uma função relaciona uma entrada com uma saída.
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é como uma máquina que tem uma entrada e uma saída. E a saída está de alguma forma relacionada com a entrada. |
| f(x) |
“f(x) = … “é a maneira clássica de escrever uma função. e há outras maneiras, como você verá! |
Entrada, de Relacionamento, de Saída
Vamos ver muitas maneiras de pensar sobre funções, mas sempre há três partes principais:
- entrada
- A relação
- A saída
Exemplo: “Multiplique por 2” é uma função simples.
Aqui estão as três partes:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Alguns Exemplos de Funções
- x2 (quadrática) é uma função
- x3+1 também é uma função
- Seno, co-seno e Tangente são funções utilizadas na trigonometria
- e há muitos mais!
mas não vamos olhar para funções específicas …
… em vez disso, vamos olhar para a ideia geral de uma função.
nomes
primeiro, é útil dar um nome a uma função.
O nome mais comum é “f”, Mas podemos ter outros nomes como” g”… ou até “marmelada”, se quisermos. mas vamos usar “f”:
Nós dizemos “f de x é igual a x ao quadrado”
o que se passa para a função é colocar dentro de parênteses () após o nome da função:
Então, f(x) nos mostra que a função é chamada de “f”, e o “x” vai em
E o que costumamos ver o que uma função faz com que a entrada de:
f(x) = x2 mostra-nos que a função “f” leva “x” e praças-lo.
exemplo: com f (x) = x2:
- uma entrada de 4
- torna-se uma saída de 16.
na verdade podemos escrever f ( 4) = 16.
o “x” é apenas um suporte de lugar!
não fique muito preocupado com” x”, ele está apenas lá para nos mostrar onde a entrada vai e o que acontece com ele. pode ser qualquer coisa!
Então, esta função:
f(x) = 1 – x + x2
É a mesma função, como:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
A variável (x, q, A, etc) está lá apenas para que possamos colocar os valores:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
, por Vezes, não Existe Nenhuma Função de Nome
por Vezes, uma função sem nome, e veremos algo como:
y = x2
Mas ainda há:
- uma entrada (x)
- um relacionamento (quadrática)
- e uma saída (y)
Relacionados
No topo dissemos que a função foi como uma máquina. Mas uma função não tem cintos, engrenagens ou partes móveis – e não destrói o que colocamos nela!
uma função relaciona uma entrada a uma saída. dizer “f (4) = 16” é como dizer que 4 está de alguma forma relacionado com 16. Ou 4 → 16
Exemplo: esta árvore cresce 20 cm a cada ano, de modo que a altura da árvore está relacionada à sua idade usando a função h:
h(idade) = idade × 20
Então, se a idade é de 10 anos, a altura é:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Aqui estão alguns exemplos de valores:
| > idade | h(idade) = idade × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
“Numbers” seems an obvious answer, but …
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… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
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… também podem ser Letras (“A” → “B”), ou códigos de ID (“A6309″→”Pass”) ou coisas estranhas. |
Então, precisamos de algo mais poderoso, e que é onde conjuntos vêm em:
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Um conjunto é uma coleção de coisas.Aqui estão alguns exemplos:
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Cada coisa individual no conjunto (como “4” ou “chapéu”) é chamado de um membro ou elemento.
assim, uma função toma elementos de um conjunto, e devolve elementos de um conjunto.
Uma Função é Especial
Mas uma função tem regras especiais:
- Ele deve trabalhar para cada valor de entrada possível
- E ele tem apenas uma relação para cada valor de entrada
Isto pode ser dito em uma definição:
a Definição Formal de uma Função
Uma função que relaciona cada elemento de um conjunto
com exatamente um elemento de anotherset
(possivelmente o mesmo conjunto).
as duas coisas importantes!
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“…cada elemento…”significa que cada elemento em X está relacionado a algum elemento em Y. dizemos que a função cobre X (relaciona cada elemento dele). (mas alguns elementos de Y podem não estar relacionados, O que é bom.) |
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“…exactamente um…”significa que uma função é avaliada individualmente. Ele não vai devolver 2 ou mais resultados para a mesma entrada. So” f(2) = 7 ou 9 ” is not right! |
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“Um-para-muitos” não é permitido, mas “muitos-para-um” é permitido: |
||
 |
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| (um-para-muitos) | (muitos-para-um) | |
| Este NÃO é OK em uma função | Mas isso é OK em uma função | |
Quando um relacionamento não siga essas duas regras, então ele não é uma função … ainda é uma relação, mas não uma função.exemplo: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Cada elemento em X está relacionado com Y
- nenhum elemento em X tem duas ou mais relações
por isso segue as regras.
(Notice how both 4 and -4 relate to 16, which is allowed.)
