hitta källor: ”Wien’ s deplacement law” – Nyheter · tidningar · böcker · scholar · JSTOR (oktober 2019) (lär dig hur och när du ska ta bort detta mallmeddelande)
Plancks lag för spektrumet av svart kroppsstrålning förutsäger Wien-förskjutningslagen och kan användas för att numeriskt utvärdera den konstanta relaterade temperaturen och toppparametervärdet för en viss parametrisering. Vanligtvis används en våglängdsparameterisering och i så fall är den svarta kroppsspektrala strålningen (effekt per emitterande område per fast vinkel):
u ( c , T ) = 2 h c 2 5 1 e H / K T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda, T) = {2hc^{2} \över \ lambda ^{5}}{1 \över e^{hc / \ lambda kT}-1}.}
differentiering av u (ozi,t) med avseende på ozi och inställning av derivatet lika med noll ger:
∂ u ∂ λ = 2 h c 2 h c k T λ 7 e h c / λ k T e h c / λ k T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \över \delvis \lambda }=2hc^{2}\left({hc \över kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \över \left(e^{hc/\lambda kT}-1\höger)^{2}}-{1 \över \lambda ^{6}}{5 \över e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}
vilket kan förenklas för att ge:
h c c k t e h c / c k T e h c / c k t-1-5 = 0. {\displaystyle {HC \ över \ lambda kT}{e^{hc / \ lambda kT} \över e^{hc / \ lambda kT}-1}-5=0.}
genom att definiera:
x C. C. C. C. k t, {\displaystyle X \ equiv {HC \ over \ lambda kt},}
ekvationen blir en i den enda variabeln x:
X e x e x − 1-5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ över e^{x}-1}-5 = 0.}
vilket motsvarar:
(x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5=0.}
denna ekvation löses enkelt numeriskt med Newtons metod som ger x = 4.965114231744276303… att dubbla precision flytpunkt noggrannhet. Lösning för våglängden Kubi i milimetrar, och användning av kelvins för temperaturutbytet:
jacobpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
parametrering med frekvensredigera
en annan vanlig parametrering är med frekvens. Derivationsavkastande toppparametervärde är liknande , men börjar med formen av Plancks lag som en funktion av frekvensbakterier:
u − bak ( bak, t ) = 2 h-BA 3 C-2 1 e-ba / k-1 . {\displaystyle u_ {\nu }(\nu, T) = {2h\nu ^{3} \över c^{2}}{1 \över e^{h\nu /kT}-1}.}
den föregående processen som använder denna ekvation ger:
− H − K-K-H-K-K-K-1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h \ nu \ över kT}{e^{h \ nu / kT} \över e^{h \ nu / kT}-1} + 3=0.}
nettoresultatet är:
(x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3=0.}
detta löses på liknande sätt med Newtons metod som ger x = 2.821439372122078893… att dubbla precision flytpunkt noggrannhet. En analytisk lösning kan erhållas med Lambert w − funktionen
x = 3 + W ( 0, − 3 e-3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
lösning för Xiaomi producerar:
vpeak = xkt / h = (0,05878925757646824946… THz K−1) · T.
Maxima skiljer sig beroende på parametreringedit
Observera att för en given temperatur innebär parametrering med frekvens en annan maximal våglängd än parametrering med våglängd.
till exempel, med användning av T = 6000 K och parameterisering med våglängd, är våglängden för maximal spektral utstrålning 0 = 482,962 nm med motsvarande frekvens 620,737 THz. För samma temperatur, men parametrering med frekvens, är frekvensen för maximal spektral utstrålning 0 = 352,735 THz med motsvarande våglängd 6 = 849,907 nm.
dessa funktioner är stråldensitetsfunktioner, vilka är sannolikhetsdensitetsfunktioner skalade för att ge enheter av strålning. Densitetsfunktionen har olika former för olika parametriseringar, beroende på relativ sträckning eller kompression av abscissen, som mäter förändringen i sannolikhetstäthet relativt en linjär förändring i en given parameter. Eftersom våglängd och frekvens har en ömsesidig relation representerar de signifikant icke-linjära skift i sannolikhetstäthet relativt varandra.
den totala strålningen är integralen av fördelningen över alla positiva värden, och det är invariant för en given temperatur under någon parametrering. För en given temperatur måste dessutom strålningen som består av alla fotoner mellan två våglängder vara densamma oavsett vilken fördelning du använder. Det vill säga att integrera våglängd distribution från λ1 till λ2 kommer att resultera i samma värde som integrerar frekvens fördelningen mellan de två frekvenser som motsvarar λ1 och λ2, nämligen från c/λ2-c/λ1. Distributionsformen beror emellertid på parameteriseringen, och för en annan parameterisering kommer fördelningen vanligtvis att ha en annan toppdensitet, som dessa beräkningar visar.
använda värdet 4 för att lösa den implicita ekvationen ger toppen i spektral radiance density-funktionen uttryckt i parametern radiance per proportionell bandbredd. Detta är kanske ett mer intuitivt sätt att presentera ”våglängd för toppemission”. Det ger x = 3.920690394872886343… att dubbla precision flytpunkt noggrannhet.
den viktiga punkten i Wiens lag är emellertid att en sådan våglängdsmarkör, inklusive medianvåglängden (eller alternativt våglängden under vilken någon specificerad procentandel av utsläppet inträffar) är proportionell mot den ömsesidiga temperaturen. Det vill säga formen på fördelningen för en given parametrering skalor med och översätter enligt temperatur, och kan beräknas en gång för en kanonisk temperatur, sedan lämpligt skiftas och skalas för att erhålla fördelningen för en annan temperatur. Detta är en följd av det starka uttalandet av Wiens lag.