Životopis
Georg Cantor ‚ otec, Georg Waldemar Cantor, byl úspěšným obchodníkem, pracoval jako agent velkoobchodu v Petrohradě, později jako makléř v Petrohradské Burze. Georg Waldemar Cantor se narodil v Dánsku a byl to muž s hlubokou láskou ke kultuře a umění. Georgova matka, Maria Anna Böhmová, byla ruská a velmi hudební. Georg jistě zdědil značné hudební a umělecké nadání od svých rodičů, kteří byli vynikajícím houslistou. Georg byl vychován jako Protestant, což bylo náboženství jeho otce, zatímco Georgova matka byla Římskokatolická.
po raném vzdělání doma od soukromého učitele navštěvoval Cantor základní školu v Petrohradě, poté v roce 1856, když mu bylo jedenáct let, se rodina přestěhovala do Německa. Nicméně, Cantor: –
… vzpomněl si na jeho prvních letech v Rusku s velkou nostalgií a nikdy se cítil v pohodě v Německu, i když tam žili po zbytek svého života a zdánlivě nikdy napsal v ruském jazyce, který musí vědět.
Cantorův otec měl špatné zdraví a přesunem do Německa bylo najít teplejší klima než drsné zimy Petrohradu. Nejprve žili ve Wiesbadenu, kde Cantor navštěvoval gymnázium,poté se přestěhovali do Frankfurtu. Kantor studoval na Realschule v Darmstadtu, kde žil jako strávník. Absolvoval v roce 1860 s vynikající zprávou, která zmiňovala zejména jeho výjimečné dovednosti v matematice, zejména trigonometrii. Po absolvování Höhere Gewerbeschule v Darmstadtu od roku 1860 vstoupil do polytechniky v Curychu v roce 1862. Důvod, proč cantorův otec se rozhodl poslat ho do Höheren Gewerbeschule bylo, že chtěl, aby se stala Cantor:-
… zářící hvězda na strojírenské obloze.
nicméně, v 1862 Cantor hledal povolení svého otce ke studiu matematiky na univerzitě a on byl nadšený, když nakonec jeho otec souhlasil. Studium v Curychu však přerušila smrt jeho otce v červnu 1863. Cantor se přestěhoval na univerzitu v Berlíně, kde se spřátelil s Hermannem schwarzem, který byl spolužákem. Cantor navštěvoval přednášky Weierstrasse, Kummera a Kroneckera. Letní volební období roku 1866 strávil na univerzitě v Göttingenu a v roce 1867 se vrátil do Berlína, aby dokončil disertační práci na téma teorie čísel De aequationibus secundi gradus indeterminatis.
zatímco v Berlíně Cantor stal se hodně zapletený s studentské matematické společnosti, je prezidentem společnosti v letech 1864-65. Byl také součástí malé skupiny mladých matematiků, kteří se každý týden setkali ve vinárně. Po získání doktorátu v roce 1867 Kantor učil na dívčí škole v Berlíně. Pak, v roce 1868, on se připojil k Schellbach seminář pro učitele matematiky. Během této doby pracoval na jeho habilitaci a ihned poté, co byl jmenován do Halle v roce 1869, předložil svou práci, opět na teorii čísel, a získal jeho habilitaci.
v Halle se směr Cantorova výzkumu odvrátil od teorie čísel a směrem k analýze. To bylo způsobeno Heine, jeden z jeho starších kolegů v Halle, který vyzval Cantora, aby prokázal otevřený problém jedinečnosti reprezentace funkce jako trigonometrické řady. To byl obtížný problém, který byl neúspěšně napaden mnoha matematiky, včetně Heine sám, stejně jako Dirichlet, Lipschitz a Riemann. Cantor vyřešil problém dokazující jedinečnost reprezentace do dubna 1870. Publikoval dalších dokumentů mezi 1870 a 1872 zabývající se trigonometrické řady a všechny ukazují vliv Weierstrass ‚ s výukou.
