Najít zdroje: „Wienův posunovací zákon“ – novinky · denní tisk · knihy · vědec · JSTOR (říjen 2019) (Učit se, jak a kdy odstranit tuto šablonu zprávy)
Planckova zákona pro spektrum záření černého tělesa předpovídá Wien posunutí zákona a mohou být použity k číselně vyhodnotit konstantní týkající teploty a maximální hodnota parametru pro konkrétní parametrizace. Obvykle se používá parametrizace vlnové délky a v tomto případě je spektrální záření černého tělesa ( výkon na Vyzařovací plochu na pevný úhel):
U λ (λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 E h c / λ K T − 1 . {\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}
diferenciace u (λ, T)vzhledem k λ a nastavení derivace rovné nule dává:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h c k T λ 7 e h c / λ k T ( e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}
což lze zjednodušit tak, aby:
h c λ K T E h c / λ K T E h c / λ k T-1 – 5 = 0. {\displaystyle {hc \ over \ lambda kt}{e^{hc / \lambda kt} \ over e^{hc / \ lambda kt}-1}-5=0.}
určení:
x ≡ h c λ k T , {\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}
rovnice se stává jedním v jedné proměnné x:
x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ nad e^{x}-1}-5=0.}
což odpovídá:
(x-5) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5=0.}
Tato rovnice je snadno numericky řešit pomocí newtonovy metody získávání x = 4.965114231744276303… Chcete-li zdvojnásobit přesnost s pohyblivou řádovou čárkou. Řešení pro vlnovou délku λ v milimetrech a použití Kelvinů pro teplotní výtěžky:
λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
parametrizace frekvencíedit
Další běžnou parametrizací je frekvence. Odvození výtěžkem peak hodnota parametru je podobný, ale začíná s formou Planckova zákona jako funkce frekvence ν:
u ν ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 . {\displaystyle u_ {\nu } (\nu ,T)={2h\nu ^{3} \ nad C^{2}}{1 \ nad e^{h\nu / kt}-1}.}
předchozí postup pomocí této rovnice poskytuje:
– h ν K T E h ν / K T E h ν / K T-1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h\nu \over kt}{e^{h\nu / kt} \ over E^{h\nu / kt}-1}+3=0.}
čistý výsledek je:
(x-3) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3=0.}
to je podobně řešeno Newtonovou metodou, která dává x = 2.821439372122078893… Chcete-li zdvojnásobit přesnost s pohyblivou řádovou čárkou. Analytické řešení lze získat s Lambert W function
x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
Řešení pro ν vyrábí:
vpeak = xkT / h = (0.05878925757646824946… THz K−1) · T
Maxima se liší podle parameterizationEdit
Všimněte si, že pro dané teploty, parametrizace podle frekvence znamená různé maximální vlnovou délku než parametrizace pomocí vlnové délce.
například pomocí T = 6000 K a parametrizace pomocí vlnové délky, vlnovou délku pro maximální spektrální zářivost je λ = 482.962 nm s odpovídající frekvencí ν = 620.737 THz. Pro stejnou teplotu, ale parametrizující podle frekvence, je frekvence pro maximální spektrální záření ν = 352.735 THz s odpovídající vlnovou délkou λ = 849.907 nm.
tyto funkce jsou funkce hustoty záření, což jsou funkce hustoty pravděpodobnosti škálované tak, aby poskytovaly jednotky záření. Hustota pravděpodobnosti má různé tvary pro různé parametrizací, v závislosti na relativní protažení nebo stlačení úsečka, která měří změnu v pravděpodobnosti hustotu vzhledem k lineární změně daného parametru. Protože vlnová délka a frekvence mají vzájemný vztah, představují významně nelineární posuny hustoty pravděpodobnosti vůči sobě navzájem.
celková zářivost je integrál rozdělení na všechny kladné hodnoty, a to je invariantní pro danou teplotu při jakékoli parametrizaci. Navíc pro danou teplotu musí být záření sestávající ze všech fotonů mezi dvěma vlnovými délkami stejné bez ohledu na to, jakou distribuci používáte. To znamená, že integrace vlnová délka distribuci od λ1 do λ2 bude mít stejnou hodnotu jako integrace rozložení frekvencí mezi dvěma kmitočty, které odpovídají λ1 a λ2, tedy od c/λ2 c/λ1. Tvar distribuce však závisí na parametrizaci a pro jinou parametrizaci bude mít distribuce obvykle jinou hustotu píku, jak ukazují tyto výpočty.
Použitím hodnoty 4 k vyřešení implicitní rovnice se získá vrchol ve funkci spektrální hustoty záření vyjádřené v parametru radiance na proporcionální šířku pásma. Toto je možná intuitivnější způsob prezentace „vlnové délky špičkové emise“. To dává x = 3.920690394872886343… Chcete-li zdvojnásobit přesnost s pohyblivou řádovou čárkou.
důležitým bodem wienův zákon, nicméně, je, že žádné takové vlnové délce, marker, včetně střední vlnové délky (nebo, alternativně, vlnová délka, pod kterou žádné konkrétní procento emisí dochází) je úměrná převrácené hodnotě teploty. To znamená, že tvar rozdělení pro dané parametrizace váhy se a překládá v závislosti na teplotě, a může být vypočtena jednou pro kanonické teplotě, pak se odpovídajícím způsobem posunut a upraven tak, aby se získat licence pro další teploty. Je to důsledek silného prohlášení Wienova zákona.