MacTutor

biografi

Georg Cantors far, Georg Valdemar Cantor, var en succesrig købmand og arbejdede som grossist i Skt. Georg Valdemar Cantor blev født i Danmark, og han var en mand med en dyb kærlighed til kultur og kunst. Georgs mor, Maria Anna B. L., var russisk og meget musikalsk. Bestemt Georg arvet betydelige musikalske og kunstneriske talenter fra sine forældre som en fremragende violinist. Georg blev opdraget som Protestant, dette var hans fars religion, mens Georgs mor var romersk-katolsk.efter tidlig uddannelse hjemme fra en privat tutor, Cantor deltog grundskolen i St. Petersborg, så i 1856, da han var elleve år flyttede familien til Tyskland. Dog Cantor: –

… huskede sine tidlige år i Rusland med stor nostalgi og følte sig aldrig godt tilpas i Tyskland, skønt han boede der resten af sit liv og tilsyneladende aldrig skrev på det russiske sprog, som han må have kendt.

Cantors far havde dårligt helbred, og flytningen til Tyskland var at finde et varmere klima end de hårde vintre i Skt. Først boede de i Visbaden, hvor Cantor deltog i gymnastiksalen, så flyttede de til Frankfurt. Cantor studerede på Realschule i Darmstadt, hvor han boede som pensionist. Han dimitterede i 1860 med en fremragende rapport, som især nævnte hans ekstraordinære færdigheder i matematik, især trigonometri. Fra 1860 gik han ind i Polytechnic of C. I 1862. Årsagen til, at Cantors far valgte at sende ham til H ‘ En, var, at han ønskede, at Cantor skulle blive:-

… en lysende stjerne i ingeniørhøjden.

men i 1862 Cantor havde søgt sin fars tilladelse til at studere matematik på universitetet, og han var overlykkelig når til sidst hans far samtykket. Hans studier blev dog afbrudt af hans fars død i juni 1863. Cantor flyttede til universitetet i Berlin, hvor han blev venner med Hermann Schvarts, der var en medstuderende. Cantor deltog i foredrag af Kummer og Kronecker. Han tilbragte sommerperioden i 1866 ved Universitetet i G Krusttingen og vendte tilbage til Berlin for at afslutte sin afhandling om talteori de aekvationibus secundi gradus indeterminatis Krust i 1867.
mens på Berlin Cantor blev meget involveret med en studerende Mathematical Society, bliver formand for Society under 1864-65. Han var også en del af en lille gruppe af unge matematikere, der mødtes ugentligt i en vin hus. Efter at have modtaget sin doktorgrad i 1867 underviste Cantor på en pigeskole i Berlin. Derefter, i 1868, han sluttede sig til Schellbach Seminar for matematik lærere. I løbet af denne tid arbejdede han på sin habilitering, og straks efter at han blev udnævnt til Halle i 1869 præsenterede han sin afhandling igen om talteori og modtog sin habilitering.på Halle vendte retningen af Cantors Forskning sig væk fra talteori og mod analyse. Dette skyldtes Heine, en af hans seniorkolleger i Halle, der udfordrede Cantor til at bevise det åbne problem med den unikke repræsentation af en funktion som en trigonometrisk serie. Dette var et vanskeligt problem, som var blevet uden held angrebet af mange matematikere, herunder Heine selv samt Dirichlet, Lipschitts og Riemann. Cantor løste problemet, der viste, at repræsentationen var unik i April 1870. Han offentliggjorde yderligere papirer mellem 1870 og 1872 beskæftiger sig med trigonometriske serier og disse alle viser indflydelse af Veierstrass undervisning.Cantor blev forfremmet til ekstraordinær Professor ved Halle i 1872, og i det år begyndte han et venskab med Dedekind, som han havde mødt, mens han var på ferie i Sverige. Cantor offentliggjorde et papir om trigonometriske serier i 1872, hvor han definerede irrationelle tal i form af konvergerende sekvenser af rationelle tal. Dedekind offentliggjorde sin definition af de reelle tal ved “Dedekind cuts” også i 1872, og i dette papir henviser Dedekind til Cantors papir fra 1872, som Cantor havde sendt ham.i 1873 beviste Cantor de rationelle tal, der kan tælles, dvs.de kan placeres i en-en korrespondance med de naturlige tal. Han viste også, at de algebraiske tal, dvs.de tal, der er rødder af polynomiske ligninger med heltalskoefficienter, var tællelige. Men hans forsøg på at afgøre, om de reelle tal var tællelige, viste sig sværere. Han havde bevist, at de reelle tal ikke kunne tælles i December 1873 og offentliggjorde dette i et papir i 1874. Det er i dette papir, at ideen om en en-en korrespondance vises for første gang, men det er kun implicit i dette arbejde.et transcendentalt tal er et irrationelt tal, der ikke er en rod af nogen polynomligning med heltalskoefficienter. Liouville etablerede i 1851, at der findes transcendentale tal. Tyve år senere, i dette arbejde fra 1874, viste Cantor, at ‘næsten alle’ tal i en vis forstand er transcendentale ved at bevise, at de reelle tal ikke kunne tælles, mens han havde bevist, at de algebraiske tal kunne tælles.

