életrajz
Georg Cantor apja, Georg Waldemar Cantor sikeres kereskedő volt, nagykereskedőként dolgozott Szentpéterváron, majd később bróker volt a Szentpétervári tőzsdén. Georg Waldemar Cantor Dániában született, és olyan ember volt, aki mélységesen szerette a kultúrát és a művészetet. Georg édesanyja, Maria Anna Böhm orosz volt és nagyon zenés. Természetesen Georg jelentős zenei és művészeti tehetségeket örökölt a szüleitől, akik kiváló hegedűművészek voltak. Georg protestáns volt, ez az apja vallása, míg Georg anyja római katolikus volt.
a magántanár otthoni korai oktatása után Cantor Szentpéterváron Általános Iskolába járt, majd 1856-ban, amikor tizenegy éves volt, a család Németországba költözött. Azonban Cantor : –
… Oroszországban töltött korai éveit nagy nosztalgiával töltötte, és soha nem érezte magát nyugalomban Németországban, bár élete végéig ott élt, és látszólag soha nem írt orosz nyelven, amit tudnia kellett.
Cantor apja rossz egészségi állapotban volt, és a Németországba költözés melegebb éghajlatra tett szert, mint Szentpétervár kemény telei. Először Wiesbadenben éltek, ahol Cantor részt vett a gimnáziumban, majd Frankfurtba költöztek. Cantor a darmstadti Realschule-ban tanult, ahol evezőként élt. 1860-ban végzett kiemelkedő jelentéssel, amely különösen a matematika, különösen a trigonometria kivételes készségeit említette. 1860-tól a darmstadti Höhere Gewerbeschule-ban való részvétel után 1862-ben belépett a Zürichi Politechnikába. Cantor apja azért választotta őt a höheren Gewerbeschule-be, mert azt akarta, hogy Cantor legyen: –
… ragyogó csillag a mérnöki égbolton.
azonban 1862-ben Cantor kérte apja engedélyét, hogy matematikát tanuljon az egyetemen, és boldog volt, amikor végül apja beleegyezett. Tanulmányait Zürichben azonban apja 1863 júniusában bekövetkezett halála rövidítette meg. Cantor a Berlini Egyetemre költözött, ahol Hermann Schwarz barátja lett, aki diáktársa volt. Cantor Weierstrass, Kummer és Kronecker előadásain vett részt. 1866 nyarát a Göttingeni Egyetemen töltötte, majd visszatért Berlinbe, hogy 1867-ben befejezze a számelmélet de aequationibus secundi gradus indeterminatis Ⓣ című disszertációját.
míg Berlin Cantor lett sok részt egy diák matematikai társadalom, hogy elnöke a társadalom alatt 1864-65. Tagja volt egy fiatal matematikusok egy kis csoportjának is, akik hetente találkoztak egy Borházban. Miután 1867-ben doktorált, Cantor egy berlini lányiskolában tanított. Ezután 1868-ban csatlakozott a schellbach matematikai tanárok Szemináriumához. Ez idő alatt habilitációján dolgozott, majd miután 1869-ben kinevezték Halle-ba, ismét a számelméletről szóló értekezését mutatta be, és megkapta habilitációját.
Halle-nál Cantor kutatásának iránya elfordult a számelmélettől és az analízis felé. Ennek oka Heine, Halle egyik vezető kollégája volt, aki kihívta Cantort, hogy bizonyítsa a nyitott problémát a trigonometrikus sorozatként való ábrázolás egyediségével kapcsolatban. Ez egy nehéz probléma volt, amelyet sok matematikus sikertelenül támadott meg, köztük Heine maga, valamint Dirichlet, Lipschitz és Riemann. Cantor 1870 áprilisáig megoldotta a reprezentáció egyediségét igazoló problémát. 1870 és 1872 között további, trigonometrikus sorozatokkal foglalkozó írásokat tett közzé, melyek mind Weierstrass tanításainak hatását mutatják.
