obiective de învățare
până la sfârșitul acestei secțiuni, va fi capabil să:
- descrie lungimea corectă.
- calculați contracția lungimii.
- explicați de ce nu observăm aceste efecte la scară de zi cu zi.
Figura 1. Oamenii ar putea descrie distanțele diferit, dar la viteze relativiste, distanțele sunt într-adevăr diferite. (credit: Corey Leopold, Flickr)
ai condus vreodată pe un drum care pare că merge pentru totdeauna? Dacă priviți înainte, ați putea spune că mai aveți aproximativ 10 km de parcurs. Un alt călător ar putea spune că drumul din față pare să aibă aproximativ 15 km lungime. Dacă ați măsurat amândoi drumul, totuși, ați fi de acord. Călătorind la viteze de zi cu zi, distanța pe care o măsurați amândoi ar fi aceeași. Cu toate acestea, veți citi în această secțiune că acest lucru nu este adevărat la viteze relativiste. Aproape de viteza luminii, distanțele măsurate nu sunt aceleași atunci când sunt măsurate de observatori diferiți.
lungimea corectă
un lucru asupra căruia toți observatorii sunt de acord este viteza relativă. Chiar dacă ceasurile măsoară timpii scurși diferiți pentru același proces, ei sunt totuși de acord că viteza relativă, care este distanța împărțită la timpul scurs, este aceeași. Aceasta implică faptul că și distanța depinde de mișcarea relativă a Observatorului. Dacă doi observatori văd momente diferite, atunci trebuie să vadă și distanțe diferite pentru ca viteza relativă să fie aceeași cu fiecare dintre ei.
Muonul discutat în exemplul 1 în simultaneitate și dilatarea timpului ilustrează acest concept. Pentru un observator de pe Pământ, Muonul călătorește la 0,950 c pentru 7,05 centimi din momentul în care este produs până când se descompune. Astfel, ea parcurge o distanță
L0 = v (0,950)(3,00)(108 m/s) (7,05) (10-6 s) = 2,01 km
în raport cu Pământul. În cadrul de referință al muonului, durata sa de viață este de numai 2,20 centimi. Ea are suficient timp pentru a călători numai
L0 = v ctf0 = (0,950)(3,00 CTF 108 m/s)(2,20 CTF 10-6 s) = 0,627 km.
distanța dintre aceleași două evenimente (producția și descompunerea unui muon) depinde de cine îl măsoară și de modul în care se mișcă în raport cu acesta.
lungimea corectă
lungimea corectă L0 este distanța dintre două puncte măsurată de un observator care se află în repaus în raport cu ambele puncte.
Observatorul legat de pământ măsoară lungimea corespunzătoare L0, deoarece punctele în care este produs Muonul și se descompune sunt staționare în raport cu Pământul. La muon, pământul, aerul și norii se mișcă și astfel distanța pe care o vede nu este lungimea potrivită.
Figura 2. (a) Observatorul legat de pământ vede Muonul călătorind 2,01 km între nori. (b) Muonul se vede parcurgând aceeași cale, dar numai la o distanță de 0,627 km. Pământul, aerul și norii se mișcă în raport cu Muonul din cadrul său și toate par să aibă lungimi mai mici de-a lungul direcției de deplasare.
contracția lungimii
pentru a dezvolta o ecuație referitoare la distanțele măsurate de diferiți observatori, observăm că viteza relativă la Observatorul legat de pământ în exemplul nostru de muoni este dată de
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
timpul în raport cu Observatorul legat de pământ este de la zero, deoarece obiectul temporizat se mișcă în raport cu acest observator. Viteza relativă față de observatorul în mișcare este dată de
v=\frac{l}{\Delta{t}_0}\\.