Cantor pressede fremad, udveksle breve hele med Dedekind. Det næste spørgsmål, han stillede sig selv, i Januar 1874, var, om enhedspladsen kunne kortlægges i en linje med enhedslængde med en 1-1 korrespondance af punkter på hver. I et brev til Dedekind dateret 5 januar 1874 skrev han :-

kan en overflade (sige en firkant, der inkluderer grænsen) entydigt henvises til en linje (sige et lige linjesegment, der inkluderer slutpunkterne), så der for hvert punkt på overfladen er et tilsvarende punkt på linjen, og omvendt for hvert punkt på linjen er der et tilsvarende punkt på overfladen? Jeg tror, at besvarelsen af dette spørgsmål ikke ville være noget let job, på trods af at svaret synes så klart at være “nej”, at beviset synes næsten unødvendigt.

året 1874 var en vigtig i Cantors personlige liv. Han blev forlovet med Vally Guttmann, en ven af sin søster, i foråret samme år. De giftede sig den 9. August 1874 og tilbragte deres bryllupsrejse i Interlaken, hvor Cantor brugt meget tid i matematiske diskussioner med Dedekind.Cantor fortsatte med at korrespondere med Dedekind, delte sine ideer og søgte dedekinds meninger, og han skrev til Dedekind i 1877 og beviste, at der var en 1-1 korrespondance af punkter på intervallet og punkterne i PPP-dimensionelt rum. Cantor blev overrasket over sin egen opdagelse og skrev:-

jeg ser det, men jeg tror ikke på det!