Cantort 1872-ben a Halle rendkívüli professzorává léptették elő, és abban az évben barátságot kezdett Dedekinddel, akivel Svájcban nyaralása közben találkozott. Cantor 1872-ben kiadott egy tanulmányt a trigonometrikus sorozatról, amelyben irracionális számokat határozott meg a racionális számok konvergens szekvenciái szempontjából. Dedekind 1872-ben “Dedekind cuts” címmel publikálta a valós számok definícióját, és ebben a lapban Dedekind Cantor 1872-es írására hivatkozik, amelyet Cantor küldött neki.
1873-ban Cantor bebizonyította, hogy a racionális számok megszámlálhatók, azaz a természetes számokkal egy-egy arányban helyezhetők el. Azt is megmutatta,hogy az algebrai számok, azaz azok a számok, amelyek egész együtthatókkal rendelkező polinom egyenletek gyökerei, megszámlálhatók. Azonban a kísérletek, hogy eldöntsék, hogy a valós számok megszámlálható bizonyult nehezebb. 1873 decemberére bebizonyította, hogy a valós számok nem számítanak, és ezt 1874-ben egy újságban publikálta. Ebben a tanulmányban először jelenik meg az egy-egy levelezés gondolata, de ez csak implicit ebben a munkában.
a transzcendentális szám egy irracionális szám, amely nem egy egész együtthatóval rendelkező polinom egyenlet gyökere. Liouville 1851-ben alakult, hogy transzcendentális számok léteznek. Húsz évvel később, ebben az 1874-es munkában Cantor megmutatta, hogy bizonyos értelemben “szinte minden” szám transzcendentális, bizonyítva, hogy a valós számok nem számítanak, miközben bebizonyította, hogy az algebrai számok megszámlálhatók.
Cantor nyomott előre, cseréje betűk egész Dedekind. A következő kérdés, amelyet 1874 januárjában feltett magának, az volt, hogy az egység négyzetét fel lehet-e térképezni egy egységhosszúságba, mindegyiken 1-1 pont megfeleltetéssel. A levél Dedekind kelt 5 január 1874 írta :-
lehet-e egy felületet (mondjuk egy négyzetet, amely magában foglalja a határt) egyedileg utalni egy vonalra (mondjuk egy egyenes vonalszakaszra, amely tartalmazza a végpontokat) úgy, hogy a felület minden pontján legyen a vonal megfelelő pontja, és fordítva, a vonal minden pontján van a felület megfelelő pontja? Úgy gondolom, hogy a kérdés megválaszolása nem lenne könnyű feladat, annak ellenére, hogy a válasz olyan egyértelműen “nem”, hogy a bizonyíték szinte feleslegesnek tűnik.
az 1874-es év fontos volt Cantor személyes életében. Ez év tavaszán eljegyezte Vally Guttmann-t, nővére barátját. 1874.augusztus 9-én házasodtak össze, és a nászútjukat Svájcban, Interlakenben töltötték, ahol Cantor sok időt töltött matematikai megbeszéléseken Dedekinddal.
Cantor tovább levelezett Dedekinddel, megosztotta elképzeléseit és Dedekind véleményét kereste, és 1877-ben írt Dedekindnek, bizonyítva, hogy a ppp-dimenziós tér intervallumain és pontjain 1-1 pont van. Cantor meglepődött a saját felfedezésén, és azt írta: –
látom, de nem hiszem el!
ez természetesen hatással volt a geometriára és a tér dimenziójának fogalmára. Cantor 1877-ben terjesztette be a Crelle naplójába a dimenzióról szóló jelentős tanulmányt, amelyet Kronecker gyanakvással kezelt, és csak azután jelent meg, hogy Dedekind közbelépett Cantor nevében. Cantor nehezményezte, hogy Kronecker ellenzi a munkáját, és soha nem nyújtott be újabb papírokat Crelle naplójához.
A Crelle naplójában 1878-ban megjelent, a dimenzióról szóló tanulmány pontosítja az 1-1 levelezés fogalmát. A dolgozat számtalan halmazt tárgyal, azaz azok, amelyek 1-1 összhangban vannak a természetes számokkal. Az egyenlő teljesítményű halmazokat vizsgálja, azaz azokat a készleteket, amelyek 1-1 levelezésben vannak egymással. Cantor kitért a dimenzió fogalmára is, és hangsúlyozta, hogy az intervallum és az egység tér közötti megfelelése nem egy folyamatos térkép.