Observatorul în mișcare se deplasează cu Muonul și, prin urmare, observă timpul corespunzător de la 0 la 0. Cele două viteze sunt identice; astfel,
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
știm că Δt = γΔt0. Substituirea acestei ecuații în relația de mai sus dă
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
substituirea pentru ecuația de mai sus dă o ecuație referitoare la distanțele măsurate de diferiți observatori.
contracția lungimii
contracția lungimii L este scurtarea lungimii măsurate a unui obiect care se mișcă în raport cu cadrul Observatorului.
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}\\
dacă măsurăm lungimea oricărui lucru care se mișcă în raport cu cadrul nostru, găsim că lungimea sa L este mai mică decât lungimea corespunzătoare L0 care ar fi măsurată dacă obiectul ar fi staționar. De exemplu, în cadrul de referință al muonului, distanța dintre punctele în care a fost produs și unde s-a descompus este mai scurtă. Aceste puncte sunt fixate în raport cu Pământul, dar se deplasează în raport cu Muonul. Norii și alte obiecte sunt, de asemenea, contractate de-a lungul direcției de mișcare în cadrul de referință al muonului.
Exemplul 1. Calculul contracției lungimii: distanța dintre stele se contractă atunci când călătorești cu viteză mare
Să presupunem că un astronaut, cum ar fi geamănul discutat în simultaneitate și dilatarea timpului, călătorește atât de repede încât Ecuador = 30.00.ea călătorește de pe Pământ către cel mai apropiat sistem stelar, Alpha Centauri, la 4.300 de ani lumină (ly) distanță, măsurată de un observator legat de pământ. Cât de departe sunt pământul și Alpha Centauri măsurate de astronaut?
Figura 3. (a) Observatorul legat de pământ măsoară distanța corespunzătoare dintre Pământ și Alpha Centauri. (B) astronautul observă o contracție a lungimii, deoarece pământul și Alpha Centauri se mișcă în raport cu nava ei. Ea poate parcurge această distanță mai scurtă într-un timp mai mic (timpul potrivit) fără a depăși viteza luminii.
strategia
Mai întâi rețineți că un an lumină (ly) este o unitate convenabilă de distanță la scară astronomică—este distanța pe care lumina o parcurge într-un an. Pentru partea 1, rețineți că distanța de 4.300 ly dintre Alpha Centauri și Pământ este distanța corectă L0, deoarece este măsurată de un observator legat de pământ la care ambele stele sunt (aproximativ) staționare. Pentru astronaut, Pământul și Alpha Centauri se deplasează cu aceeași viteză, astfel încât distanța dintre ele este lungimea contractată L. În partea 2, ni se dă un hectar, și astfel putem găsi V prin rearanjarea definiției de la hectar pentru a exprima v în termeni de c.
soluție pentru partea 1
identificați knowns:
L0 − 4.300 ly; 0 = 30.00
identificați necunoscutul: L
alegeți ecuația corespunzătoare:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
rearanjați ecuația pentru a rezolva necunoscutul.
\begin{array}{lll}l&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
soluție pentru partea 2
identificati necunoscutul: 00,00
identificati necunoscutul: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0 = \ frac{1}{1-\frac{v^2}{C^2}}\\ astfel încât 1-\frac{v^2}{C^2}=\frac{1}{900}\\ și \frac{v^2}{C^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\puncte\\
luând rădăcina pătrată, găsim \frac{v}{c}=0.99944\\, care este rearanjat pentru a produce o valoare pentru viteza v = 0.9994 c.
discuție
în primul rând, amintiți-vă că nu ar trebui să rotunjiți calculele până când nu se obține rezultatul final sau puteți obține rezultate eronate. Acest lucru este valabil mai ales pentru calculele relativității speciale, unde diferențele ar putea fi dezvăluite numai după mai multe zecimale. Efectul relativist este foarte mare aici (30).00), și vedem că v se apropie (nu egalează) viteza luminii. Deoarece distanța măsurată de astronaut este mult mai mică, astronautul o poate călători în mult mai puțin timp în cadrul ei.