Cantor byl povýšen do Mimořádného Profesora v Halle v roce 1872 a v tomto roce začal přátelství s Dedekind koho on se setkal, zatímco na dovolené ve Švýcarsku. Cantor publikoval článek o trigonometrických řadách v roce 1872, ve kterém definoval iracionální čísla z hlediska konvergentních sekvencí racionálních čísel. Dedekind publikoval svou definici reálných čísel „Dedekind cuts“ také v roce 1872 a v tomto dokumentu Dedekind odkazuje na cantorův papír z roku 1872, který mu Cantor poslal.
V roce 1873 Cantor prokázal, že racionální čísla jsou počítatelná, tzn. že mohou být umístěna v jedno-jedné korespondenci s přirozenými čísly. Ukázal také, že algebraická čísla, tj. čísla, která jsou kořeny polynomiálních rovnic s celočíselnými koeficienty, byly spočitatelné. Jeho pokusy rozhodnout, zda jsou reálná čísla počitatelná, se však ukázaly těžší. Dokázal, že reálná čísla nebyla spočítána do prosince 1873 a publikoval to v novinách v roce 1874. V tomto dokumentu se poprvé objevuje myšlenka korespondence jedna jedna, ale v této práci je pouze implicitní.
transcendentální číslo je iracionální číslo, které není kořenem žádné polynomiální rovnice s celočíselnými koeficienty. Liouville založil v roce 1851, že existují transcendentální čísla. O dvacet let později, v roce 1874 tuto práci, Cantor ukázal, že v určitém smyslu ‚téměř všechny čísla jsou transcendentální tím, že prokáže, že skutečná čísla nejsou počitatelné, když se ukázala, že algebraická čísla jsou spočetná.
Cantor tlačil dopředu a vyměňoval si dopisy s Dedekindem. Další otázkou, kterou si položil v lednu 1874, bylo, zda lze náměstí jednotek zmapovat do linie délky jednotek s korespondencí bodů 1-1 na každém. V dopise Dedekind ze dne 5. ledna 1874 napsal :-
Může povrch (řekněme čtverec, který obsahuje hranice) být jednoznačně uvedené linky (řekněme přímka segment, který zahrnuje koncové body) tak, že pro každý bod na povrchu je odpovídající bod na přímce a naopak pro každý bod v řádku je odpovídající bod na povrchu? Myslím, že odpověď na tuto otázku by nebyla snadná práce, navzdory skutečnosti, že odpověď se zdá být tak jasně „ne“, že důkaz se zdá být téměř zbytečný.
rok 1874 byl důležitý v Kantorově osobním životě. Na jaře téhož roku se zasnoubil s Vally Guttmannem, přítelem jeho sestry. Vzali se 9. srpna 1874 a strávili líbánky v Interlakenu ve Švýcarsku, kde Cantor strávil mnoho času matematickými diskusemi s Dedekindem.
Cantor nadále odpovídat Dedekind, sdílet své myšlenky a snaží Dedekind názory, a napsal na Dedekind v roce 1877 prokazují, že existuje 1-1 korespondence bodů na intervalu a body v ppp-rozměrném prostoru. Cantor byl překvapen svým vlastním objevem a napsal:-
vidím to, ale nevěřím tomu!
samozřejmě to mělo důsledky pro geometrii a pojem dimenze prostoru. Velký papír na rozměr, který Cantor předložen Crelle ‚ s Věstníku v roce 1877 byl ošetřen s podezřením o Kroneckerovo, a teprve zveřejněny po Dedekind intervenovala na Cantorova jménem. Cantor velmi nesnášel kroneckerův odpor k jeho práci a nikdy nepředložil žádné další dokumenty do Crelle ‚ s Journal.
dokument o dimenzi, který se objevil v Crelle časopise v roce 1878 dělá pojmy 1-1 korespondence přesné. Článek pojednává o denumerabilních množinách, tj. ty, které jsou v 1-1 korespondenci s přirozenými čísly. Studuje množiny stejné síly, tj. ty sady, které jsou ve vzájemné korespondenci 1-1. Cantor také diskutoval o konceptu dimenze a zdůraznil skutečnost, že jeho korespondence mezi intervalem a jednotkovým čtvercem nebyla souvislou mapou.