1879 és 1884 között Cantor hat tanulmányt publikált Mathematische Annalen-ben, amelynek célja a halmazelmélet alapvető bevezetése volt. Klein nagy hatással lehetett arra, hogy Mathematische Annalen közzétette őket. Azonban számos olyan probléma merült fel ezekben az években, amelyek nehéznek bizonyultak Cantor számára. Bár 1879-ben Heine javaslatára teljes jogú professzorrá léptették elő, Cantor egy rangosabb Egyetemen egy székre számított. A Schwarz-szal folytatott hosszú levelezése 1880-ban ért véget, mivel Cantor elképzeléseivel szembeni ellenállás tovább nőtt, Schwarz pedig már nem támogatta Cantor munkájának irányát. Aztán 1881 októberében Heine meghalt, és a hallei szék betöltéséhez pótlásra volt szükség.
Cantor összeállított egy listát a három matematikus, hogy töltse Heine szék, és a lista jóváhagyták. Az első helyen Dedekind végzett, őt Heinrich Weber és végül Mertens követte. Cantor számára minden bizonnyal súlyos csapás volt, amikor Dedekind 1882 elején elutasította az ajánlatot, és a csapást csak Heinrich Weber rontotta, majd Mertens is hanyatlott. Miután egy új listát állítottak össze, Wangerint kinevezték, de soha nem alakított szoros kapcsolatot Cantorral. Cantor és Dedekind gazdag matematikai levelezése később, 1882-ben ért véget.
majdnem ugyanabban az időben, amikor a Cantor-Dedekind levelezés véget ért, Cantor újabb fontos levelezést kezdett Mittag-Lefflerrel. Hamarosan Cantor megjelent Mittag-Leffler “Acta Mathematica” című folyóiratában, de a Mathematische Annalen hat fontos cikke is megjelent. Az ötödik cikk ebben a sorozatban Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ is megjelent, mint egy külön monográfia, és különösen fontos volt számos okból. Először Cantor rájött, hogy a halmazelmélet nem találja meg azt az elfogadást, amelyet remélt, és a grundlagent úgy tervezték, hogy válaszoljon a kritikákra. Másodszor: –
a Grundlagen fő eredménye a transzfinit számok bemutatása volt, mint a természetes számok autonóm és szisztematikus kiterjesztése.
Cantor maga is világosan kijelenti az újságban, hogy megvalósítja az elképzeléseivel szembeni ellenállás erejét: –
… Tisztában vagyok azzal, hogy ebben a vállalkozásban a matematikai végtelenséggel és a számok természetével kapcsolatban gyakran hangoztatott véleményekkel szemben bizonyos ellenérzéseket fogalmazok meg.
1884.május végén Cantor volt az első feljegyzett depresszió támadása. Néhány hét múlva felépült, de most kevésbé magabiztosnak tűnt. Június végén írt Mittag-Lefflernek: –
… Nem tudom, mikor térek vissza tudományos munkám folytatásához. Jelenleg semmit sem tehetek vele, és az előadásaim legszükségesebb kötelességére korlátozom magam; mennyire boldogabb lennék, ha tudományosan aktív lennék, ha csak a szükséges mentális frissesség lenne.
egy időben azt hitték, hogy depresszióját matematikai aggodalmak okozták, különösen a Kroneckerrel való kapcsolatának nehézségei miatt. Az utóbbi időben azonban a mentális betegségek jobb megértése azt jelentette, hogy most már biztosak lehetünk abban, hogy Cantor matematikai gondjait és nehéz kapcsolatait nagymértékben megnövelte a depressziója, de nem volt oka (lásd például ). Az 1884-es mentális betegség után: –
… kedvenc Harz-hegységében nyaralt, és valamilyen oknál fogva úgy döntött, hogy megpróbálja összeegyeztetni magát Kroneckerrel. Kronecker elfogadta a gesztust, de mindkettejüknek nehéz lehetett elfelejteni ellenségeskedésüket, és a köztük lévő filozófiai nézeteltérések nem változtak.