oamenii ar putea fi trimiși pe distanțe foarte mari (mii sau chiar milioane de ani lumină) și ar putea îmbătrâni doar câțiva ani pe drum dacă ar călători cu viteze extrem de mari. Dar, la fel ca emigranții din secolele trecute, ar părăsi pământul pe care îl cunosc pentru totdeauna. Chiar dacă s-ar fi întors, mii până la milioane de ani ar fi trecut pe Pământ, distrugând cea mai mare parte a ceea ce există acum. Există, de asemenea, un obstacol practic mai serios în calea călătoriei cu astfel de viteze; energii imens mai mari decât prezice fizica clasică ar fi necesare pentru a atinge astfel de viteze mari. Acest lucru va fi discutat în energia Relatavistică.
Figura 4. Liniile de câmp electric ale unei particule încărcate cu viteză mare sunt comprimate de-a lungul direcției de mișcare prin contracția lungimii. Aceasta produce un semnal diferit atunci când particula trece printr-o bobină, un efect verificat experimental al contracției lungimii.
De ce nu observăm contracția lungimii în viața de zi cu zi? Distanța până la magazinul alimentar nu pare să depindă de faptul că ne mișcăm sau nu. Examinând ecuația L = L_0 \ sqrt{1 – \ frac{v^2}{C^2}}\\, vedem că la viteze mici (v<<c) lungimile sunt aproape egale, așteptarea clasică. Dar contracția lungimii este reală, dacă nu este experimentată în mod obișnuit. De exemplu, o particulă încărcată, ca un electron, care călătorește cu viteză relativistă are linii de câmp electric care sunt comprimate de-a lungul direcției de mișcare așa cum este văzută de un observator staționar. (A Se Vedea Figura 4.) Pe măsură ce electronul trece printr-un detector, cum ar fi o bobină de sârmă, câmpul său interacționează mult mai scurt, efect observat la acceleratoarele de particule, cum ar fi acceleratorul liniar Stanford lung de 3 km (SLAC). De fapt, la un electron care călătorește pe conducta fasciculului la SLAC, acceleratorul și pământul se deplasează și sunt contractate de lungime. Efectul relativist este atât de mare decât acceleratorul are doar 0,5 m lungime față de electron. De fapt, este mai ușor să coborâți fasciculul de electroni pe țeavă, deoarece fasciculul nu trebuie să fie la fel de precis pentru a coborî o conductă scurtă, așa cum ar coborî o lungime de 3 km. Aceasta, din nou, este o verificare experimentală a teoriei speciale a relativității.
verificați-vă înțelegerea
o particulă călătorește prin atmosfera Pământului cu o viteză de 0,750 c. la un observator legat de pământ, distanța pe care o parcurge este de 2,50 km. Cât de departe se deplasează particula în cadrul de referință al particulei?
soluție
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}=\stânga(2,50\text{ km}\dreapta)\sqrt{1-\frac{\stânga(0,750 c\dreapta)^2}{C^2}}=1,65\text{ km}\\
rezumatul secțiunii
- toți observatorii sunt de acord asupra vitezei relative.
- distanța depinde de mișcarea unui observator. Lungimea corectă L0 este distanța dintre două puncte măsurată de un observator care este în repaus față de ambele puncte. Observatorii legați de pământ măsoară lungimea corespunzătoare atunci când măsoară distanța dintre două puncte care sunt staționare în raport cu Pământul.
- contracția lungimii L este scurtarea lungimii măsurate a unui obiect care se deplasează în raport cu cadrul Observatorului:
L=l_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{C}^{2}}}=\frac{{l}_{0}}{\gamma}\\.
întrebări conceptuale
- cui i se pare un obiect mai lung, un observator care se mișcă cu obiectul sau un observator care se mișcă în raport cu obiectul? Care observator măsoară lungimea corectă a obiectului?
- efecte relativiste precum dilatarea timpului și contracția lungimii sunt prezente pentru mașini și avioane. De ce aceste efecte ni se par ciudate?
