Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, aranjate astfel încât suma numerelor în orice linie diagonală orizontală, verticală sau principală este întotdeauna același număr (Kraitchik 1942, p. 142; Andrews 1960, p. 1; Gardner 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson și Jacoby 1981, p. 3; ball and Coxeter 1987, p. 193), cunoscută sub numele de Constanta magică

dacă fiecare număr dintr-un pătrat magic este scăzut din , se obține un alt pătrat magic numit complementar pătrat magic. Un pătrat format din numere consecutive începând cu 1 este uneori cunoscut ca un pătrat magic „normal”.

pătratul normal unic de ordinul trei era cunoscut de vechii chinezi, care îl numeau Lo Shu. O versiune a pătratului Magic order-4 cu numerele 15 și 14 în coloanele medii adiacente din rândul de jos se numește pătratul magic al lui D. Pătratele magice de ordinul 3 până la 8 sunt prezentate mai sus.

Constanta magică pentru un TH order pătrat magic general începând cu un număr întreg și cu intrări într-o serie aritmetică în creștere cu diferență între termeni este

(Hunter și madachy 1975).

este o problemă nerezolvată pentru a determina numărul de pătrate magice de o ordine arbitrară, dar numărul de pătrate magice distincte (cu excepția celor obținute prin rotație și reflecție) de ordine, 2, … sunt 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, p. 87). Cele 880 de pătrate de ordinul patru au fost enumerate de Fr. (1982, pp. 778-783). Numărul de pătrate magice a fost calculat de R. Schroeppel în 1973. Numărul de pătrate nu este cunoscut, dar Pinn și Wieczerkowski (1998) au estimat că este folosind simularea Monte Carlo și metode din mecanica statistică. Metodele de enumerare a pătratelor magice sunt discutate de Berlekamp și colab. (1982) și pe site-ul MathPages.

un pătrat care nu reușește să fie magic doar pentru că una sau ambele sume diagonale principale nu sunt egale cu constanta magică se numește pătrat semimagic. Dacă toate diagonalele (inclusiv cele obținute prin înfășurarea) unei sume pătrate magice la Constanta magică, se spune că pătratul este un pătrat panmagic (numit și un pătrat diabolic sau un pătrat pandiagonal). Dacă înlocuirea fiecărui număr cu pătratul său produce un alt pătrat magic, se spune că pătratul este un pătrat bimagic (sau dublu pătrat magic). Dacă un pătrat este magic pentru și , se numește pătrat trimagic (sau pătrat magic trebly). Dacă toate perechile de numere simetric opuse sumei centrale la , se spune că pătratul este un pătrat magic Asociativ.

pătratele care sunt magice sub multiplicare în loc de adăugare pot fi construite și sunt cunoscute sub numele de pătrate magice de multiplicare. În plus, pătratele care sunt magice atât sub adunare, cât și prin înmulțire pot fi construite și sunt cunoscute sub numele de pătrate magice de înmulțire-înmulțire (Hunter și Madachy 1975).

Kraitchik (1942) oferă tehnici generale de construire a pătratelor pare și impare de ordine. Pentru odd, se poate folosi o tehnică foarte simplă cunoscută sub numele de metoda Siameză, așa cum este ilustrat mai sus (Kraitchik 1942, PP.148-149). Începe prin plasarea unui 1 în pătratul central al rândului de sus, apoi plasarea incrementală a numerelor ulterioare în pătratul cu o unitate deasupra și spre dreapta. Numărarea este înfășurată, astfel încât căderea de pe partea de sus se întoarce în partea de jos și căderea de pe dreapta se întoarce în stânga. Când se întâlnește un pătrat care este deja umplut, următorul număr este plasat în schimb sub cel precedent și metoda continuă ca înainte. Metoda, numită și metoda lui de la Loubere, se presupune că a fost raportată pentru prima dată în Occident când de la Loubere s-a întors în Franța după ce a servit ca ambasador la Siam.

o generalizare a acestei metode folosește un „vector obișnuit” care dă offset-ul pentru fiecare mișcare care nu se ciocnește și un „vector de rupere” care dă offset-ul de introdus la o coliziune. Prin urmare, metoda standard Siameză are vector obișnuit (1, și vector de rupere (0, 1). Pentru ca acest lucru să producă un pătrat magic, fiecare mișcare de pauză trebuie să ajungă pe o celulă neumplută. Clasele speciale de pătrate magice pot fi construite luând în considerare sumele absolute și . Apelați setul acestor numere sumadiff-uri (sume și diferențe). Dacă toate sumdiff – urile sunt relativ prime la și pătratul este un pătrat magic, atunci pătratul este și un pătrat panmagic. Această teorie își are originea în de La Hire. Tabelul următor prezintă sumdiff – urile pentru anumite alegeri ale vectorilor obișnuiți și de rupere.

o a doua metodă de generare a pătratelor magice de ordin impar a fost discutată de J. H. Conway sub numele de metoda „pastilă”. Așa cum este ilustrat mai sus, în această metodă, numerele impare sunt construite de-a lungul liniilor diagonale în formă de diamant în partea centrală a pătratului. Numerele pare care au fost ratate sunt apoi adăugate secvențial de-a lungul continuării diagonalei obținute prin înfășurarea în jurul pătratului până când diagonala înfășurată atinge punctul inițial. În pătratul de mai sus, prima diagonală se completează 1, 3, 5, 2, 4, a doua diagonală se completează 7, 9, 6, 8, 10, și așa mai departe.

o metodă elegantă pentru construirea pătratelor magice de ordin dublu egaleste de a desenas prin fiecare subsquare și umple toate pătratele în ordine. Apoi înlocuiți fiecare intrare pe o diagonală încrucișată cu sau, echivalent, inversați ordinea intrărilor încrucișate. Astfel, în exemplul de mai sus pentru , numerele tăiate sunt inițial 1, 4,…, 61, 64, deci intrarea 1 este înlocuită cu 64, 4 cu 61 etc.

o metodă foarte elegantă pentru construirea pătratelor magice de ordine uniformăcu (nu există un pătrat magic de ordine 2) se datorează lui J. H. Conway, care o numește metoda „LUX”. Creați o matrice formată din rânduri de s, 1 rând de noi și rânduri de s, toată lungimea . Schimbați mijlocul U cu L deasupra acestuia. Acum generați pătratul magic al ordinii folosind metoda Siameză centrată pe matricea de litere (începând din pătratul central al rândului de sus), dar completați fiecare set de patru pătrate care înconjoară o literă secvențial conform ordinii prescrise de literă. Această ordine este ilustrată în partea stângă a figurii de mai sus, iar pătratul completat este ilustrat în dreapta. „Formele” literelor L, U și X sugerează în mod natural ordinea de umplere, de unde și numele algoritmului.

variațiile pătratelor magice pot fi, de asemenea, construite folosind litere (fie în definirea pătratului, fie ca intrări în el), cum ar fi piața alfamagică și piața magică templieră.

diferite proprietăți numerologice au fost, de asemenea, asociate cu pătrate magice. Pivari asociază pătratele ilustrate mai sus cu Saturn, Jupiter, Marte, soarele, Venus, Mercur și, respectiv, luna. Modelele atractive sunt obținute prin conectarea numerelor consecutive în fiecare dintre pătrate (cu excepția pătratului magic al Soarelui).