La ley de Planck para el espectro de radiación corporal negra predice la ley de desplazamiento de Viena y se puede usar para evaluar numéricamente la temperatura relativa constante y el valor del parámetro pico para cualquier parametrización en particular. Comúnmente se usa una parametrización de longitud de onda y en ese caso la radiación espectral del cuerpo negro (potencia por área de emisión por ángulo sólido) es:
u λ ( λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda, T) = {2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}
Diferenciar u (λ, T) con respecto a λ y establecer la derivada igual a cero da:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T ( e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}
que puede simplificarse para dar:
h c λ k T e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {hc \ over \ lambda kT}{e^{hc / \ lambda kT} \over e^{hc / \lambda kT}-1}-5=0.}
Definiendo:
x h h c λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kt},}
la ecuación se convierte en una en la variable única x:
x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over e^{x} -1}-5 = 0.}
que es equivalente a:
( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x} + 5 = 0.}
Esta ecuación se resuelve fácilmente numéricamente usando el método de Newton, obteniendo x = 4.965114231744276303… para precisión de punto flotante de doble precisión. Resolver para la longitud de onda λ en milímetros, y usar kelvin para la temperatura produce:
λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
Parametrización por frecuenciaeditar
Otra parametrización común es por frecuencia. El valor del parámetro pico de obtención de derivación es similar, pero comienza con la forma de la ley de Planck en función de la frecuencia ν:
u ν ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu, T) = {2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}
El proceso anterior que utiliza esta ecuación produce:
− h ν k T e h ν / k T e h ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h \ nu \ over kt}{e^{h \ nu / kT} \ over e^{h \ nu /kT}-1} + 3 = 0.}
El resultado neto es:
( x-3) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x} + 3 = 0.}
Esto se resuelve de manera similar con el método de Newton dando x = 2.821439372122078893… para precisión de punto flotante de doble precisión. Una solución analítica se puede obtener con la función W de Lambert
x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
la Solución para que ν produce:
vpico = xkT / h = (0.05878925757646824946… THz K-1) * T.
Los máximos difieren de acuerdo con la parametrizacióneditar
Observe que para una temperatura dada, la parametrización por frecuencia implica una longitud de onda máxima diferente a la parametrización por longitud de onda.
Por ejemplo, usando T = 6000 K y parametrización por longitud de onda, la longitud de onda para la radiación espectral máxima es λ = 482.962 nm con la frecuencia correspondiente ν = 620.737 THz. Para la misma temperatura, pero parametrizándose por frecuencia, la frecuencia para la radiación espectral máxima es ν = 352.735 THz con la longitud de onda correspondiente λ = 849.907 nm.
Estas funciones son funciones de densidad de luminosidad, que son funciones de densidad de probabilidad escaladas para dar unidades de luminosidad. La función de densidad tiene diferentes formas para diferentes parametrizaciones, dependiendo del estiramiento relativo o la compresión de la abscisa, que mide el cambio en la densidad de probabilidad en relación con un cambio lineal en un parámetro dado. Dado que la longitud de onda y la frecuencia tienen una relación recíproca, representan cambios significativamente no lineales en la densidad de probabilidad relativa entre sí.
La luminosidad total es la integral de la distribución sobre todos los valores positivos, y que es invariante para una temperatura dada bajo cualquier parametrización. Además, para una temperatura dada, la radiación que consiste en todos los fotones entre dos longitudes de onda debe ser la misma, independientemente de la distribución que utilice. Es decir, integrar la distribución de longitud de onda de λ1 a λ2 dará como resultado el mismo valor que integrar la distribución de frecuencia entre las dos frecuencias que corresponden a λ1 y λ2, es decir, de c/λ2 a c/λ1. Sin embargo, la forma de distribución depende de la parametrización, y para una parametrización diferente, la distribución típicamente tendrá una densidad de pico diferente, como demuestran estos cálculos.
Usando el valor 4 para resolver la ecuación implícita se obtiene el pico en la función de densidad de radiación espectral expresado en el parámetro radiancia por ancho de banda proporcional. Esta es quizás una forma más intuitiva de presentar la «longitud de onda de emisión máxima». Eso produce x = 3.920690394872886343… para precisión de punto flotante de doble precisión.
El punto importante de la ley de Wien, sin embargo, es que cualquier marcador de longitud de onda, incluida la longitud de onda mediana (o, alternativamente, la longitud de onda por debajo de la cual se produce cualquier porcentaje especificado de la emisión) es proporcional al recíproco de temperatura. Es decir, la forma de la distribución para una parametrización dada se escala y se traduce de acuerdo con la temperatura, y se puede calcular una vez para una temperatura canónica, luego cambiar y escalar apropiadamente para obtener la distribución para otra temperatura. Esto es una consecuencia de la fuerte declaración de la ley de Viena.