≡ h c λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}

l’equazione diventa uno nella sola variabile x:

x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ su e^{x}-1}-5=0.}

che è equivalente a:

(x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5)e^{x}+5=0.}

Questa equazione è facilmente risolta numericamente usando il metodo di Newton che produce x = 4.965114231744276303… a doppia precisione precisione in virgola mobile. Risolvendo per la lunghezza d’onda λ in milimetri e usando kelvin per le rese di temperatura:

λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.

Parametrizzazione per frequenzamodifica

Un’altra parametrizzazione comune è per frequenza. La derivazione che produce il valore del parametro di picco è simile , ma inizia con la forma della legge di Planck in funzione della frequenza ν:

u ν ( ν, T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu ,T)={2h \nu ^{3} \su c^{2}}{1\su e^{h \ nu /kT}-1}. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Il processo precedente che utilizza questa equazione produce:

− h ν k T e h ν / k T e h ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h \ nu \ su kT}{e^{h \ nu / kT} \ su e^{h \ nu / kT}-1}+3 = 0. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Il risultato netto è:

(x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3)e^{x} + 3=0.}

Questo è risolto in modo simile con il metodo di Newton che produce x = 2.821439372122078893… a doppia precisione precisione in virgola mobile. Una soluzione analitica può essere ottenuto con la W di Lambert

x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}

la Risoluzione per ν produce:

vpeak = xkT / h = (0.05878925757646824946… THz K-1) * T.

I massimi differiscono in base alla parametrizzazioneedit

Si noti che per una data temperatura, la parametrizzazione per frequenza implica una lunghezza d’onda massima diversa dalla parametrizzazione per lunghezza d’onda.

Ad esempio, usando T = 6000 K e la parametrizzazione per lunghezza d’onda, la lunghezza d’onda per la massima radianza spettrale è λ = 482,962 nm con frequenza corrispondente ν = 620,737 THz. Per la stessa temperatura, ma parametrizzando per frequenza, la frequenza per la massima radianza spettrale è ν = 352.735 THz con corrispondente lunghezza d’onda λ = 849.907 nm.

Queste funzioni sono funzioni di densità di radianza, che sono funzioni di densità di probabilità scalate per dare unità di radianza. La funzione di densità ha forme diverse per diverse parametrizzazioni, a seconda dello stiramento relativo o della compressione dell’ascissa, che misura la variazione della densità di probabilità rispetto a una variazione lineare in un dato parametro. Poiché la lunghezza d’onda e la frequenza hanno una relazione reciproca, rappresentano spostamenti significativamente non lineari nella densità di probabilità l’uno rispetto all’altro.

La radianza totale è l’integrale della distribuzione su tutti i valori positivi, e che è invariante per una data temperatura sotto qualsiasi parametrizzazione. Inoltre, per una data temperatura la luminosità costituita da tutti i fotoni tra due lunghezze d’onda deve essere la stessa indipendentemente dalla distribuzione utilizzata. Vale a dire, integrando la distribuzione della lunghezza d’onda da λ1 a λ2 si otterrà lo stesso valore dell’integrazione della distribuzione di frequenza tra le due frequenze che corrispondono a λ1 e λ2, vale a dire da c/λ2 a c/λ1. Tuttavia, la forma di distribuzione dipende dalla parametrizzazione e, per una parametrizzazione diversa, la distribuzione avrà in genere una densità di picco diversa, come dimostrano questi calcoli.

Utilizzando il valore 4 per risolvere l’equazione implicita si ottiene il picco nella funzione di densità di radianza spettrale espressa nel parametro radianza per larghezza di banda proporzionale. Questo è forse un modo più intuitivo di presentare “lunghezza d’onda dell’emissione di picco”. Che produce x = 3.920690394872886343… a doppia precisione precisione in virgola mobile.

Il punto importante della legge di Wien, tuttavia, è che qualsiasi marcatore di lunghezza d’onda, inclusa la lunghezza d’onda mediana (o, in alternativa, la lunghezza d’onda al di sotto della quale si verifica una determinata percentuale di emissione) è proporzionale al reciproco della temperatura. Cioè, la forma della distribuzione per una data parametrizzazione scala con e traduce in base alla temperatura, e può essere calcolata una volta per una temperatura canonica, quindi opportunamente spostata e ridimensionata per ottenere la distribuzione per un’altra temperatura. Questa è una conseguenza della forte affermazione della legge di Vienna.