Quellen finden: „Wiens Verschiebungsgesetz“ – Nachrichten * Zeitungen · Bücher · Wissenschaftler · JSTOR (Oktober 2019) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können)
Das Plancksche Gesetz für das Spektrum der Schwarzkörperstrahlung sagt das Wiener Verschiebungsgesetz voraus und kann verwendet werden, um die konstante Umgebungstemperatur und den Spitzenparameterwert für eine bestimmte Parametrisierung numerisch zu bewerten. Üblicherweise wird eine Wellenlängenparametrierung verwendet und in diesem Fall beträgt die spektrale Strahldichte des schwarzen Körpers (Leistung pro emittierender Fläche pro Raumwinkel):
u λ (λ, T) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c/λ k T − 1 . {\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \über \lambda ^{5}}{1 \über e^{hc/\lambda kT}-1}.}
Differenzieren von u(λ, T) in Bezug auf λ und Setzen der Ableitung gleich Null ergibt:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T (e h c / λ k T – 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partielles u \über \partielles \lambda }=2hc^{2}\links({hc \über kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \über \links(e^{hc/\lambda kT}-1\rechts)^{2}}-{1 \ über \lambda ^{6}}{5 \über e^{hc /\lambda kT}-1}\rechts)=0,}
was vereinfacht werden kann, um zu ergeben:
h c λ k T e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {hc \über \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \über e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}
Durch Definieren von:
x ≡ h c λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}
wird die Gleichung in der einzelnen Variablen x eins:
x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \über e^{x}-1}-5=0.}
was äquivalent ist zu:
( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5)e^{x}+5=0.}
Diese Gleichung lässt sich mit Newtons Methode leicht numerisch lösen und ergibt x = 4,965114231744276303… zu doppel präzision schwimm punkt genauigkeit. Die Lösung für die Wellenlänge λ in Millimetern und die Verwendung von Kelvin für die Temperatur ergibt:
λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
Parametrierung nach Frequenzbearbeiten
Eine weitere gängige Parametrierung ist die Frequenz. Die Ableitung, die den Parameterwert ergibt, ist ähnlich, beginnt jedoch mit der Form des Planckschen Gesetzes als Funktion der Frequenz ν:
u ν ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 . {\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \über c^{2}}{1 \über e^{h\nu /kT}-1}.}
Der vorhergehende Prozess unter Verwendung dieser Gleichung ergibt:
− h ν k T e h ν / k T e h ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle -{h\nu \über kT}{e^{h\nu /kT} \über e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}
Das Nettoergebnis ist:
( x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3)e^{x}+3=0.}
Dies wird ähnlich mit Newtons Methode gelöst, die x = 2.821439372122078893 ergibt… zu doppel präzision schwimm punkt genauigkeit. Eine analytische Lösung kann mit der Lambert−W−Funktion erhalten werden
x = 3 + W ( 0 , – 3e^{-3}) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
Die Lösung für ν ergibt:
vpeak = xkT / h = 0.05878925757646824946… THz K-1) * T.
Die Maxima unterscheiden sich je nach Parametrierungbearbeiten
Beachten Sie, dass die Parametrierung nach Frequenz für eine gegebene Temperatur eine andere maximale Wellenlänge impliziert als die Parametrierung nach Wellenlänge.
Bei Verwendung von T = 6000 K und Parametrierung nach Wellenlänge beträgt die Wellenlänge für die maximale spektrale Strahldichte λ = 482,962 nm mit der entsprechenden Frequenz ν = 620,737 THz. Bei gleicher Temperatur, jedoch frequenzparametrierend, beträgt die Frequenz für die maximale spektrale Strahldichte ν = 352,735 THz bei entsprechender Wellenlänge λ = 849,907 nm.
Diese Funktionen sind Radianzdichtefunktionen, bei denen es sich um Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen handelt, die skaliert sind, um Strahlungseinheiten zu erhalten. Die Dichtefunktion hat unterschiedliche Formen für verschiedene Parametrisierungen, abhängig von der relativen Dehnung oder Kompression der Abszisse, die die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte relativ zu einer linearen Änderung eines gegebenen Parameters misst. Da Wellenlänge und Frequenz eine reziproke Beziehung haben, stellen sie signifikant nichtlineare Verschiebungen der Wahrscheinlichkeitsdichte relativ zueinander dar.
Die Gesamtstrahldichte ist das Integral der Verteilung über alle positiven Werte, und das ist invariant für eine gegebene Temperatur unter jeder Parametrisierung. Zusätzlich muss für eine gegebene Temperatur die Strahldichte, die aus allen Photonen zwischen zwei Wellenlängen besteht, gleich sein, unabhängig davon, welche Verteilung Sie verwenden. Das heißt, die Integration der Wellenlängenverteilung von λ1 nach λ2 ergibt den gleichen Wert wie die Integration der Frequenzverteilung zwischen den beiden Frequenzen, die λ1 und λ2 entsprechen, nämlich von c/λ2 nach c/λ1. Die Verteilungsform hängt jedoch von der Parametrierung ab, und für eine andere Parametrierung hat die Verteilung typischerweise eine andere Peakdichte, wie diese Berechnungen zeigen.
Die Verwendung des Wertes 4 zur Lösung der impliziten Gleichung ergibt den Peak in der spektralen Strahlungsdichtefunktion, ausgedrückt im Parameter Strahldichte pro proportionaler Bandbreite. Dies ist vielleicht eine intuitivere Art, „Wellenlänge der Spitzenemission“ darzustellen. Das ergibt x = 3.920690394872886343… zu doppel präzision schwimm punkt genauigkeit.Der wichtige Punkt des Wienschen Gesetzes ist jedoch, dass jeder solche Wellenlängenmarker, einschließlich der mittleren Wellenlänge (oder alternativ der Wellenlänge, unterhalb der ein bestimmter Prozentsatz der Emission auftritt), proportional zum Kehrwert der Temperatur ist. Das heißt, die Form der Verteilung für eine gegebene Parametrisierung skaliert mit und übersetzt entsprechend der Temperatur und kann einmal für eine kanonische Temperatur berechnet, dann entsprechend verschoben und skaliert werden, um die Verteilung für eine andere Temperatur zu erhalten. Dies ist eine Folge der starken Aussage des Wiener Gesetzes.