Find kilder: “Danmarks forskydningslov” – nyheder · aviser · bøger · scholar · JSTOR (oktober 2019) (Lær hvordan og hvornår denne skabelonmeddelelse skal fjernes)
Plancks lov for spektret af sort kropsstråling forudsiger den amerikanske forskydningslov og kan bruges til numerisk at evaluere den konstante relaterede temperatur og topparameterværdien for en bestemt parameterisering. Almindeligvis anvendes en bølgelængdeparameterisering , og i så fald er den sorte kropsspektral udstråling (effekt pr .emitterende område pr. fast vinkel):
u − lysten ( lysten, T ) = 2 h c 2 lysten 5 1 e H c / lysten k T-1. {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda ,T)={2HC^{2} \over \lambda ^{5}}{1\over e^{hc/ \ lambda kT}-1}.}
differentiering af u (kur,T) med hensyn til kur og indstilling af derivatet lig med nul giver:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 h c k T λ 7 e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda-kT} \over \left(e^{hc/\lambda-kT}-1\højre)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \end e^{hc/\lambda-kT}-1}\right)=0,}
, som kan forenkles til at give:
h c L K T e H c / L k T e H c / L k T − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {HC \ over \ lambda kT}{e^{hc/\lambda kT}\over e^{hc / \ lambda kT}-1}-5=0.}
Ved at definere:
Ved at definere:
Ved at definere: ved at definere: ved at definere: ved at definere: ved at definere: ved at definere: ved at definere: ved at. {\displaystyle {S^{S} \ over e^{s}-1}-5=0.}
hvilket svarer til:
( 5) e + 5 = 0. {\displaystyle (h-5) e^{H} + 5=0.}
denne ligning løses let numerisk ved hjælp af Nytons metode, hvilket giver = 4.965114231744276303… til dobbelt præcision flydende punkt nøjagtighed. Løsning for bølgelængden af krup i milimetre og anvendelse af Kelvin til temperaturudbyttet:
kripeak = hc / HKT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
parameterisering ved frekvensedit
en anden almindelig parameterisering er efter frekvens. Afledningen, der giver topparameterværdi, er ens , men starter med formen af Plancks lov som en funktion af frekvens − kur:
u-kur ( kur, T ) = 2 h-kur 3 c 2 1 e H-kur / k T-1 . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}
den foregående proces ved hjælp af denne ligning giver:
− H − K-K-T-e-H-K-1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h \ nu \ over kT}{e^{h \ nu / kT} \ over e^{h \ nu / kT}-1} + 3=0.}
nettoresultatet er:
( 3 ) e + 3 = 0. {\displaystyle (H-3) e^{H} + 3=0.}
dette løses på samme måde med Nyton ‘ s metode, der giver 2.821439372122078893… til dobbelt præcision flydende punkt nøjagtighed. En analytisk opløsning kan opnås med Lambert h − funktionen
H = 3 + H ( 0, − 3 e-3 ) {\displaystyle H=3+H(0,-3e^{-3})}
løsning for Larra producerer:
vpeak = h = (0,05878925757646824946…
Bemærk, at for en given temperatur indebærer parametrering ved frekvens en anden maksimal bølgelængde end parametrering ved bølgelængde.
for eksempel ved anvendelse af T = 6000 K og parameterisering ved bølgelængde, bølgelængden for maksimal spektral udstråling er liter = 482,962 nm med tilsvarende frekvens liter = 620,737 THC. For den samme temperatur, men parameteriserende efter frekvens, er frekvensen for maksimal spektral udstråling et niveau på 352,735 med en tilsvarende bølgelængde på 849,907 nm.
disse funktioner er radiance density funktioner, som er sandsynlighedsdensitetsfunktioner skaleret for at give enheder af udstråling. Densitetsfunktionen har forskellige former for forskellige parameteriseringer afhængigt af relativ strækning eller kompression af abscissen, som måler ændringen i sandsynlighedstæthed i forhold til en lineær ændring i en given parameter. Da bølgelængde og frekvens har en gensidig relation, repræsenterer de signifikant ikke-lineære forskydninger i sandsynlighedstæthed i forhold til hinanden.
den samlede udstråling er integralet af fordelingen over alle positive værdier, og det er uforanderligt for en given temperatur under enhver parameterisering. Derudover skal udstrålingen bestående af alle fotoner mellem to bølgelængder for en given temperatur være den samme, uanset hvilken fordeling du bruger. Det vil sige, at integrere den bølgelængde, distribution fra λ1 at λ2 vil resultere i, at den samme værdi som at integrere den hyppighed, fordeling mellem de to frekvenser, der svarer til λ1 og λ2, nemlig fra c/λ2 til c/λ1. Fordelingsformen afhænger imidlertid af parameteriseringen, og for en anden parameterisering vil fordelingen typisk have en anden spidstæthed, som disse beregninger viser.
brug af værdien 4 til at løse den implicitte ligning giver toppen i funktionen spektral udstrålingstæthed udtrykt i parameteren udstråling pr.proportional båndbredde. Dette er måske en mere intuitiv måde at præsentere “bølgelængde af peak emission”. 3.920690394872886343… til dobbelt præcision flydende punkt nøjagtighed.
det vigtige punkt i Danmarks lov er imidlertid, at enhver sådan bølgelængdemarkør, inklusive medianbølgelængden (eller alternativt bølgelængden under hvilken en specificeret procentdel af emissionen forekommer) er proportional med den gensidige temperatur. Det vil sige formen på fordelingen for en given parameterisering skaleres med og oversættes efter temperatur og kan beregnes en gang for en kanonisk temperatur og derefter skiftes passende og skaleres for at opnå fordelingen for en anden temperatur. Dette er en konsekvens af den stærke erklæring om Danmarks lov.