A matematikai aggodalmak ebben az időben bajba kerültek Cantor számára, különösen aggódni kezdett, hogy nem tudja bizonyítani a folytonossági hipotézist, nevezetesen azt, hogy a valós számok végtelenségének sorrendje a következő a természetes számok után. Valójában azt hitte, hogy hamisnak bizonyult, majd másnap megtalálta a hibáját. Ismét azt hitte, hogy csak ismét igaznak bizonyult, hogy gyorsan megtalálja hibáját.
minden más szempontból sem ment jól, mert 1885-ben Mittag-Leffler meggyőzte Cantort, hogy vonja vissza egyik dolgozatát az Acta Mathematica-ból, amikor elérte a bizonyítási szintet, mert úgy gondolta “… körülbelül száz év túl hamar”. Cantor viccelődött róla, de egyértelműen megsérült:-
Mittag-Leffler volt az útja, meg kell várnom az 1984-es évet, ami számomra túl nagy igénynek tűnt! … De természetesen soha többé nem akarok tudni semmit az Acta Mathematica – ról.
Mittag-Leffler ezt kedvességként jelentette, de azt mutatja, hogy nem értékeli Cantor munkájának fontosságát. A Mittag-Leffler és Cantor közötti levelezés nem sokkal az esemény után megállt, és az új ötletek áradása, amely Kántor halmazelméletének gyors fejlődéséhez vezetett körülbelül 12 év alatt, úgy tűnik, majdnem megállt.
1886-ban Cantor vásárolt egy szép új házat a Händelstrasse-n, egy utcát, amelyet Handel német zeneszerzőről neveztek el. Az év vége előtt született egy fiú, aki hat gyermek családját töltötte be. A halmazelmélet matematikai fejlődésétől két új irány felé fordult, először elméletének filozófiai aspektusait tárgyalta sok filozófussal (ezeket a leveleket 1888-ban tette közzé), másodszor pedig Clebsch halála után átvette a Deutsche Mathematiker-Vereinigung megalapításának gondolatát, amelyet 1890-ben ért el. Cantor 1891 szeptemberében vezette az egyesület első ülését Halle-ban, és a maga és Kronecker közötti keserű ellentét ellenére Cantor meghívta Kronecker-t, hogy foglalkozzon az első üléssel.
Kronecker azonban soha nem foglalkozott a találkozóval, mivel felesége nyár végén egy hegymászó balesetben súlyosan megsérült, nem sokkal később meghalt. Cantort az első ülésen a Deutsche Mathematiker-Vereinigung elnökévé választották, és ezt a tisztséget 1893-ig töltötte be. Segített megszervezni az 1893 szeptemberében Münchenben megrendezett Szövetség ülését, de az ülés előtt ismét rosszul lett, és nem tudott részt venni rajta.
Cantor 1894-ben egy meglehetősen furcsa tanulmányt tett közzé, amely felsorolta, hogy az 1000-ig terjedő páros számok két prím összegeként írhatók. Mivel a Goldbach sejtésének 10000-ig történő ellenőrzését 40 évvel korábban végezték el, valószínű, hogy ez a furcsa papír többet mond Cantor lelkiállapotáról, mint Goldbach sejtéséről.
1895-ben és 1897-ben jelent meg utolsó nagy tanulmánya a halmazelméletről, ismét Mathematische Annalen-ben Klein szerkesztésében, és a transzfinit aritmetika finom felmérései. A két dokumentum közötti meglehetősen hosszú különbség annak a ténynek köszönhető, hogy bár Cantor az első rész közzététele után hat hónappal befejezte a második rész írását, remélte, hogy a második részben a kontinuum hipotézis bizonyítékát tartalmazza. Ez azonban nem így volt, hanem a második dolgozat jól rendezett halmazok és sorszámok elméletét írja le.