mezi 1879 a 1884 Cantor publikoval sérii šesti článků v Mathematische Annalen, jejichž cílem je poskytnout základní úvod do teorie množin. Klein mohl mít zásadní vliv na to, že je Mathematische Annalen publikoval. Během těchto let však došlo k řadě problémů, které se pro Cantora ukázaly jako obtížné. Ačkoli byl v roce 1879 na heineovo doporučení povýšen na řádného profesora, Cantor doufal v křeslo na prestižnější univerzitě. Jeho dlouholetý korespondence s Schwarz skončil v roce 1880 jako opozice k cantorovy myšlenky nadále roste a Schwarz již není podporován směru, že Cantorova práce byla. Pak v říjnu 1881 Heine zemřel a byla nutná náhrada za obsazení křesla v Halle.
Cantor vypracovala seznam tří matematici vyplnit Heine židle a seznam byl schválen. Na první místo se umístil Dedekind, následovaný Heinrichem Weberem a nakonec Mertensem. Pro Cantora to byla jistě těžká rána, když Dedekind počátkem roku 1882 nabídku odmítl a ránu ještě zhoršil Heinrich Weber a poté i Mertens. Poté, co byl vypracován nový seznam, Wangerin byl jmenován, ale nikdy nevytvořil blízký vztah s Cantorem. Bohatá matematická korespondence mezi Cantorem a Dedekindem skončila později v roce 1882.
Téměř stejný čas jako Cantor-korespondence skončila Dedekind, Cantor začal další důležité korespondence s Mittag-Leffler. Brzy Cantor byl publikování v Mittag-Leffler je časopis Acta Mathematica, ale jeho důležitá série šesti článků v Mathematische Annalen také nadále objevovat. Pátý článek v této sérii Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Ⓣ byl také publikován jako samostatná monografie a byl obzvláště důležitý z mnoha důvodů. Nejprve si Cantor uvědomil, že jeho teorie množin nenašla přijetí, v které doufal, a Grundlagen byl navržen tak, aby odpověděl na kritiku. Za druhé :-
velkým úspěchem Grundlagen byla jeho prezentace na nekonečný počet jako autonomní a systematické rozšíření přirozených čísel.
sám Cantor v dokumentu zcela jasně uvádí, že si uvědomuje sílu opozice vůči svým myšlenkám: –
… Uvědomuji si, že v tomto podniku jsem místo sebe v jisté opozici k zobrazení široce konat o matematické nekonečné a názory často obhajován na povahu čísel.
na konci května 1884 měl Cantor první zaznamenaný záchvat deprese. Po několika týdnech se zotavil, ale nyní vypadal méně sebevědomě. Koncem června napsal Mittag-Lefflerovi : –
… Nevím, kdy se vrátím k pokračování své vědecké práce. V tuto chvíli mohu dělat absolutně nic s ním, a omezit na nejnutnější daně z mé přednášky, jak mnohem šťastnější, měl by být vědecky aktivní, pouze pokud jsem měl potřebné duševní svěžest.
najednou se předpokládalo, že jeho deprese byla způsobena matematickými starostmi a zejména v důsledku obtíží jeho vztahu s Kroneckerem. Nedávno, nicméně, lepší pochopení duševní nemoc znamená, že nyní můžeme být jisti, že cantorovy matematické starosti a jeho složité vztahy byly značně umocněn jeho deprese, ale nebyly jeho příčinou (viz například a ). Po této duševní nemoci z roku 1884 : –
… vzal si dovolenou ve svých oblíbených horách Harz a z nějakého důvodu se rozhodl pokusit se smířit s Kroneckerem. Kronecker toto gesto přijal, ale pro oba muselo být obtížné zapomenout na své nepřátelství a filozofické neshody mezi nimi zůstaly nedotčeny.
