algebră fără margini

ratele de schimbare

funcțiile liniare se aplică problemelor din lumea reală care implică o rată constantă.

rata de schimbare

ecuațiile liniare includ adesea o rată de schimbare. De exemplu, rata la care Distanța se schimbă în timp se numește viteză. Dacă se cunosc două puncte în timp și distanța totală parcursă, se poate determina rata de schimbare, cunoscută și sub numele de pantă. Din aceste informații, se poate scrie o ecuație liniară și apoi se pot face predicții din ecuația liniei.

dacă unitatea sau cantitatea pentru care se schimbă ceva nu este specificată, de obicei rata este pe unitate de timp. Cel mai frecvent tip de rată este „pe unitate de timp”, cum ar fi viteza, ritmul cardiac și fluxul. Raporturile care au un numitor Non-timp includ ratele de schimb, ratele de alfabetizare și câmpul electric (în volți/metru).

în descrierea unităților unei rate, cuvântul „per” este folosit pentru a separa unitățile celor două măsurători utilizate pentru a calcula rata (de exemplu, o frecvență cardiacă este exprimată „bătăi pe minut”).

rata de schimbare: Aplicație lumea reală

un atlet începe el practică normală pentru următorul maraton în timpul serii. La 6: 00 pm începe să alerge și își părăsește casa. La 7: 30 pm, sportivul termină alergarea acasă și a parcurs un total de 7,5 mile. Cât de rapidă a fost viteza sa medie pe parcursul alergării?

rata de schimbare este viteza alergării sale; distanța în timp. Prin urmare, cele două variabile sunt timpul (x) și distanța (y). Primul punct este la casa lui, unde ceasul său citește 6: 00 pm. Acesta este momentul de început, așa că haideți să-l setați la 0. Deci, primul nostru punct este (0,0) pentru că nu a alergat încă nicăieri. Să ne gândim la timpul nostru în ore. Al doilea punct este 1,5 ore mai târziu și am alergat 7,5 mile. Al doilea punct este (1.5, 7.5). Viteza noastră (rata de schimbare) este pur și simplu panta liniei care leagă cele două puncte. Panta, dată de: m = \frac{Y_{2}-Y_{1}}{x_{2}-x_{1}} devine m= \ frac{7.5}{1.5} = 5 mile pe oră.

exemplu: Graficați linia care ilustrează viteza

pentru a Grafica această linie, avem nevoie de interceptarea y și panta pentru a scrie ecuația. Panta a fost 5 mile pe oră și din moment ce punctul de plecare a fost la (0,0), y-intercept este 0. Deci, funcția noastră finală este y=5x.

cu această nouă funcție, putem răspunde acum la câteva întrebări.

• câți kilometri a alergat după prima jumătate de oră? Folosind ecuația, dacă x= \ frac{1}{2}, rezolvați pentru y. Dacă y = 5x, atunci y = 5 (0,5) = 2,5 mile.
• dacă a continuat să alerge în același ritm timp de 3 ore, câți kilometri va fi alergat? Dacă x = 3, rezolvați pentru y. Dacă y = 5x, atunci y = 5 (3) = 15 mile.

există multe astfel de aplicații pentru ecuații liniare. Orice lucru care implică o rată constantă de schimbare poate fi frumos reprezentat cu o linie cu panta. Într-adevăr, atâta timp cât aveți doar două puncte, dacă știți că funcția este liniară, puteți să o graficați și să începeți să puneți întrebări! Doar asigurați-vă că ceea ce cereți și graficul are sens. De exemplu, în exemplul maraton, domeniul este într-adevăr doar x\geq0, deoarece nu are sens să intri în timp negativ și să pierzi mile!

modele matematice liniare

modelele matematice liniare descriu aplicațiile din lumea reală cu linii.

modele matematice

un model matematic este o descriere a unui sistem care utilizează concepte matematice și limbaj. Modelele matematice sunt utilizate nu numai în științele naturii și disciplinele inginerești, ci și în științele sociale. Modelarea liniară poate include schimbarea populației, tarifele apelurilor telefonice, costul închirierii unei biciclete, gestionarea greutății sau strângerea de fonduri. Un model liniar include rata de schimbare (m) și suma inițială, interceptarea y b. După ce modelul este scris și se face un grafic al liniei, oricare poate fi folosit pentru a face predicții despre comportamente.