1897-ben Cantor részt vett az első Nemzetközi Matematikai kongresszuson Zürichben. A kongresszuson tartott előadásaikban: –
… Hurwitz nyíltan kifejezte nagy csodálatát Cantor iránt, és kikiáltotta őt, aki által a funkciók elmélete gazdagodott. Jacques Hadamard kifejezte véleményét, hogy a halmazelmélet fogalmai ismertek és nélkülözhetetlen eszközök.
a kongresszuson Cantor találkozott Dedekinddel, és megújították barátságukat. A Kongresszus idejére azonban Cantor felfedezte az első paradoxont a halmazelméletben. 1895-ös és 1897-es tanulmányai során fedezte fel a paradoxonokat, majd 1896-ban Hilbertnek írt magyarázatokat a paradoxonról. Burali-Forti önállóan fedezte fel a paradoxont, és 1897-ben tette közzé. Cantor levelezést kezdett Dedekinddal, hogy megpróbálja megérteni, hogyan lehet megoldani a problémákat, de mentális betegségének ismétlődő rohamai arra kényszerítették, hogy 1899-ben abbahagyja az írást Dedekindnek.
amikor Cantor depressziós időszakokban szenvedett, inkább elfordult a matematikától, és a filozófia felé fordult és nagy irodalmi érdeklődése felé fordult, ami azt a hitet jelentette, hogy Francis Bacon Shakespeare darabjait írta. 1884-es betegsége során például azt kérte, hogy a matematika helyett a filozófiáról tarthasson előadást, és elkezdte intenzív tanulmányozását az Elizabethai irodalomban, hogy bebizonyítsa Bacon-Shakespeare elméletét. 1896-ban és 1897-ben kezdett irodalmi témájú röpiratokat publikálni. 1896 októberében édesanyja halálával és öccse 1899 januárjában bekövetkezett halálával rendkívüli stresszt okozott Cantornak.
1899 októberében Kántor az 1899-1900-as téli félévben kérelmezte és megkapta a tanítási szabadságot. Aztán 1899. December 16-án Cantor legfiatalabb fia meghalt. Ettől kezdve élete végéig harcolt a depresszió mentális betegsége ellen. Továbbra is tanított, de több téli félévben, 1902-03-ban, 1904-05-ben és 1907-08-ban is el kellett hagynia a tanári pályát. Cantor 1899-től mentális betegségének legsúlyosabb támadásai idején is szanatóriumokban töltött egy kis időt. Továbbra is dolgozott és publikált Bacon-Shakespeare-elméletén, és természetesen nem adta fel teljesen a matematikát. A halmazelmélet paradoxonjairól előadást tartott a Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1903. szeptemberi ülésén, majd részt vett a matematikusok nemzetközi kongresszusán Heidelbergben 1904 augusztusában.
1905-ben Cantor vallásos művet írt, miután hazatért egy kórházi varázslatból. A halmazelmélet történetéről és a vallástraktusáról is levelezett Jourdainnal. Miután 1909-ben rossz egészségi állapotára hivatkozva szabadságra ment, 1910-ben és 1911-ben elvégezte egyetemi feladatait. Abban az évben örömmel fogadta a skóciai St Andrews Egyetem meghívását, hogy részt vegyen az egyetem alapításának 500.évfordulóján, mint kiváló külföldi tudós. Az ünnepségek voltak 12-15 szeptember 1911 de :-
a látogatás során látszólag excentrikusan kezdett viselkedni, hosszasan beszélt a Bacon-Shakespeare kérdésről; aztán néhány napig Londonba utazott.
Cantor remélte, hogy találkozik Russell, aki éppen megjelent a Principia Mathematica. Azonban a rossz egészségi állapot és a hír, hogy a fia beteg lett, arra késztette Cantort, hogy visszatérjen Németországba anélkül, hogy Russell-T látta volna. A következő évben Cantor elnyerte a tiszteletbeli doktori of Laws a University of St Andrews, de ő túl beteg ahhoz, hogy megkapja a diplomát személyesen.
Cantor 1913-ban vonult vissza, és utolsó éveit a németországi háborús körülmények miatt kevés étellel töltötte. A Halle-ban 1915-ben mark Cantor 70. születésnapjára tervezett nagy eseményt a háború miatt le kellett mondani, de kisebb rendezvényt tartottak otthonában. 1917 júniusában ment be utoljára szanatóriumba, és folyamatosan írt feleségének, kérve, hogy engedjék haza. Szívrohamban halt meg.
Hilbert Cantor munkáját a következőképpen írta le:-
…a matematikai géniusz legkiválóbb terméke és a tisztán szellemi emberi tevékenység egyik legfőbb eredménye.