Loi de déplacement de Wien

La loi de Planck pour le spectre du rayonnement du corps noir prédit la loi de déplacement de Wien et peut être utilisée pour évaluer numériquement la température relative constante et la valeur du paramètre de crête pour tout paramétrage particulier. On utilise couramment un paramétrage en longueur d’onde et dans ce cas le rayonnement spectral du corps noir (puissance par zone émettrice par angle solide) est :

u λ(λ,T) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c/ λ k T−1. {\displaystyle u_ {\lambda}(\lambda, T) = {2hc^{2}\sur \lambda^{5}} {1\sur e^{hc/\lambda kT}-1}.}

Différencier u(λ, T) par rapport à λ et fixer la dérivée égale à zéro donne:

λ u λ λ = 2 h c 2 (h c k T λ 7 e h c/ λ k T (e h c/λ k T−1) 2 – 1 λ 6 5 e h c / λ k T-1) = 0, {\displaystyle {\partial u\over\partial\lambda} = 2hc^{2}\left({hc\over kT\lambda ^{7}} {e^{hc/\lambda kT}\over\left (e^ {hc/\lambda kT}\over\left (e^ {hc/\lambda kT} -1\ droit)^{2}}-{1 \ sur \lambda ^{6}} {5\sur e ^ {hc/\lambda kT}-1}\ droite) = 0,}

qui peut être simplifié pour donner :

h c λ k T e h c/ λ k T e h c/ λ k T-1-5 = 0. { \displaystyle {hc\sur\lambda kT} { e^ {hc/\lambda kT} \ sur e^ {hc/\lambda kT} -1} -5 = 0.}

En définissant :

x ≡ h c λ k T, {\displaystyle x\equiv {hc\over\lambda kT},}

l’équation devient une dans la variable unique x:

x e x e x−1−5 = 0. {\displaystyle {xe^{x}\ sur e^{x} -1}-5 = 0.}

qui est équivalent à :

(x-5)e x +5 = 0. {\displaystyle(x-5) e ^ {x} +5 = 0.}

Cette équation est facilement résolue numériquement en utilisant la méthode de Newton donnant x= 4.965114231744276303… pour une précision en virgule flottante double précision. La résolution de la longueur d’onde λ en millimètres, et l’utilisation de kelvins pour la température donne :

λpeak=hc/xkT=(2.897771955185172661… mm K) / T.

Paramétrage par fréquenceEdit

Un autre paramétrage courant est par fréquence. La dérivation donnant la valeur du paramètre de crête est similaire, mais commence par la forme de la loi de Planck en fonction de la fréquence ν :

u ν(ν, T) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν/k T−1. {\displaystyle u_ {\nu}(\nu, T) = {2h\nu^{3}\sur c^{2}} {1\sur e^{h\nu/kT}-1}.}

Le processus précédent utilisant cette équation donne :

− h ν k T e h ν/k T e h ν/k T−1 + 3 = 0. { \displaystyle – {h\nu\sur kT} {e^{h\nu/kT}\ sur e^{h\nu/kT} -1} +3 = 0.}

Le résultat net est :

(x-3)e x +3 = 0. {\displaystyle(x-3) e ^ {x} +3 = 0.}

Ceci est résolu de la même manière avec la méthode de Newton donnant x= 2.821439372122078893… pour une précision en virgule flottante double précision. Une solution analytique peut être obtenue avec la fonction W de Lambert

x= 3+W(0, −3 e−3) {\displaystyle x = 3+W(0,-3e^{-3})}

La résolution de ν produit :

vpeak=xkT /h = (0,05878925757646824946… THz K-1)*T.

Les maxima diffèrent selon le paramétragedit

Notez que pour une température donnée, le paramétrage par fréquence implique une longueur d’onde maximale différente du paramétrage par longueur d’onde.

Par exemple, en utilisant T = 6000 K et le paramétrage par longueur d’onde, la longueur d’onde pour le rayonnement spectral maximal est λ= 482,962 nm avec la fréquence correspondante ν = 620,737 THz. Pour la même température, mais en paramétrant par fréquence, la fréquence de rayonnement spectral maximal est ν = 352,735 THz avec la longueur d’onde correspondante λ = 849,907 nm.

Ces fonctions sont des fonctions de densité de rayonnement, qui sont des fonctions de densité de probabilité mises à l’échelle pour donner des unités de rayonnement. La fonction de densité a différentes formes pour différents paramétrages, en fonction de l’étirement relatif ou de la compression de l’abscisse, qui mesure le changement de densité de probabilité par rapport à un changement linéaire d’un paramètre donné. Comme la longueur d’onde et la fréquence ont une relation réciproque, elles représentent des décalages significativement non linéaires de la densité de probabilité l’une par rapport à l’autre.

L’éclat total est l’intégrale de la distribution sur toutes les valeurs positives, et qui est invariante pour une température donnée sous n’importe quel paramétrage. De plus, pour une température donnée, le rayonnement constitué de tous les photons entre deux longueurs d’onde doit être le même quelle que soit la distribution que vous utilisez. C’est-à-dire que l’intégration de la distribution de longueur d’onde de λ1 à λ2 se traduira par la même valeur que l’intégration de la distribution de fréquence entre les deux fréquences qui correspondent à λ1 et λ2, à savoir de c/λ2 à c/λ1. Cependant, la forme de la distribution dépend du paramétrage, et pour un paramétrage différent, la distribution aura typiquement une densité de crête différente, comme le démontrent ces calculs.

En utilisant la valeur 4 pour résoudre l’équation implicite, on obtient le pic de la fonction de densité spectrale de rayonnement exprimé dans le paramètre radiance par largeur de bande proportionnelle. C’est peut-être une façon plus intuitive de présenter la « longueur d’onde d’émission maximale ». Cela donne x = 3,920690394872886343… pour une précision en virgule flottante double précision.

Le point important de la loi de Wien, cependant, est que tout marqueur de longueur d’onde de ce type, y compris la longueur d’onde médiane (ou, alternativement, la longueur d’onde en dessous de laquelle un pourcentage spécifié de l’émission se produit) est proportionnel à l’inverse de la température. C’est-à-dire que la forme de la distribution pour un paramétrage donné évolue avec et se traduit en fonction de la température, et peut être calculée une fois pour une température canonique, puis décalée et mise à l’échelle de manière appropriée pour obtenir la distribution pour une autre température. Ceci est une conséquence de l’énoncé fort de la loi de Vienne.