selvfølgelig havde dette konsekvenser for geometri og begrebet dimension af et rum. Et stort papir om dimension, som Cantor forelagde Crelle ‘ s Journal i 1877, blev behandlet med mistanke af Kronecker og først offentliggjort, efter at Dedekind greb ind på Cantors vegne. Cantor var meget vred på Kroneckers modstand mod sit arbejde og sendte aldrig yderligere papirer til Crelle ‘ s Journal.papiret om dimension, som dukkede op i Crelle ‘ s Journal i 1878 gør begreberne 1-1 korrespondance præcise. Papiret diskuterer denumerable sæt, dvs. dem, der er i 1-1 korrespondance med de naturlige tal. Det studerer sæt af lige magt, dvs. de sæt, der er i 1-1 korrespondance med hinanden. Cantor diskuterede også begrebet dimension og understregede det faktum, at hans korrespondance mellem intervallet og enhedens firkant ikke var et kontinuerligt kort.mellem 1879 og 1884 Cantor udgivet en serie af seks papirer i Mathematische Annalen designet til at give en grundlæggende introduktion til sæt teori. Klein kan have haft en stor indflydelse i at have Mathematische Annalen offentliggjort dem. Der var dog en række problemer, der opstod i disse år, som viste sig vanskelige for Cantor. Selvom han var blevet forfremmet til en fuld professor i 1879 på Heines anbefaling, havde Cantor håbet på en stol på et mere prestigefyldt universitet. Hans mangeårige korrespondance med Cantor sluttede i 1880, da modstanden mod Cantors ideer fortsatte med at vokse, og han støttede ikke længere den retning, som Cantors arbejde gik. Derefter døde Heine i Oktober 1881, og en erstatning var nødvendig for at fylde stolen i Halle.Cantor udarbejdede en liste over tre matematikere til at udfylde Heines stol, og listen blev godkendt. Det placerede Dedekind på førstepladsen, efterfulgt af Heinrich Uber og endelig Mertens. Det var bestemt et alvorligt slag for Cantor, da Dedekind afviste tilbuddet i begyndelsen af 1882, og slaget blev kun forværret af Heinrich Uber og derefter Mertens faldende også. Efter at der var udarbejdet en ny liste, blev han udnævnt, men han dannede aldrig et tæt forhold til Cantor. Den rige matematiske korrespondance mellem Cantor og Dedekind sluttede senere i 1882.næsten samme tid som Cantor-Dedekind-korrespondancen sluttede, begyndte Cantor en anden vigtig korrespondance med Mittag-Leffler. Snart Cantor var udgivelse i Mittag-Leffler tidsskrift Acta Mathematica men hans vigtige serie af seks papirer i Mathematische Annalen også fortsatte med at dukke op. Den femte papir i denne serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre karrus blev også udgivet som en separat monografi og var især vigtigt for en række årsager. For det første indså Cantor, at hans teori om sæt ikke fandt den Accept, som han havde håbet, og Grundlagen var designet til at svare på kritikken. For det andet: –

grundlagens største præstation var dens præsentation af de transfinite tal som en autonom og systematisk udvidelse af de naturlige tal.

Cantor siger selv helt klart i papiret, at han indser styrken af oppositionen til sine ideer:-

… Jeg er klar over, at jeg i denne virksomhed placerer mig i en vis modstand mod synspunkter, der er bredt holdt om det matematiske uendelige og til meninger, der ofte forsvares om talernes Art.

i slutningen af maj 1884 havde Cantor det første registrerede angreb af depression. Han kom sig efter et par uger, men syntes nu mindre selvsikker. Han skrev til Mittag-Leffler i slutningen af juni :-

… Jeg ved ikke, hvornår jeg skal vende tilbage til fortsættelsen af mit videnskabelige arbejde. I øjeblikket kan jeg absolut ikke gøre noget med det og begrænse mig til den mest nødvendige pligt i mine foredrag; hvor meget lykkeligere ville jeg være at være videnskabeligt aktiv, hvis jeg kun havde den nødvendige mentale friskhed.

på et tidspunkt blev det antaget, at hans depression var forårsaget af matematiske bekymringer og som følge af vanskeligheder i hans forhold til Kronecker i særdeleshed. For nylig har en bedre forståelse af psykisk sygdom imidlertid betydet, at vi nu kan være sikre på, at Cantors matematiske bekymringer og hans vanskelige forhold blev stærkt forstørret af hans depression, men ikke var årsagen (se for eksempel og ). Efter denne psykiske sygdom i 1884: –

… han tog en ferie i sine yndlingsbjerge og besluttede af en eller anden grund at forsøge at forene sig med Kronecker. Kronecker accepterede Gesten, men det må have været vanskeligt for dem begge at glemme deres fjendskaber, og de filosofiske uenigheder mellem dem forblev upåvirket.