viața reală model liniar

multe activități de zi cu zi necesită utilizarea de modele matematice, poate inconștient. O dificultate cu modelele matematice constă în traducerea aplicației din lumea reală într-o reprezentare matematică exactă.

exemplu: închirierea unei autoutilitare în mișcare

o companie de închiriere percepe o taxă fixă de 30 USD și o taxă suplimentară de 0,25 USD pe milă pentru a închiria o autoutilitară în mișcare. Scrieți o ecuație liniară pentru a aproxima costul y (în dolari) în termeni de x, numărul de mile parcurse. Cât costă o călătorie de 75 de mile?

folosind forma de intercepție a unei ecuații liniare, cu costul total etichetat y (variabilă dependentă) și Milele etichetate x (variabilă independentă):

\displaystyle y=mx+b

costul total este egal cu rata pe milă ori numărul de mile parcurse plus costul pentru taxa fixă:

\displaystyle y=0,25 x+30

pentru a calcula costul unei călătorii de 75 mile, înlocuiți 75 pentru X în ecuație:

\displaystyle \begin{align} y &=0.25 x+30\\ &&&=48.75 \end{align}

model de viață reală cu ecuații Multiple

de asemenea, este posibil să se modeleze mai multe linii și ecuațiile lor.

exemplu

inițial, trenurile A și B sunt la 325 mile distanță unul de celălalt. Trenul A se deplasează spre B la 50 mile pe oră și trenul B se deplasează spre A la 80 mile pe oră. La ce oră se vor întâlni cele două trenuri? În acest moment, cât de departe au călătorit trenurile?

în primul rând, începeți cu pozițiile de pornire ale trenurilor, (y-interceptări, b). Trenul a începe sunt originea, (0,0). Deoarece trenul B este la 325 mile distanță de trenul a inițial, poziția sa este (0,325).în al doilea rând, pentru a scrie ecuațiile reprezentând distanța totală a fiecărui tren în termeni de timp, calculați rata de schimbare pentru fiecare tren. Deoarece trenul A se deplasează spre trenul B, care are o valoare y mai mare, rata de schimbare a trenului A trebuie să fie pozitivă și egală cu viteza sa de 50. Trenul B călătorește spre A, care are o valoare y mai mică, oferind lui B o rată negativă de schimbare: -80.

cele două linii sunt astfel:

\displaystyle y_A=50x\\

și:

\displaystyle y_B=−80x+325

cele două trenuri se vor întâlni acolo unde se intersectează cele două linii. Pentru a afla unde se intersectează cele două linii setați ecuațiile egale între ele și rezolvați pentru x:

\displaystyle Y_{a}=Y_{b}

\displaystyle 50x=-80x+325

rezolvarea pentru x dă:

\displaystyle x=2,5

cele două trenuri se întâlnesc după 2,5 ore. Pentru a afla unde este, conectați 2.5 în oricare dintre ecuații.conectarea la prima ecuație ne dă 50(2,5) = 125, ceea ce înseamnă că se întâlnește după o călătorie de 125 de mile.

Iată modelul grafic distanță față de timp al celor două trenuri:

montarea unei curbe

montarea unei curbe cu o linie încearcă să deseneze o linie astfel încât să „se potrivească cel mai bine” tuturor datelor.

montarea curbei

montarea curbei este procesul de construire a unei curbe sau a unei funcții matematice, care se potrivește cel mai bine unei serii de puncte de date, posibil supuse constrângerilor. Montarea curbei poate implica fie interpolare, unde este necesară o potrivire exactă a datelor, fie netezire, în care este construită o funcție „netedă” care se potrivește aproximativ datelor. Curbele montate pot fi utilizate ca ajutor pentru vizualizarea datelor, pentru a deduce valorile unei funcții în care nu sunt disponibile date și pentru a rezuma relațiile dintre două sau mai multe variabile. Extrapolarea se referă la utilizarea unei curbe montate dincolo de domeniul datelor observate și este supusă unui grad mai mare de incertitudine, deoarece poate reflecta metoda utilizată pentru a construi curba la fel de mult pe cât reflectă datele observate.

