Introducere
- dacă este o cantitate fizică, cum ar fi stresul, atunci se numește de obicei tensor.Dacă nu este o cantitate fizică, atunci se numește de obicei o matrice. marea majoritate a tensorilor de inginerie sunt simetrici. O cantitate comunăcare nu este simetric și nu este denumit tensor, este o matrice de rotație.
- Tensorii sunt de fapt orice cantitate fizică care poate fi reprezentată de un scalar, vector sau matrice.Tensorii de ordinul Zero, cum ar fi masa, se numesc scalari, în timp ce tensorii de ordinul 1 se numesc vectori.Exemple de tensori de ordin superior includ tensorii de stres, tensiune și rigiditate.
- ordinea sau rangul unei matrice sau tensor este numărul de abonamenteacesta conține. Un vector este un tensor de rangul 1. Un tensor de stres 3×3 este locul 2.
- transformările de coordonate ale tensorilor sunt discutate în detaliu aici.
matricea identității
matricea identității este
\\]
înmulțirea oricărui lucru cu matricea identității este ca înmulțirea cu unul.
notația tensorului
matricea identității în notația tensoruluieste pur și simplu \( \delta_{ij} \).Delta Kronecker este egală cu 1 când \ (i = j\) și 0 altfel.
este o matrice sau nu?
o notă de la puriști… Matricea de identitate este o matrice, dar Delta Kroneckertehnic nu este. \ (\delta_{IJ}\) este o singură valoare scalară care este fie 1, fie 0 în funcție de valorile lui \(i\) și \(j\). Acesta este și motivul pentru care notația tensorului nu este cu caractere aldine, deoarece se referă întotdeauna la componente individuale ale tensorilor, dar niciodatăla un tensor în ansamblu.
urmați acest link pentru o discuție distractivă între cineva careîși dă seama și altcineva care nu.
transpune
transpunerea unei matrice reflectă componentele sale despre diagonala principală. Matricea de transpunere \({\bf a}\) este scrisă \({\bf a}^{ \ !T}\).
transpune exemplu
\, \ qquad \ text{atunci} \ qquad {\bf a}^{ \ !T} = \stânga\]
notația tensorului
transpunerea lui \(a_{ij}\) este \(a_{j\,i}\).
determinanți
determinantul unei matrice este scris ca det(\({\bf a}\)) sau \(|{\bf a}|\), și este calculat ca
\
dacă determinantul unui tensor, sau matrice, este zero, atunci nu are un invers.
notația tensorului
calculul unui determinant poate fi scris în notația tensorului în câteva moduri diferite
\ determinantul produsului a două matrice este același cu produsul determinanților celor două matrice. Cu alte cuvinte,
\
determinantul unui gradient de deformare dăraportul dintre volumul inițial și cel final al unui element diferențial.
inverse
inversul matricei \({\bf a}\) este scris ca \({\bf a}^{\!-1}\) și are următoarea proprietate foarte importantă(vezi secțiunea Despre multiplicarea matricei de mai jos)
\
dacă \({\bf B}\) este inversul lui \({\bf a}\), atunci
\
notația tensorului
inversul lui \(a_{IJ}\) este adesea scris ca \(a^{-1}_{ij}\).Rețineți că acest lucru nu este probabil riguros corect, deoarece,așa cum s-a discutat mai devreme, nici \(a_{IJ}\), nici \(a^{-1}_{ij}\) nu sunt matrici tehnice în sine.Ele sunt doar componente ale unei matrice. Oh bine…
inversul poate fi calculat folosind
\
matrice pagina web inversă
această pagină calculează inversul unei matrice 3×3.
transpune inversele Transpunerilor…
inversul unei transpuneri a unei matrice este egal cu transpunerea unui invers al matricei. Deoarece ordinea nu contează, operația dublă este abreviatăsimplu ca \({\bf{a}}^{\!- T}\).
\
matrice Plus
Matrici și tensori sunt adăugate componente de componente la fel ca vectori.Acest lucru este ușor de exprimat în notație tensorială.
\
multiplicarea matricei (produse Dot)
produsul dot a două matrice înmulțește fiecare rând al Primului cu fiecare coloanădin al doilea. Produsele sunt adesea scrise cu un punct în notație matricială ca\( {\bf A} \cdot {\bf B} \), dar uneori scrise fără punct ca \( {\bf a} {\bf b} \). Multiplicareregulile sunt, de fapt, cel mai bine explicate prin notația tensorului.(rețineți că niciun punct nu este utilizat în notația tensorului.) \(K\) în ambii factori implică automat
\
Care este rândul i al primei matrice înmulțit cu coloana jth a celei de-a doua matrice. Dacă, de exemplu, doriți să calculați \(C_{23}\), atunci \(i=2\) și \(j=3\), și
\
pagina de multiplicare matrice
această pagină calculează produsul punct de două matrice 3×3.
multiplicarea matricei nu este comutativă
este foarte important să recunoaștem că multiplicarea matricei nu este comutativă, adică.
\
transpune și inversele produselor
transpunerea unui produs este egală cu produsul transpunerilor în ordine inversă, iar inversul unui produs este egal cu produsul inverselor în ordine inversă.
rețineți că „în ordine inversă” este critică.Acest lucru este utilizat pe scară largă în secțiunile privind gradienții de deformare și tulpinile verzi.
\
acest lucru este valabil și pentru mai multe produse. De exemplu
\
produs cu propria transpune
produsul unei matrice și propria transpune este întotdeauna o matrice simetrică.\({\bf a}^t \ cdot {\bf a}\) și \({\bf A} \cdot {\bf A}^T\) ambele dau rezultate simetrice, deși diferite.Acest lucru este utilizat pe scară largă în secțiunile privind gradienții de deformare și tulpinile verzi.
produse cu punct dublu
produsul cu punct dublu al două matrice produce un scalar result.It este scris în notație matricială ca \({\bf a}: {\bf B}\).Deși rar folosit în afara mecanicii continuum, este, de fapt, destul de comună în aplicații avansate de elasticitate liniară. De exemplu, \( {1 \over 2} \sigma: \ epsilon\) dă densitatea energiei tulpinii în elasticitate liniară la scară mică.Încă o dată, calculul său este cel mai bine explicat cu notația tensorului.
\
din moment ce \(i\) și \(j\) indici apar în ambii factori, ambele sunt însumate pentru a da
\