matematiske bekymringer begyndte at forstyrre Cantor på dette tidspunkt, især begyndte han at bekymre sig om, at han ikke kunne bevise kontinuumhypotesen, nemlig at rækkefølgen af uendelighed af de reelle tal var den næste efter de naturlige tal. Faktisk troede han, at han havde bevist det falsk, så den næste dag fandt sin fejl. Igen troede han, at han kun havde bevist det sandt igen for hurtigt at finde sin fejl.
alt gik ikke godt på andre måder også, for i 1885 overtalte Mittag-Leffler Cantor til at trække et af sine papirer tilbage fra Acta Mathematica, da det var nået bevisfasen, fordi han troede det “… omkring hundrede år for tidligt”. Cantor spøgte med det, men blev tydeligt såret: –

havde Mittag-Leffler havde sin måde, jeg skulle vente til året 1984, som for mig syntes for stor efterspørgsel! … Men selvfølgelig vil jeg aldrig vide noget igen om Acta Mathematica.

Mittag-Leffler mente dette som en venlighed, men det viser en mangel på forståelse af vigtigheden af Cantors arbejde. Korrespondancen mellem Mittag-Leffler og Cantor stoppede næsten kort efter denne begivenhed, og oversvømmelsen af nye ideer, der havde ført til Cantors hurtige udvikling af sætteori over omkring 12 år, synes næsten at være stoppet.i 1886 købte Cantor et fint nyt hus på H. Før årets udgang blev en søn født og afsluttede sin familie på seks børn. Han vendte sig fra den matematiske udvikling af sætteori mod to nye retninger, først diskutere de filosofiske aspekter af hans teori med mange filosoffer (han offentliggjorde disse breve i 1888) og for det andet at overtage efter Clebsch død hans ide om grundlæggelsen af Deutsche Mathematiker-Vereinigung som han opnåede i 1890. Cantor var formand for foreningens første møde i Halle i September 1891, og på trods af den bitre modsætning mellem sig selv og Kronecker inviterede Cantor Kronecker til at tale til det første møde.Kronecker talte dog aldrig til mødet, da hans kone blev alvorligt såret i en klatreulykke i sensommeren og døde kort efter. Cantor blev valgt til præsident for Deutsche Mathematiker-Vereinigung på det første møde og holdt denne stilling indtil 1893. Han hjalp med at organisere mødet i foreningen afholdt i Munchen i September 1893, men han blev syg igen før mødet og kunne ikke deltage.Cantor udgivet en temmelig mærkelig papir i 1894, som opført den måde, at alle lige tal op til 1000 kunne skrives som summen af to primtal. Da en verifikation af Goldbachs formodning op til 10000 var blevet udført 40 år før, er det sandsynligt, at dette mærkelige papir siger mere om Cantors sindstilstand end det gør om Goldbachs formodning.
hans sidste store papirer om sætteori dukkede op i 1895 og 1897, igen i Mathematische Annalen under Kleins redaktion, og er fine undersøgelser af transfinit aritmetik. Den temmelig lange kløft mellem de to papirer skyldes det faktum, at selvom Cantor færdig med at skrive den anden del seks måneder efter den første del blev offentliggjort, håbede han at medtage et bevis på kontinuumhypotesen i anden del. Det var dog ikke at være, men det andet papir beskriver hans teori om velordnede sæt og ordinære tal.
i 1897 Cantor deltog i den første internationale kongres af matematikere i Kurrich. I deres foredrag på kongressen: –

… Hurvits udtrykte åbent sin store beundring for Cantor og proklamerede ham som en af hvem funktionsteorien er blevet beriget. Jacks Hadamard udtrykte sin mening om, at begreberne om teorien om sæt var kendte og uundværlige instrumenter.