Matematické starosti začaly problémy Cantor v této době, zejména se začal obávat, že nemohl dokázat, že hypotéza kontinua, a sice, že pořadí na nekonečno reálných čísel se po příštích že z přirozených čísel. Ve skutečnosti si myslel, že to dokázal nepravdivě, pak druhý den našel svou chybu. Opět si myslel, že dokázal, že je to pravda, jen znovu, aby rychle našel svou chybu.
ne Všechno bylo v pořádku v jiných směrech také v roce 1885 Mittag-Leffler Cantor přemluvit, aby vzala jednu ze svých dokumentů z Acta Mathematica, kdy bylo dosaženo důkaz fázi, protože si myslel, že to „… asi sto let příliš brzy“. Cantor o tom žertoval, ale byl jasně zraněn: –
kdyby měl Mittag-Leffler svou cestu, měl bych počkat až do roku 1984, což se mi zdálo příliš velkým požadavkem! … Ale samozřejmě už nikdy nechci vědět nic o Acta Mathematica.
Mittag-Leffler to myslel jako laskavost, ale ukazuje to nedostatek ocenění významu Cantorovy práce. Korespondence mezi Mittag-Leffler a Cantor, ale zastavil krátce po této události a záplavou nových myšlenek, která vedla k Cantorova rychlý rozvoj teorie o více než 12 let se zdá, téměř zastavil.
V roce 1886 koupil Cantor krásný nový dům na Händelstrasse, ulici pojmenované po německém skladateli Handelovi. Před koncem roku se narodil syn, který dokončil svou rodinu šesti dětí. Ten se obrátil na rozvoj matematické teorie na dva nové směry, nejprve diskutovat o filozofických aspektů jeho teorie s mnoha filosofů (vydal tyto dopisy v roce 1888) a za druhé převzetí po Clebsch smrti jeho nápad na založení Deutsche Mathematiker-Vereinigung, které bylo dosaženo v roce 1890. Cantor předsedal první schůzi Sdružení v Halle v září 1891, a to i přes trpké nepřátelství mezi ním a Kroneckerovo, Cantorova Kroneckerovo vyzývají k řešení první setkání.
Kronecker však schůzku nikdy neřešil, protože jeho žena byla na konci léta vážně zraněna při horolezecké nehodě a krátce nato zemřela. Cantor byl na prvním zasedání zvolen prezidentem Deutsche Mathematiker-Vereinigung a tuto funkci zastával až do roku 1893. Pomáhal organizovat zasedání spolku konané v Mnichově v září 1893, ale před zasedáním opět onemocněl a nemohl se zúčastnit.
Cantor vydal v roce 1894 poněkud podivný dokument, který uváděl způsob, jakým lze všechna sudá čísla do 1000 zapsat jako součet dvou prvočísel. Od ověření goldbachova hypotéza do 10000 již bylo 40 let dříve, je pravděpodobné, že tato podivná kniha říká, že více o Cantor je stav mysli, než o goldbachově hypotéze.
Jeho poslední významné dokumenty na teorie objevil v roce 1895 a 1897, opět v Mathematische Annalen podle Kleina je vydavatelství, a jsou v pohodě zjišťování transfinitní aritmetiky. Poměrně dlouhá mezera mezi oběma dokumenty je v důsledku skutečnosti, že i když Cantor dokončení psaní druhé části šest měsíců poté, co první část byla zveřejněna, on doufal, že patří důkaz, hypotéza kontinua v druhé části. Nicméně to nemělo být, ale druhý článek popisuje jeho teorii dobře uspořádaných množin a pořadových čísel.