în această secțiune, vom monta doar linii la punctele de date, dar trebuie remarcat faptul că se pot potrivi funcții polinomiale, cercuri, funcții de bucată și orice număr de funcții la date și este un subiect foarte utilizat în statistici.

formula de regresie liniară

regresia liniară este o abordare a modelării relației liniare dintre o variabilă dependentă, y și o variabilă independentă, x. cu regresie liniară, se constată o linie în formă de interceptare a pantei, y=mx+b care „se potrivește cel mai bine” datelor.

cel mai simplu și poate cel mai comun model de regresie liniară este aproximarea obișnuită a celor mai mici pătrate. Această aproximare încearcă să minimizeze sumele distanței pătrate dintre linie și fiecare punct.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

pentru a găsi panta liniei best fit, calculați în următorii pași:

1. suma produsului coordonatelor x și y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. suma coordonatelor x \ sum_{i = 1}^{n}x_{i}.
3. suma coordonatelor y \ sum_{j = 1}^{n}y_{j}.
4. suma pătratelor coordonatelor x \ sum_{i = 1}^{n}(x_{i}^{2}).
5. suma coordonatelor x pătrate (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. coeficientul numărătorului și numitorului.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \ \ &= \left (\bar{y} – m \Bar{X} \dreapta) \end{align}

pentru a găsi interceptarea y (b), calculați folosind următorii pași:

1. media coordonatelor y. Fie \bar{y}, pronunțată y-bar, reprezintă valoarea medie (sau medie) y a tuturor punctelor de date: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i}.
2. media coordonatelor X. Respectiv \bar{X}, pronunțată X-bar, este valoarea medie (sau medie) x a tuturor punctelor de date: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. înlocuiți valorile în formula de mai sus b=\bar{y} – M \bar{X}.

folosind aceste valori ale lui m și b avem acum o linie care aproximează punctele de pe grafic.

exemplu: scrieți linia celor mai mici pătrate și apoi graficați linia care se potrivește cel mai bine datelor

pentru N = 8 puncte: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) și (6,4).

Mai întâi, găsiți panta (m) și y-intercept (b) care aproximează cel mai bine aceste date, folosind ecuațiile din secțiunea anterioară:

pentru a găsi panta, calculați:

1. suma produsului coordonatelor x și y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. suma coordonatelor x \ sum_{i = 1}^{n}x_{i}.
3. suma coordonatelor y \ sum_{i = 1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \ end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Calculați numărătorul: produsul coordonatelor X și Y minus o optime produsul sumei coordonatelor x și suma coordonatelor y:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

numărătorul din ecuația pantei este:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Calculați numitorul:
suma pătratelor coordonatelor x minus o optime suma coordonatelor x pătrate:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n} (\sum_{i=1}^{n} x_ {i} ^ {2})&& =92 \ end{align}

numitorul este 92 – \ frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 și panta este coeficientul numărătorului și numitorului: \frac{23.25}{42}\approx0.554.

acum pentru interceptarea y, (b) de o optime ori media coordonatelor x: \bar{X}=\frac{20}{8}=2.5 și de o optime ori media coordonatelor y: \ bar{y} = \ frac{13.5}{8} = 1.6875.

prin urmare b = \ frac{1}{n} \ sum_{i = 1}^{n} y_{1} – m \ frac{1}{n} \ sum_{i = 1}^{n} x_{i}\\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

ecuația noastră finală este, prin urmare, y=0,554 x+0,3025, iar această linie este reprezentată grafic împreună cu punctele.

valorile aberante și regresia minimă pătrată

dacă avem un punct care este departe de linia de aproximare, atunci acesta va înclina rezultatele și va înrăutăți linia. De exemplu, să spunem în exemplul nostru original, în loc de punctul (-1,0) avem (-1,6).

folosind aceleași calcule ca mai sus cu noul punct, rezultatele sunt:m\approx0.0536 și b\approx2.3035, pentru a obține noua ecuație y=0.0536 x+2.3035.

privind punctele și linia din noua figură de mai jos, această nouă linie nu se potrivește bine datelor, din cauza outlier (-1,6). Într-adevăr, încercarea de a potrivi modele liniare la date care sunt pătratice, cubice sau orice altceva neliniar sau date cu multe valori aberante sau erori poate duce la aproximări proaste.