- Să presupunem că un astronaut se mișcă în raport cu Pământul la o fracțiune semnificativă din viteza luminii. (a) observă el că ritmul ceasurilor sale a încetinit? b) Ce schimbare a ratei ceasurilor legate de pământ vede el? (c) i se pare că nava lui se scurtează? (d) cum rămâne cu distanța dintre stele care se află pe linii paralele cu mișcarea sa? e) el și un observator legat de pământ sunt de acord cu privire la viteza sa față de pământ?
probleme& exerciții
- o navă spațială, lungă de 200 m cât se vede la bord, se deplasează pe lângă Pământ la 0,970 c. care este lungimea sa măsurată de un observator legat de pământ?
- cât de repede ar trebui să treacă o mașină sport de 6,0 m lungime pentru a apărea doar 5,5 m lungime?
- (a) cât de departe călătorește Muonul din exemplul 1 în simultaneitate și dilatarea timpului în funcție de observatorul legat de pământ? b) cât de departe călătorește ea, așa cum o vede un observator care se deplasează cu ea? Baza de calcul pe viteza sa în raport cu Pământul și timpul în care trăiește (timpul propriu-zis). (c) verifică dacă aceste două distanțe sunt corelate prin contracția lungimii, respectiv (3.20).
- (a) cât timp ar fi trăit Muonul din exemplul 1 în simultaneitate și dilatarea timpului așa cum s-a observat pe Pământ dacă viteza sa ar fi fost 0,0500 c? b) cât de departe ar fi călătorit ea, așa cum s-a observat pe Pământ? c) CE distanță este aceasta în cadrul muonului?
- (a) cât timp îi ia astronautului din exemplul 1 să călătorească 4,30 ly la 0,99944 c (măsurat de observatorul legat de pământ)? b) cât durează conform spuselor astronautului? (c) să verifice dacă aceste două ori sunt corelate prin dilatarea temporală cu valoarea egală cu 30,00.
- (a) cât de repede ar trebui un atlet să alerge pentru o cursă de 100 m pentru a arăta 100 yd lung? b) este răspunsul în concordanță cu faptul că efectele relativiste sunt greu de observat în împrejurări obișnuite? Explică.
- rezultate nerezonabile. (a) a se stabili valoarea de hectolitru pentru următoarea situație. Un astronaut măsoară lungimea navei sale spațiale la 25,0 m, în timp ce un observator legat de pământ măsoară 100 m. b) Ce este nerezonabil cu privire la acest rezultat? (c) care presupuneri sunt nerezonabile sau inconsistente?
- rezultate nerezonabile. O navă spațială se îndreaptă direct spre Pământ cu o viteză de 0,800 c. astronautul de la bord susține că poate trimite o canistră spre Pământ la 1,20 c față de pământ. (a) calculați viteza pe care trebuie să o aibă canistra în raport cu nava spațială. b) Ce este nerezonabil cu privire la acest rezultat? (c) care presupuneri sunt nerezonabile sau inconsistente?
Glosar
lungime adecvată: L0; distanța dintre două puncte măsurată de un observator care este în repaus în raport cu ambele puncte; observatorii legați de pământ măsoară lungimea corectă atunci când măsoară distanța dintre două puncte care sunt staționare în raport cu Pământul
contracția lungimii: L, scurtarea lungimii măsurate a unui obiect care se deplasează în raport cu cadrul Observatorului:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{C}^{2}}}=\frac{{l}_{0}}{\Gamma}\\
soluții selectate la probleme & exerciții
1. 48,6 m
3. (a) 1,387 km = 1,39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{T}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
astfel, cele două dăți sunt legate atunci când sunt 30.00.
7. (a) 0,250; (B) 0,250; (c) un observator legat de pământ trebuie să măsoare o lungime mai mică, deci nu este rezonabil să se presupună o lungime mai mare.