Exemplo: Esta relação não é uma função:
é uma relação, mas não é uma função, por estas razões:
- Valor “3” X não tem qualquer relação com Y
- Valor “4” X não tem qualquer relação com Y
- Valor “5” está relacionado a mais de um valor em Y
(Mas o fato de que o “6” em Y não tem nenhuma relação, não importa)
Linha Vertical de Teste
Em um gráfico, a idéia de valor único significa que nenhuma linha vertical já atravessa mais de um valor.
se atravessa mais de uma vez é ainda uma curva válida, mas não é uma função.
Alguns tipos de funções têm regras mais rigorosas, para saber mais leia Injective, Surjective e Bijective
Infinitamente Muitos
Meus exemplos têm apenas alguns valores, mas funciona normalmente trabalham em conjuntos com um número infinito de elementos.
Exemplo: y = x3
- O conjunto de entrada “X” é de todos os Números Reais
- O conjunto de saída do “Y” é também de todos os Números Reais
não podemos mostrar TODOS os valores, então aqui estão apenas alguns exemplos:
| X: x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Domínio, Codomain e Gama
Em nossos exemplos acima
- o conjunto “X” é chamado de Domínio,
- o conjunto de “Y” é chamado de Codomain, e
- o conjunto de elementos que são apontados em Y (a valores reais produzidos pela função) é chamado de Intervalo.
temos uma página especial no domínio, intervalo e Codomain se quiser saber mais.
tantos nomes!funções
têm sido usadas em matemática por um longo tempo, e muitos nomes e formas diferentes de escrever funções têm surgido.
Aqui estão alguns termos comuns que você deve familiarizar-se com:
Exemplo: z = 2u3:
- “u” poderia ser chamado de “variável independente”
- “z” poderia ser chamado de “variável dependente” (isso depende do valor de u)
Exemplo: f(4) = 16:
- “4” poderia ser chamado de o “argumento”
- “16” poderia ser chamado de “valor da função”
Exemplo: h(ano) = 20 × ano:
- h() é a função
- “ano” poderia ser chamado de “argumento”, ou a “variável”
- um valor fixo, como “20” pode ser chamado de um parâmetro
Nós muitas vezes chamada de uma função “f(x)”, quando na verdade a função é realmente “f”
Pares Ordenados
E aqui está outra maneira de pensar sobre as funções:
Gravar a entrada e a saída de uma função como um “par ordenado”, tais como (4,16).
eles são chamados pares ordenados porque a entrada sempre vem em primeiro lugar, e a saída em segundo:
(entrada, saída)
Então, ele se parece com isso:
( x, f(x) )
Exemplo:
(4,16) significa que a função assume em “4” e dá “16”
Conjunto de Pares Ordenados
Uma função pode, então, ser definido como um conjunto de pares ordenados:
Exemplo: {(2,4), (3,5), (7,3)} é uma função que diz
“2 é constituída por 4”, “3 está relacionado com 5” e “7 está relacionado com 3”. além disso, note que::
- o domínio é {2,3,7} (valores de entrada)
- e o intervalo é {4,5,3} (os valores de saída)
Mas a função tem de ser de valor único, por isso também dizemos
“se ele contém (a, b) e (a, c), então b deve ser igual c”
o Que é apenas uma maneira de dizer que uma entrada de “um” não é possível produzir dois resultados diferentes.exemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} não é uma função porque {2,4} e {2,5} significa que 2 pode estar relacionado com 4 ou 5.
Em outras palavras, ela não é uma função, pois não é o valor único
Um Benefício de Pares Ordenados
podemos representá-las…
… porque também são coordenadas!
Então, um conjunto de coordenadas, é também uma função (se eles seguem as regras acima, que é)
Uma Função Pode ser em Pedaços
podemos criar funções que se comportam de forma diferente, dependendo do valor de entrada
Exemplo: Uma função com duas peças:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
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Here are some example values:
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Leia mais em Funções definidas por partes.
Explícito vs Implícito
Um último tópico: os termos “explícito” e “implícito”.
Explicit é quando a função nos mostra como ir diretamente de x para y, tais como:
y = x3 − 3
Quando conhecemos x, podemos encontrar y
esse é o estilo clássico de y = f(x) com o qual muitas vezes trabalhamos.
implícito é quando não é dado diretamente como:
x2-3xy + y3 = 0
Quando conhecemos x, como encontramos y?
pode ser difícil (ou impossível!) para ir diretamente de x para Y.
“implícito” vem de “implícito”, em outras palavras mostradas indiretamente.
Graphing
- A função Grapher só pode lidar com funções explícitas,
- a equação Grapher pode lidar com ambos os tipos (mas demora um pouco mais, e às vezes fica errado).
Conclusão
- uma função relaciona-se com entradas para saídas
- uma função tem elementos de um conjunto (domínio) e relaciona-os com elementos de um conjunto (o codomain).
- todas as saídas (valores reais relacionados) são chamados em conjunto de intervalo
- uma função é um tipo especial de relação onde:
- cada elemento do domínio está incluído, e
- entrada e produz apenas uma saída (não este ou aquele)
- uma entrada e a sua saída correspondente são chamados em conjunto de um par ordenado
- para que uma função pode também ser visto como um conjunto de pares ordenados