o funcție leagă o intrare de o ieșire.
 |
este ca o mașină care are o intrare și o ieșire. și ieșirea este legată cumva de intrare. |
| f(x) |
„f(x) = … „este modul clasic de a scrie o funcție. |
intrare, relație, ieșire
vom vedea multe moduri de a gândi despre funcții, dar există întotdeauna trei părți principale:
- intrarea
- relația
- ieșirea
exemplu: „înmulțiți de 2” este o funcție foarte simplă.
aici sunt cele trei părți:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
câteva exemple de funcții
- x2 (pătrat) este o funcție
- x3+1 este, de asemenea, o funcție
- sinus, cosinus și tangentă sunt funcții utilizate în trigonometrie
- și există multe altele!
dar nu ne vom uita la funcții specifice …
… în schimb, ne vom uita la ideea generală a unei funcții.
nume
În primul rând, este util să dați unei funcții un nume.
cel mai comun nume este „f”, dar putem avea alte nume precum „g” … sau chiar „marmeladă” dacă vrem.
dar să folosim „f”:
spunem „f din x este egal cu X pătrat”
ceea ce intră în funcție este pus între paranteze () după numele funcției:
deci F(x) ne arată funcția se numește „f”, iar „x” intră
și de obicei vedem ce face o funcție cu intrarea:
F(X) = X2 ne arată că funcția „f” ia „x” și o pătrate.
exemplu: cu f(x) = x2:
- o intrare de 4
- devine o ieșire de 16.
de fapt, putem scrie f(4) = 16.
„x” este doar un loc-titular!
nu vă preocupați prea mult de „x”, este doar acolo pentru a ne arăta unde merge intrarea și ce se întâmplă cu ea.
ar putea fi orice!
deci, această funcție:
f(x) = 1 – X + X2
este aceeași funcție ca:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(XV) = 1 – X + X2
variabila (x, q, A, etc) este doar acolo ca să știm unde să punem valorile:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
uneori nu există nici un nume de funcție
uneori, o funcție nu are nici un nume, și vom vedea ceva de genul:
y = x2
dar există încă:
- o intrare (x)
- o relație (Cuadratura)
- și o ieșire (y)
referitoare
în partea de sus am spus că o funcție a fost ca o mașină. Dar o funcție nu are într – adevăr centuri sau roți dințate sau orice părți în mișcare-și nu distruge de fapt ceea ce am pus în ea!
o funcție leagă o intrare de o ieșire.
a spune „f(4) = 16” este ca și cum ai spune că 4 este cumva legat de 16. Or 4 16
exemplu: acest arbore crește 20 cm în fiecare an, astfel încât înălțimea arborelui este legată de vârsta sa folosind funcția h:
h(vârstă) = vârstă 20
deci, dacă vârsta este de 10 ani, înălțimea este:
h(10) = 10 20 = 200 cm
iată câteva valori de exemplu:
| vârstă | h(vârstă) = vârstă 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
„Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… ar putea fi, de asemenea, Litere („a”inkt”B”), sau coduri de identificare („A6309″Int”Pass”) sau lucruri ciudate. |
deci avem nevoie de ceva mai puternic, și că este în cazul în care Seturi vin:
 |
un set este o colecție de lucruri.iată câteva exemple:
|
fiecare lucru individual din set (cum ar fi „4” sau „pălărie”) se numește Membru sau element.
deci, o funcție ia elemente ale unui set și dă înapoi elemente ale unui set.
o funcție este specială
dar o funcție are reguli speciale:
- trebuie să funcționeze pentru fiecare valoare de intrare posibilă
- și are o singură relație pentru fiecare valoare de intrare
Acest lucru poate fi spus într-o singură definiție:
definiția formală a unei funcții
o funcție leagă fiecare element al unui set
cu exact un element al unui alt set
(posibil același set).
cele două lucruri importante!
|
„…fiecare element…”înseamnă că fiecare element din X este legat de un element din Y. spunem că funcția acoperă X (raportează fiecare element al acestuia). (dar unele elemente ale lui Y s-ar putea să nu fie deloc legate, ceea ce este bine.) |
|
„…exact una…”înseamnă că o funcție este unică. Acesta nu va da înapoi 2 sau mai multe rezultate pentru aceeași intrare. deci „f(2) = 7 sau 9” nu este corect! |
|
„unu-la-mulți” nu este permis, dar „mulți-la-unu” este permis: |
||
 |
||
| (unu-la-mulți) | (Multi-la-unu) | |
| acest lucru nu este ok într-o funcție | dar acest lucru este OK într-o funcție | |
când o relație nu respectă aceste două reguli, atunci nu este o funcție … este încă o relație, doar nu o funcție.
exemplu: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- fiecare element din X este legat de Y
- niciun element din X nu are două sau mai multe relații
deci urmează regulile.