på kongressen Cantor mødte Dedekind og de fornyede deres venskab. På tidspunktet for Kongressen havde Cantor imidlertid opdaget det første af paradokserne i teorien om sæt. Han opdagede paradokserne, mens han arbejdede på sine undersøgelsespapirer fra 1895 og 1897, og han skrev til Hilbert i 1896 og forklarede paradokset for ham. Burali-Forti opdagede paradokset uafhængigt og offentliggjorde det i 1897. Cantor indledte en korrespondance med Dedekind for at forsøge at forstå, hvordan man løser problemerne, men tilbagevendende anfald af hans psykiske sygdom tvang ham til at stoppe med at skrive til Dedekind i 1899.
hver gang Cantor led af perioder med depression, havde han en tendens til at vende sig væk fra matematik og vende sig mod filosofi og hans store litterære interesse, som var en tro på, at Francis Bacon skrev Shakespeares skuespil. For eksempel i sin sygdom i 1884 havde han anmodet om, at han får lov til at foredrag om filosofi i stedet for matematik, og han var begyndt sin intense undersøgelse af elisabethansk litteratur i forsøget på at bevise sin Bacon-Shakespeare teori. Han begyndte at udgive pjecer om det litterære spørgsmål i 1896 og 1897. Ekstra stress blev lagt på Cantor med sin mors død i oktober 1896 og hans yngre brors død i Januar 1899.i oktober 1899 ansøgte Cantor om, og fik, orlov fra undervisningen til vintersemesteret 1899-1900. Den 16. December 1899 døde Cantors yngste søn. Fra dette tidspunkt til slutningen af sit liv kæmpede han mod depressionens psykiske sygdom. Han fortsatte med at undervise, men måtte også tage orlov fra sin undervisning i en række vintersemestre, dem fra 1902-03, 1904-05 og 1907-08. Cantor tilbragte også nogen tid i sanatorier på tidspunktet for de værste angreb af hans psykiske sygdom fra 1899 og fremefter. Han fortsatte med at arbejde og offentliggøre på hans Bacon-Shakespeare teori og bestemt ikke opgive matematik helt. Han belært om paradokser sæt teori til et møde i Deutsche Mathematiker-Vereinigung i September 1903, og han deltog i Den Internationale Kongres matematikere på Heidelberg i August 1904.i 1905 skrev Cantor et religiøst værk efter at have vendt hjem fra en trylleformular på hospitalet. Han korresponderede også med Jourdain om sætteoriens historie og hans religiøse kanal. Efter at have taget orlov i store dele af 1909 på grund af hans dårlige helbred udførte han sine universitetsopgaver for 1910 og 1911. Det var i det år, at han var glad for at modtage en invitation fra University of St. Andreas i Skotland til at deltage i 500-årsdagen for grundlæggelsen af universitetet som en fremtrædende udenlandsk lærd. Festlighederne var 12-15 September 1911, men :-

under besøget begyndte han tilsyneladende at opføre sig ekscentrisk og talte meget om Bacon-Shakespeare-spørgsmålet; derefter rejste han ned til London i et par dage.

Cantor havde håbet at mødes med Russell, der netop havde offentliggjort Principia Mathematica. Men dårligt helbred og nyheden om, at hans Søn havde taget syg, fik Cantor til at vende tilbage til Tyskland uden at se Russell. Det følgende år Cantor blev tildelt den honorære grad af doktor i love ved Universitetet i St. Andreas, men han var for syg til at modtage graden personligt.Cantor gik på pension i 1913 og tilbragte sine sidste år syg med lidt mad på grund af krigsforholdene i Tyskland. En større begivenhed planlagt i Halle for at markere Cantors 70-års fødselsdag i 1915 måtte annulleres på grund af krigen, men en mindre begivenhed blev afholdt i hans hjem. I juni 1917 kom han ind i et sanatorium for sidste gang og skrev løbende til sin kone og bad om at få lov til at gå hjem. Han døde af et hjerteanfald.
Hilbert beskrev Cantors arbejde som:-

…det fineste produkt af matematisk geni og en af de øverste resultater af rent intellektuel menneskelig aktivitet.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *