există un tip special de sistem care necesită studii suplimentare. Acest tip de sistem se numește un sistem omogen de ecuații, pe care l-am definit mai sus în definiție . Obiectivul nostru în această secțiune este să analizăm ce tipuri de soluții sunt posibile pentru un sistem omogen de ecuații.
luați în considerare următoarea definiție.
definiție \(\PageIndex{1}\): Soluția trivială
luați în considerare sistemul omogen de ecuații dat de \ atunci, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) este întotdeauna o soluție la acest sistem. Noi numim aceasta soluția trivială .
dacă sistemul are o soluție în care nu toate \(x_1, \cdots, x_n\) sunt egale cu zero, atunci numim această soluție netrivială . Soluția banală nu ne spune prea multe despre sistem, deoarece spune că \(0=0\)! Prin urmare, atunci când lucrăm cu sisteme omogene de ecuații, vrem să știm când sistemul are o soluție netrivială.
Să presupunem că avem un sistem omogen de \(m\) ecuații, folosind \(n\) variabile, și să presupunem că \(n> m\). Cu alte cuvinte, există mai multe variabile decât ecuații. Apoi, se dovedește că acest sistem are întotdeauna o soluție netrivială. Nu numai că sistemul va avea o soluție netrivială, dar va avea și infinit de multe soluții. De asemenea, este posibil, dar nu este necesar, să existe o soluție netrivială dacă \(n=m\) și \(n<m\).
luați în considerare următorul exemplu.
exemplu \(\PageIndex{1}\): Soluții la un sistem omogen de ecuații
găsiți soluțiile netriviale la următorul sistem omogen de ecuații \
soluție
observați că acest sistem are \(m = 2\) ecuații și \(n = 3\) variabile, deci \(n>m\). Prin urmare, prin discuția noastră anterioară, ne așteptăm ca acest sistem să aibă infinit de multe soluții.
procesul pe care îl folosim pentru a găsi soluțiile pentru un sistem omogen de ecuații este același proces pe care l-am folosit în secțiunea anterioară. Mai întâi, construim matricea augmentată, dată de \\] Apoi , purtăm această matrice la ea, dată mai jos. \\ ] Sistemul corespunzător de ecuații este \ deoarece \(z\) nu este restrâns de nicio ecuație, știm că această variabilă va deveni parametrul nostru. Fie \(z = t\) unde \(t\) este orice număr. Prin urmare, soluția noastră are forma \ prin urmare, acest sistem are infinit de multe soluții, cu un parametru \(t\).
Să presupunem că am scrie soluția la exemplul anterior într-o altă formă. Mai exact, \ poate fi scris ca \ = \left + t \left\] observați că am construit o coloană din constantele din soluție (toate egale cu \(0\)), precum și o coloană corespunzătoare coeficienților pe \(t\) în fiecare ecuație. În timp ce vom discuta această formă de soluție mai mult în capitolele ulterioare, pentru moment luați în considerare coloana coeficienților parametrului \(t\). În acest caz, aceasta este coloana \(\left\).
există un nume special pentru această coloană, care este soluția de bază. Soluțiile de bază ale unui sistem sunt coloane construite din coeficienții asupra parametrilor din soluție. Deseori denumim soluții de bază prin \(X_1, X_2\) etc., în funcție de câte soluții apar. Prin urmare, exemplul are soluția de bază \(X_1 = \left\).
vom explora acest lucru în continuare în exemplul următor.
exemplu \(\PageIndex{1}\): soluții de bază ale unui sistem omogen
luați în considerare următorul sistem omogen de ecuații. \ Găsiți soluțiile de bază pentru acest sistem.
soluție
matricea augmentată a acestui sistem și rezultatul sunt \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] când este scris în ecuații, acest sistem este dat de \ observați că numai \(x\) corespunde unei coloane pivot. În acest caz, vom avea doi parametri, unul pentru \(y\) și unul pentru \(z\). Fie \(y = s\) și \(z=t\) pentru orice numere \(S\) și \(t\). Apoi, soluția noastră devine \ care poate fi scrisă ca \ = \left + s \left + t \left\] puteți vedea aici că avem două coloane de coeficienți corespunzători parametrilor, în special una pentru \(S\) și una pentru \(t\). Prin urmare, acest sistem are două soluții de bază! Acestea sunt\, X_2 = \ left\]
prezentăm acum o nouă definiție.
definiție \(\PageIndex{1}\): combinație liniară
fie \(X_1,\cdots ,X_n,V\) matrice coloană. Apoi \(V\) se spune că este o combinație liniară a coloanelor \(X_1,\cdots , X_n\) dacă există scalari, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) astfel încât \
un rezultat remarcabil al acestei secțiuni este că o combinație liniară a soluțiilor de bază este din nou o soluție pentru sistem. Și mai remarcabil este faptul că fiecare soluție poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor soluții. Prin urmare , dacă luăm o combinație liniară a celor două soluții pentru exemplu, aceasta ar fi și o soluție. De exemplu, am putea lua următoarea combinație liniară
\ + 2 \left = \left\] ar trebui să luați un moment pentru a verifica dacă \ = \left\]
este de fapt o soluție la sistem în exemplu .
Un alt mod în care putem afla mai multe informații despre soluțiile unui sistem omogen este să luăm în considerare rangul matricei coeficientului asociat. Acum definim ce se înțelege prin rangul unei matrice.
definiție \(\PageIndex{1}\): rangul unei matrice
fie \(a\) o matrice și ia în considerare oricare dintre \(a\). Apoi, numărul \(r\) de intrări de conducere de \(a\) nu depinde de alegeți, și se numește rangul de \(a\). O denotăm prin rang (\(A\)).
în mod similar, am putea număra numărul de poziții pivot (sau coloane pivot) pentru a determina rangul lui \(a\).
exemplu \(\PageIndex{1}\): Găsirea rangului unei matrice
luați în considerare matricea \\] care este rangul ei?
soluție
în primul rând, trebuie să găsim of \(A\). Prin algoritmul obișnuit, constatăm că acesta este\\] aici avem două intrări principale sau două poziții pivot, prezentate mai sus în casete.Rangul lui \(a\) este \(r = 2.\)
observați că am fi obținut același răspuns dacă am fi găsit of\ (A\) în loc de .
Să presupunem că avem un sistem omogen de \(m\) ecuații în \(n\) variabile, și să presupunem că \(n> m\). Din discuția noastră de mai sus, știm că acest sistem va avea infinit de multe soluții. Dacă luăm în considerare rangul matricei coeficientului acestui sistem, putem afla și mai multe despre soluție. Rețineți că ne uităm doar la matricea coeficientului, nu la întreaga matrice augmentată.
Teorema \(\PageIndex{1}\): rang și soluții la un sistem omogen
fie \(a\) matricea coeficientului \(m \times n\) corespunzătoare unui sistem omogen de ecuații și să presupunem că \(a\) are rang \(r\). Apoi, soluția la sistemul corespunzător are\ (n-r\) parametri.
luați în considerare exemplul nostru de mai sus în contextul acestei teoreme. Sistemul din acest exemplu are\ (m = 2\) ecuații în\ (n = 3\) variabile. În primul rând, deoarece \(n>m\), știm că sistemul are o soluție netrivială și, prin urmare, infinit de multe soluții. Acest lucru ne spune că soluția va conține cel puțin un parametru. Rangul matricei coeficientului ne poate spune și mai multe despre soluție! Rangul matricei coeficientului sistemului este \(1\), deoarece are o intrare principală în . Teorema ne spune că soluția va avea\ (n-r = 3-1 = 2\) parametri. Puteți verifica dacă acest lucru este adevărat în soluția de exemplu .
observați că dacă \(n = m\) sau\ (n<m\), este posibil să aveți fie o soluție unică (care va fi soluția banală), fie infinit de multe soluții.
nu ne limităm aici la sisteme omogene de ecuații. Rangul unei matrice poate fi folosit pentru a afla despre soluțiile oricărui sistem de ecuații liniare. În secțiunea anterioară, am discutat că un sistem de ecuații nu poate avea nicio soluție, o soluție unică sau infinit de multe soluții. Să presupunem că sistemul este consecvent, indiferent dacă este omogen sau nu. Următoarea teoremă ne spune cum putem folosi rangul pentru a afla despre tipul de soluție pe care o avem.
Teorema \(\PageIndex{1}\): rang și soluții la un sistem Consistent de ecuații
fie \(A\) \(M \times \stânga( n+1 \dreapta)\) matrice augmentată corespunzătoare unui sistem consistent de ecuații în \(n\) variabile, și să presupunem că \(A\) are rang \(r\). Apoi
-
sistemul are o soluție unică Dacă \(r = n\)
-
sistemul are infinit de multe soluții dacă \(R< n\)
nu vom prezenta o dovadă formală în acest sens, ci vom lua în considerare următoarele discuții.
-
nicio soluție teorema de mai sus presupune că sistemul este consecvent, adică că are o soluție. Se pare că este posibil ca matricea augmentată a unui sistem fără soluție să aibă vreun rang \(r\) atâta timp cât \(r>1\). Prin urmare, trebuie să știm că sistemul este consecvent pentru a folosi această teoremă!
-
soluție unică să presupunem \(r=n\). Apoi, există o poziție de pivot în fiecare coloană a matricei coeficientului de \(a\). Prin urmare, există o soluție unică.
-
infinit de multe soluții presupun \(r<n\). Apoi, există infinit de multe soluții. Există mai puține poziții pivot (și, prin urmare, mai puține intrări de conducere) decât coloanele, ceea ce înseamnă că nu fiecare coloană este o coloană pivot. Coloanele care sunt \(nu\) coloane pivot corespund parametrilor. De fapt, în acest caz avem \(n-r\) parametri.