(observați cum se raportează atât 4, cât și -4 la 16, ceea ce este permis.)
exemplu: această relație nu este o funcție:
este o relație, dar nu este o funcție, din aceste motive:
- valoarea” 3 „în X nu are nicio relație în Y
- valoarea” 4 „în X nu are nicio relație în Y
- valoarea” 5 „este legată de mai multe valori în Y
(dar faptul că” 6″în Y nu are nicio relație nu contează)
test de linie verticală
pe un grafic, ideea de valoare unică înseamnă că nicio linie verticală nu traversează vreodată mai mult de o valoare.
dacă traversează mai mult de o dată, este încă o curbă validă, dar nu este o funcție.
unele tipuri de funcții au reguli mai stricte, pentru a afla mai multe puteți citi injectiv, surjectiv și Bijectiv
infinit de multe
exemplele mele au doar câteva valori, dar funcțiile funcționează de obicei pe seturi cu infinit de multe elemente.
exemplu: y = x3
- setul de intrare „X” este toate numerele reale
- setul de ieșire „Y” este, de asemenea, toate numerele reale
nu putem afișa toate valorile, deci aici sunt doar câteva exemple:
| x: x | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
domeniu, Codomain și interval
în exemplele noastre de mai sus
- setul „X” se numește domeniu,
- setul „Y” se numește Codomain și
- setul de elemente care se indică în Y (valorile reale produse de funcție) se numește gama.
avem o pagină specială despre domeniu, gamă și Codomain dacă doriți să aflați mai multe.
atât de multe nume!
funcțiile au fost folosite în matematică de foarte mult timp și au apărut o mulțime de nume și moduri diferite de scriere a funcțiilor.
iată câțiva termeni comuni cu care ar trebui să vă familiarizați:
exemplu: z = 2U3:
- „u” ar putea fi numit „variabila independentă”
- „z” ar putea fi numit „variabila dependentă” (depinde de valoarea lui u)
exemplu: f(4) = 16:
- „4” ar putea fi numit „argumentul”
- „16” ar putea fi numit „valoarea funcției”
exemplu: H(an) = 20 anul:
- h() este funcția
- „an” ar putea fi numit „argumentul”, sau „variabila”
- o valoare fixă ca „20” poate fi numit un parametru
noi numim adesea o funcție „f(x)” atunci când, de fapt, funcția este într-adevăr „f”
perechi ordonate
și iată un alt mod de a gândi despre funcții:
scrieți intrarea și ieșirea unei funcții ca o „pereche ordonată”, cum ar fi (4,16).
se numesc perechi ordonate deoarece intrarea este întotdeauna prima, iar ieșirea a doua:
(intrare, ieșire)
deci, se pare ca acest lucru:
( x, f(x))
exemplu:
(4,16) înseamnă că funcția ia în „4” și dă „16”
Set de perechi ordonate
o funcție poate fi apoi definit ca un set de perechi ordonate:
exemplu: {(2,4), (3,5), (7,3)} este o funcție care spune
„2 este legat de 4”, „3 este legat de 5” și „7 este legat de 3”.
de asemenea, observați că:
- domeniul este {2,3,7} (valorile de intrare)
- și intervalul este {4,5,3} (valorile de ieșire)
dar funcția trebuie să fie unică, așa că spunem și
„dacă conține (A, b) și (A, c), atunci b trebuie să fie egal cu c”
care este doar un mod de a spune „nu pot produce două rezultate diferite.
exemplu: {(2,4), (2,5), (7,3)} nu este o funcție deoarece {2,4} și {2,5} înseamnă că 2 ar putea fi legat de 4 sau 5.
cu alte cuvinte, nu este o funcție, deoarece nu este o singură valoare
un beneficiu de perechi ordonate
le putem grafic…
… pentru că sunt și coordonate!
deci, un set de coordonate este, de asemenea, o funcție (dacă respectă regulile de mai sus, adică)
o funcție poate fi în bucăți
putem crea funcții care se comportă diferit în funcție de valoarea de intrare
exemplu: o funcție cu două bucăți:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
citiți mai multe la funcții în bucăți.
Explicit vs Implicit
un ultim subiect: termenii „explicit” și „implicit”.
Explicit este atunci când funcția ne arată cum să mergem direct de la x la y, cum ar fi:
y = x3 − 3
când știm x, putem găsi y
acesta este stilul clasic y = f(x) cu care lucrăm adesea.
Implicit este atunci când nu este dat direct, cum ar fi:
x2 − 3XY + y3 = 0
când știm x, Cum găsim y?
poate fi greu (sau imposibil!) pentru a merge direct de la x la y.
„Implicit” vine de la „implicit”, cu alte cuvinte arătat indirect.
Graphing
- funcția Grapher poate manipula doar funcții explicite,
- ecuația Grapher poate manipula ambele tipuri (dar durează un pic mai mult, și, uneori, devine greșit).
concluzie
- o funcție corelează intrările cu ieșirile
- o funcție preia elemente dintr-un set (domeniul) și le leagă de elemente dintr-un set (codomain).
- toate ieșirile (valorile reale legate de) sunt numite împreună intervalul
- o funcție este un tip special de relație în care:
- fiecare element din domeniu este inclus și
- orice intrare produce o singură ieșire (nu una sau alta)
- o intrare și ieșirea sa potrivită sunt numite împreună o pereche ordonată
- deci o funcție poate fi văzută și ca un set de perechi ordonate