V roce 1897 se Cantor zúčastnil prvního mezinárodního kongresu matematiků v Curychu. Ve svých přednáškách na kongresu: –
… Hurwitz otevřeně vyjádřil svůj velký obdiv k Kantorovi a prohlásil ho za člověka, kterým byla teorie funkcí obohacena. Jacques Hadamard vyjádřil svůj názor, že pojmy teorie množin jsou známé a nepostradatelné nástroje.
na kongresu se Cantor setkal s Dedekindem a obnovili své přátelství. V době Kongresu však Cantor objevil první z paradoxů v teorii množin. Paradoxy objevil při práci na svých průzkumných dokumentech z let 1895 a 1897 a napsal Hilbertovi v roce 1896 vysvětlení paradoxu. Burali-Forti objevil paradox nezávisle a publikoval jej v roce 1897. Cantor začal korespondenci s Dedekind, aby se pokusili pochopit, jak řešit problémy, ale opakující se záchvaty jeho duševní nemoc ho donutila přestat psát Dedekind v roce 1899.
Kdykoliv Cantor trpěl období deprese má tendenci se odvrátit od matematiky a zase k filozofii a jeho velký literární zájem, který by bylo přesvědčení, že Francis Bacon napsal Shakespearovy hry. Například v jeho nemoci 1884 on žádal, aby mu být umožněno, aby přednáška o místo filosofie matematiky a on začal jeho intenzivní studium Alžbětinské literatury ve snaze dokázat jeho Bacon-Shakespeare teorie. V letech 1896 a 1897 začal vydávat brožury o literární otázce. Další stres byl na Cantora kladen smrtí jeho matky v říjnu 1896 a smrtí jeho mladšího bratra v lednu 1899.
V říjnu 1899 Cantor požádal a bylo mu uděleno volno z výuky na zimní semestr 1899-1900. 16. Prosince 1899 zemřel Cantorův nejmladší syn. Od této doby až do konce svého života bojoval proti duševnímu onemocnění deprese. On pokračoval učit, ale také musel vzít volno z jeho výuky pro řadu zimních semestrů, ty 1902-03, 1904-05 a 1907-08. Cantor také strávil nějaký čas v sanatoriích, v době nejhorších útoků své duševní nemoci, od roku 1899. Pokračoval v práci a publikaci na své teorii Bacon-Shakespeare a rozhodně se nevzdal matematiky úplně. Přednášel na paradoxy teorie na zasedání Deutsche Mathematiker-Vereinigung v září 1903 a absolvoval Mezinárodní Kongres Matematiků v Heidelbergu v srpnu 1904.
V roce 1905 Cantor napsal náboženské dílo poté, co se vrátil domů z kouzla v nemocnici. Také korespondoval s Jourdainem o historii teorie množin a jeho náboženském traktu. Poté, co vzal dovolenou pro hodně 1909 z důvodu jeho špatného zdravotního stavu vykonával své univerzitní povinnosti v letech 1910 a 1911. To bylo v tom roce, že byl potěšen, že obdrží pozvání od University of St Andrews ve Skotsku k účasti na 500. výročí založení univerzity jako významný zahraniční učenec. Oslavy se konaly 12. -15. září 1911, ale :-
Během návštěvy prý začala chovat se excentricky, mluví dlouze na Bacon-Shakespeare otázku, pak cestoval do Londýna na pár dní.
Cantor doufal, že se setká s Russellem, který právě publikoval Principia Mathematica. Nicméně špatný zdravotní stav a zpráva, že jeho syn onemocněl, způsobily, že se Cantor vrátil do Německa, aniž by viděl Russella. Následující rok Cantor byl udělen čestný titul doktora práv University of St Andrews, ale byl příliš nemocný na to, aby získal titul osobně.
Cantor odešel do důchodu v roce 1913 a strávil poslední roky nemocným s malým jídlem kvůli válečným podmínkám v Německu. Velká akce plánovaná v Halle k Cantorovým 70. narozeninám v roce 1915 musela být kvůli válce zrušena, ale menší akce se konala v jeho domě. V červnu 1917 vstoupil do sanatoria Naposledy a neustále psal své ženě s žádostí o povolení jít domů. Zemřel na infarkt.
Hilbert popsal Cantorovo dílo jako: –
…nejlepší produkt matematického génia a jeden z nejvyšších úspěchů čistě intelektuální lidské činnosti.