recent, m-am gândit la diverse justificări pentru definiția lui 0! (factorial de zero) care este
$$0!=1$ $
valoarea presupusă a lui 1 poate părea destul de evidentă dacă luați în considerare formula recursivă. Cu toate acestea, nu m-a satisfăcut „matematic”. De aceea am decis să scriu aceste câteva propoziții. Voi da motivații pentru cei mai puțin avansați, dar vor exista și motivații pentru ceva mai mulți insideri.
factorial în calculator scalar
factorial și recurență
pentru întreg n> 0 factorial este definit după cum urmează
$$n!=n \ times (N-1)\times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1$$
cu ușurință puteți vedea că mai jos formula recursivă urmează
$$n!= n\ori (n-1)!$$
$$1!= 1 $ $
0! = 1-motivația bazată pe recurență
transformare mică a
$$n!= n\ori (n-1)!$ $
dă
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
substituind n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1} $ $
$$0!=1!=1$$
această explicație, deși ușoară, nu oferă (în opinia mea) o înțelegere suficient de profundă a „de ce aceasta ar trebui să fie cea mai bună opțiune”.
factorial n! numără posibilele secvențe distincte de n obiecte distincte (permutări)
Să presupunem că avem un set care conține n elemente
$$\{1,2,\ldots,n\}$$
acum să”numărăm ordonarea posibilă a elementelor este acest set
- n moduri de selectare a primului element (deoarece avem întregul set disponibil)
- n-1 moduri de selectare a celui de-al doilea element (deoarece primul a fost-1 stânga)
- n-2 moduri de selectare a treilea element (deoarece cele două au fost deja selectate, există N – 2 stânga)
- …
- n-(k-1) moduri de selectare a numărului elementului k (deoarece k-1 au fost deja selectate, n- (k-1) rămân)
- 2 moduri de selectare a numărului elementului n-1 (deoarece n-2 au fost selectate, încă 2 rămân)
- 1 Mod de selectare a numărului elementului n (deoarece n-1 au fost au fost selectate, a rămas doar unul)
în cele din urmă, numărând toate căile posibile, obținem
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \ori 2\ori 1=n!$ $
concluzie: factorialul lui n numără numărul de permutare a unui set care conține n elemente.
k-permutări ale n uneori numite permutări parțiale sau variații
k-permutările lui n sunt aranjamentele ordonate diferite ale unui subset de element K al unui N-Set. Numărul de astfel de K-permutări de n este
$$p_k^n = n\ori (n-1)\ori (n-2)\ori\ldots\ori \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!} {(n-k)!} $$
este ușor de văzut că n-permutarea lui n este o permutare, deci
$$p_n^n=n!$ $
$$n! = \ frac{n!}{(n-n)!} = \ frac{n!}{0!} $$
următoarea perspectivă de ce 0!= 1 este definiția corectă vine de la faptul că pentru orice N > 0 ar trebui să avem
$$0! \ ori n! = n!$$
⭐️ Funcționa ca un seturi de cartografiere
Funcția
$$f:A\to B$$
Funcția f : A → B, în cazul în care pentru orice a ∈ a este f(a) = b ∈ B, definește relația între elementele a și b. Putem spune că elementele a ∈ a și b ∈ B sunt în raport cu „f”, dacă și numai dacă f(a) = b.
funcția ca subset al produsului cartezian
funcția este o relație binară, adică funcția poate fi exprimată ca subset al unui produs cartezian.
$$(A,b)\în f \subseteq a\ori B \iff f(A)=b$$
funcție injectivă
funcția injectivă este o funcție care păstrează distinctivitatea: nu mapează niciodată elemente distincte ale domeniului său la același element al codomainului său. În scurt timp
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
funcția surjectivă de la sută
o funcție F este surjectivă (sau onto) dacă pentru fiecare element B din codomain, există cel puțin un element a în domeniu astfel încât F(A)=B . Nu este necesar ca x să fie unic.
$ $ f:A\la b$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \în B} \quad\displaystyle\exists_{a\în a}\quad}f(A)=b$$
funcția bijectivă de la sută
funcție bijectivă, sau corespondență unu-la-unu, este o funcție în care fiecare element al unui set este asociat cu exact un element al celuilalt set și fiecare element al celuilalt set este asociat cu exact un element al primului set. Nu există elemente nepereche.
în termeni matematici, o funcție bijectivă este atât maparea injectivă, cât și cea surjectivă a unei mulțimi A la o mulțime B.
funcția bijectivă vs permutare
permutarea este o funcție care returnează ordinea unei mulțimi, adică dacă luăm în considerare mulțimea n-element {1, 2,…, n} atunci permutarea va fi o funcție
$$p:\{1, 2,…, n\}\la\{1, 2,…, n\}$$
satisfacerea condiției funcției bijective.
întrebând despre numărul de permutări, putem întreba în mod egal despre numărul de bijecții diferite dintr-un set dat în sine.
funcția goală
o funcție goală este orice funcție al cărei domeniu este un set gol.
$$f:\emptyset\to B$$
funcția goală „diagramă” este un set gol, deoarece produsul cartezian al domeniului și codomain este gol.
$$\emptyset\times B = \emptyset$$
funcția goală păstrează distinctivitatea (este injectivă), deoarece în domeniu (un set gol) nu există două elemente diferite pentru care valoarea funcției este egală.
un caz special al unei funcții goale
Să analizăm funcția care mapează gol la gol set
$ $f:\emptyset \ to \ emptyset$$
o astfel de funcție este o bijecție deoarece este o funcție injectivă (așa cum se arată mai sus) și nu există niciun element în codomain (codomain este un set gol) care nu este în raport cu elementele din domeniu.
vă rugăm să rețineți că există exact o astfel de bijecție, care este un rezultat al că funcția este un subset al produsului cartezian de domeniu și codomain. În acest caz, acesta este doar un set posibil.
$ $ f:\emptyset\to\emptyset$$
$$\emptyset\times \emptyset = \ emptyset$$
setul gol are exact un subset, care este setul gol – astfel o astfel de bijecție este definită în mod unic.
0! = 1 vs funcția goală
am scris mai sus că numărul de permutări ale unui set de elemente n este egal cu numărul de funcții bijective distincte din acest set în sine.
în continuare – permutarea setului de 0 elemente corespunde bijecției dintr – un set gol în setul gol/
cazul special al funcției goale este doar 1-și am prezentat dovada că există o singură astfel de funcție
introspecție destul de profundă de ce 0! ar trebui să fie de 1.
în matematică, funcția gamma este una dintre extensiile funcției factoriale cu argumentul său deplasat în jos cu 1, la numere reale și complexe.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
după integrarea pe părți obținem formula recursivă
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
să vedem valoarea
$$\Gamma(1)=?$$
$ $ \Gamma (1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_ {- \infty}^{0}e^{t}dt$$
în urma
$$ \ Gamma(n+1) = n!$$
$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
numărul E și relația factorială
pe baza expansiunii seriei Taylor a e^X este ușor de arătat că
$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = \ frac{1}{0!} + \ frac{1}{1!} + \ frac{1}{2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